线性代数 第一章、矩阵

1、1 矩阵是线性代数的一个最基本的概念，是线性代矩阵是线性代数的一个最基本的概念，是线性代数的研究对象和重要工具，许多理论问题和实际问题数的研究对象和重要工具，许多理论问题和实际问题都可以用矩阵表示并且可以运用有关理论得到解决。都可以用矩阵表示并且可以运用有关理论得到解决。例如例如 ：学生各科考试成绩，企业销售产品的数量和：学生各科考试成绩，企业销售产品的数量和单价，超市物品配送路径等。本章就是讨论最简单的单价，超市物品配送路径等。本章就是讨论最简单的由数形成的矩形数表由数形成的矩形数表矩阵及其运算。矩阵及其运算。1.1 1.1 矩阵的概念矩阵的概念1.2 1.2 矩阵的运算矩阵的运算1.3 1

2、.3 可逆矩阵可逆矩阵1.4 1.4 矩阵的初等变换和初等方阵矩阵的初等变换和初等方阵第一章第一章 矩阵矩阵21 矩阵的概念矩阵的概念背景：背景： 数的发展：自然数数的发展：自然数 整数整数 有理数有理数 实数实数 复数复数 对于这些数一般用集合的观点讨论对于这些数一般用集合的观点讨论,通常只通常只是研究它们的一些运算法则和运算规律。例是研究它们的一些运算法则和运算规律。例如加、减、乘、除等。如加、减、乘、除等。 3下面引入一个一般的概念下面引入一个一般的概念如求方程如求方程 的根，的根，21 0 x 此方程不仅在有理数范围内无解，就是在实数范围此方程不仅在有理数范围内无解，就是在实数范围内也

3、无解，只在复数范围内有解。内也无解，只在复数范围内有解。为了在以后的讨论中能把具有共同运算性质的数集为了在以后的讨论中能把具有共同运算性质的数集统一处理统一处理在研究某些问题时，常常和所研究对象的取值范围在研究某些问题时，常常和所研究对象的取值范围有关。有关。4 设设F是复数集是复数集C的一个子集合，如果的一个子集合，如果F满满足下列两个条件：足下列两个条件：（1）0和和1都在都在 F 中中（2） F 中任意两个数中任意两个数(可以相等可以相等)的和、差、积、的和、差、积、商（除数不为零）仍然在该集合中商（除数不为零）仍然在该集合中 则称集合则称集合F构成一个构成一个数域数域定义1.1例如例如

4、: 有理数集、实数集、复数集都构成数域。有理数集、实数集、复数集都构成数域。 但整数集不构成数域。但整数集不构成数域。 5定义1.2如果一个数集如果一个数集F中任意两个数经过某一种运算后所得结果仍在该数集中,则称数集F对该运算封闭.例如例如: 整数集对加法运算封闭，但对除法运整数集对加法运算封闭，但对除法运 算不封闭。算不封闭。 因此,要证明一个数集是否构成数域只要能证明该数集中含有数0和1,并且对加、减、乘、除四种运算都封闭即可。6注意:（1）本书中涉及到的数都是指某个数域中的数 例1 设 则 是一个 数域。 3, ,Faba bQF（2）若没有特别说明涉及到的数域一般是指实数域7引例:例例

5、1 1 设某种物资，如煤炭等，有设某种物资，如煤炭等，有 个产地，个产地， ， 个销地，个销地， ，如果以如果以 aij表示由第表示由第i个产地销往第个产地销往第 j个销地的数量，个销地的数量，mn12,mA AA12,nB BB1112112122221212jnjniiijinmmmjmnaaaaaaaaaaaaaaaa矩阵表示由第表示由第 个产地销往第个产地销往第 个销地的数量个销地的数量ijaij则这类物资的调运方案，可用一个则这类物资的调运方案，可用一个数表数表表示如下：表示如下：8由由mn 个数个数 aij ( i = 1, 2, , m ; j = 1, 2, , n)按一按一定

