微积分基本公式50625

1、微积分基本公式下面我们先从实际问题中寻找解决问题的线索为此，我们对变速直线运动中遇到的位置函数及速度函数之间的联系作进一步的研究一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系有一物体在一直线上运动在这直线上取定原点、正向及长度单位，使它成为一数轴设时刻时物体所在位置为，速度为(为了讨论方便起见，可以设)从第一节知道：物体在时间间隔内经过的路程可以用速度函数在上的定积分来表达；另一方面，这段路程又可以通过位置函数在区间上增量来表达由此可见，位置函数与速度函数之间有如下关系： (1)因为，即位置函数是速度函数的原函数，所以关系式 (1) 表示，速度函数在区间上的定积分等于的原函数在区间上的增量：上

2、述从变速直线运动的路程这个特殊问题中得出的关系，在一定条件下具有普遍性事实上，我们将在第三目中证明，如果函数在区间上连续，那么，在区间上的定积分就等于的原函数(设为)在区间上的增量：二、积分上限的函数及其导数设函数在区间上连续，并且设为上的一点现在我们来考察在部分区间上的定积分首先，由于在区间上仍旧连续，因此这个定积分存在这时，既表示定积分的上限，又表示积分变量因为定积分与积分变量的记法无关，所以，为了明确起见，可以把积分变量改用其他符号，例如用表示，则上面的定积分可以写成如果上限在区间上任意变动，则对于每一个取定的值，定积分有一个对应值，所以它在上定义了一个函数，记作：这个函数具有下面定理1

3、所指出的重要性质定理1如果函数在区间上连续，则积分上限的函数在上可导，并且它的导数是 (2)证若，设获得增量，其绝对值足够地小，使得，则在处的函数值为由此得函数的增量再应用积分中值定理，即有等式这里，在与之间把上式两端各除以，得函数增量与自变量增量的比值由于假设在上连续，而时，因此于是令，对上式两端取极限时，左端的极限也应该存在且等于这就是说，函数的导数存在，并且若，取，则同理可证；若，取，则同理可证证毕这个定理指出了一个重要结论：连续函数取变上限的定积分然后求导，其结果还原为函数本身联想到原函数的定义，就可以从定理1推知是连续函数的一个原函数因此，我们引出如下的原函数的存在定理定理2 如果函

4、数在区间上连续，则函数 (3)就是在上的一个连续原函数这个定理的重要意义是：一方面肯定了连续函数的原函数是存在的，另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系因此，我们就有可能通过原函数来计算定积分三、牛顿莱布尼兹公式现在我们根据定理2来证明一个重要定理，它给出了用原函数计算定积分的公式定理3 如果函数是连续函数在区间上的一个原函数，则 (4)证已知函数是连续函数的一个原函数，又根据定理2知道，积分上限函数也是的一个原函数于是这两个原函数之差在上必定是某个常数，即 (5)在上式中令，得又由的定义式(3)及上节积分的补充规定(1)可知，因此，以代入(5)式中的，以代入(5)式中的，可得

5、在上式中令，就得到所要证明的公式(4)由上节定积分的补充规定(2)可知，(4)式对的情形同样成立为了方便起见，以后把记成公式(4)叫做牛顿(Newton)莱布尼兹(Leibniz)公式这个公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系它表明：一个连续函数在区间上的定积分等于它的任一原函数在区间上的增量这就给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算手续通常也把公式(4)叫做微积分基本公式下面我们举几个应用公式(4)来计算定积分的简单例子例1计算第一节中的定积分解由于是的一个原函数，所以按牛顿莱布尼兹公式，有例2计算解由于是的一个原函数，所以例3计算解当时，的一个

6、原函数是，所以通过例3，我们应该特别注意：公式(4)中的函数必须是在该积分区间上的原函数例4计算正弦曲线在上与轴所围成的平面图形的面积解这图形是曲边梯形的一个特例，它的面积例5汽车以每小时36km速度行驶，到某处需要减速停车设汽车以等加速度刹车问从开始刹车到停车，汽车驶过了多少距离？解首先要算出从开始刹车到停车经过的时间设开始刹车时刻为，此时汽车速度刹车后汽车减速行驶，其速度为当汽车停住时，速度，故从解得于是在这段时间内，汽车所驶过的距离为，即在刹车后，汽车需驶过10m才能停住例6设函数在闭区间上连续，证明在开区间内至少存在一点，使证因连续，故它的原函数存在，设为，即设在上根据牛顿莱布尼兹公式，有显然函数在区间上满足微分中值定理的条件，因此按微分中值定理，在开区间内至少存在一点，使，故本例的结论是上一节所述积分中值定理的改进从本例的证明中不难看出积分中值定理与微分中值定理的联系下面再举几个应用公式(2)的例子例7设在内连续且证明函数在内为单调增加函数证由公式(2)，得