6、次序定次序排成排成 m 行行 n 列的列的矩形矩形数数表表111212122212nnmmmnaaaaaaaaa称为一个称为一个 m 行行 n 列的列的矩阵矩阵，简记，简记为为 (aij)mn一般用一般用大写字母大写字母 A，B，表示，表示，m行行n列的矩阵列的矩阵A也也记为记为Amn，构成矩阵，构成矩阵A的每个数称为矩阵的每个数称为矩阵A的的元素元素，而而aij表示矩阵第表示矩阵第 i 行、第行、第 j 列的元素列的元素。定义1.3m nA9(1)如果矩阵如果矩阵A的元素的元素aij全为实全为实(复复)数数,就就称称A为实为实(复复)矩阵。一般的，仅讨论实矩阵矩阵。一般的，仅讨论实矩阵。(2

7、)如果矩阵的行数等于列数如果矩阵的行数等于列数 ， 则称矩阵为则称矩阵为 阶矩阵或阶矩阵或 阶方阵，记做阶方阵，记做m nnnnA实际上，一阶矩阵就是一个数实际上，一阶矩阵就是一个数。(3)若两个矩阵行数和列数分别相等，则称这若两个矩阵行数和列数分别相等，则称这两个矩阵是两个矩阵是同型矩阵同型矩阵，否则称为非同型矩阵。，否则称为非同型矩阵。(4) )若两个矩阵不但是同型矩阵，而且对应的元若两个矩阵不但是同型矩阵，而且对应的元素也相等，则称这两个矩阵相等。素也相等，则称这两个矩阵相等。注意注意：10矩阵应用举例：矩阵应用举例：例例1：把下图中四个城市之间的航线用矩阵表示出来：把下图中四个城市之间

8、的航线用矩阵表示出来 城市城市2城市城市3城市城市4城市城市1解解:设设1,140ijaij从城市i到城市j有一条航线（，）， 从城市i到城市j没有航线则得到则得到邻接矩阵邻接矩阵40110101101000010A11例例2：把下列成绩统计表用矩阵表示出来：把下列成绩统计表用矩阵表示出来 姓名高数 英语 邓论 普物张一98908772李二89908698王三97847587刘六85888588解：解： 用矩阵表示为用矩阵表示为9890877289908698978475878588858812l列矩阵：列矩阵：只有一列的矩阵只有一列的矩阵12mbbBbl零矩阵：零矩阵：元素都是零的矩阵元素都

9、是零的矩阵 记作记作O。几种比较特殊的矩阵：有多少个？它们都相等吗？l行矩阵：行矩阵：只有一行的矩阵只有一行的矩阵12(,)nAaaa13形如形如 的方阵的方阵11121222000nnnnaaaaaa形如形如 的方阵的方阵11212212000nnnnaaaaaa上、下三角矩阵统称为上、下三角矩阵统称为三角矩阵三角矩阵14l对角矩阵：对角矩阵：方阵并且除方阵并且除主对角线主对角线上的元素外其余上的元素外其余 元素全为零元素全为零通常用通常用 表示表示),(21ndiag即即 = ),(21ndiagnnn00000021例如:100(1, 2,3)020003diag 是一个三阶对角矩阵15

10、l数量矩阵：数量矩阵：对角矩阵中当对角矩阵中当 时时n21例如：5000050000500005就是一个数量矩阵也就是说，数量矩阵是对角矩阵的一种特例16 特点特点:从左上角到右下角的直线从左上角到右下角的直线(主对角线主对角线)上上的元素都是的元素都是1，其他元素都是，其他元素都是0。100010001E即即l单位矩阵：单位矩阵：当数量矩阵中对角线上的常数为当数量矩阵中对角线上的常数为1，称为单位矩阵，用字母称为单位矩阵，用字母 或或 表示表示 nEE17如果变量如果变量y1 ,y2 ,. ,ym可由变量可由变量x1 ,x2 ,. ,xn线性表示线性表示, . ,22112222121212

11、121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay称为由变量称为由变量x1 ,x2 , . ,xn到变量到变量y1 ,y2 , . ,ym的的变换为变换为线性变换线性变换。线性变换由线性变换由 个个 元函数元函数组成，每个函数都是变量的一次幂，故而称组成，每个函数都是变量的一次幂，故而称之为线性变换之为线性变换。mn线性变换：线性变换：定义定义1.4即即18称为线性变换的系数矩阵系数矩阵。111212122212nnmmmnaaaaaaaaaA其中其中,由系数构成的矩阵由系数构成的矩阵可以看出给定一个矩阵必定对应于一个线性变换可以看出给定一个矩阵必定对应于一个线性变换如

12、：单位矩阵如：单位矩阵100010001nE对应的线性变换为对应的线性变换为1122nnyxyxyx称为称为恒等变换恒等变换19再如再如: 线性变换线性变换 .,222111nnnxyxyxy 对应对应n阶系数矩阵为阶系数矩阵为12000000nA是一个对角矩阵。是一个对角矩阵。也就是说，线性变换和系数矩阵是一一对应的也就是说，线性变换和系数矩阵是一一对应的。202 矩阵的运算矩阵的运算一一. 矩阵的加法矩阵的加法定义定义2.1 设有两个设有两个m n矩阵矩阵A=(aij), B=(bij),那么那么A与与B的和记为的和记为C=A+B,规定为规定为11111212112121222222112

13、2nnnnmmmmmnmnabababababababababC A B 背景背景: 矩阵之所以有用矩阵之所以有用,不在于把一组数能排成矩形不在于把一组数能排成矩形数表数表,而在于能进行有实际意义的运算。而在于能进行有实际意义的运算。21加法满足运算规律加法满足运算规律: (1) A+B= B + A; (交换律) (2) (A + B)+C= A +(B +C) . (结合律)特别的特别的:AAOOA=+=+) 3 (OAAAA=+=+)- ()- () 4( A是是A的负矩阵的负矩阵nmijaA)(注意注意:只有当只有当两个矩阵同型两个矩阵同型时时,才能进行加法运算，才能进行加法运算，其运

14、算法则就是把它们的对应元素相加。其运算法则就是把它们的对应元素相加。22类似的，也可以定义矩阵的减法类似的，也可以定义矩阵的减法。nmijijbaBABA=+=)-()- (-例：计算下列两个矩阵的和与差例：计算下列两个矩阵的和与差102110,32 1213AB解：解：012212,51213 4A BA B23二二. 数与矩阵相乘（简称为数乘）数与矩阵相乘（简称为数乘）定义定义2.2 数数 与矩阵与矩阵A的乘积记作的乘积记作 A,规定为规定为111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa 数与矩阵相乘满足数与矩阵相乘满足运算规律运算规律:)()(1(AA AAA )(2(BABA

15、 )()3(24例例2设43 1,205A1201 03B求 A3B解：36033 09B43 136032053 09AB 191504说明：矩阵的加法运算和数乘运算统称为矩阵的说明：矩阵的加法运算和数乘运算统称为矩阵的线性运算线性运算25三三. 矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘(矩阵的乘法矩阵的乘法)引例引例 设变量设变量 到变量到变量 的线性变换为的线性变换为 变量变量 到变量到变量 的线性变换为的线性变换为那么，变量那么，变量 到变量到变量 的线性变换应为的线性变换应为12,t t123,x x x111 112 2221 122 2331 132 2xb tb txb tb txb tb

16、 t123,x x x12,y y111 1122133221 1222233ya xa xa xya xa xa x12,t t12,y y11111 112 21221 122 21331 132 222111 112 22221 122 22331 132 2yab tb tab tb tab tb tyab tb tab tb tab tb t26即：111 11122113 31111 12122213 322221 11222123 31121 12222223 322ya ba ba bta ba ba btya ba ba bta ba ba bt上述运算也称为两个线性变换的乘

17、积上述运算也称为两个线性变换的乘积根据线性变换与矩阵的关系，也可以理解为根据线性变换与矩阵的关系，也可以理解为111213212223aaaaaa111221223132bbbbbb矩阵矩阵与与的乘积为的乘积为27111211121311 1112 2113 3111 1212 2213 32212221222321 1122 2123 3121 1222 2223 323132bbaaaa ba ba ba ba ba bbbaaaa ba ba ba ba ba bbb按上述方法定义的矩阵乘法有实际意义。按上述方法定义的矩阵乘法有实际意义。由此推广得到一般的定义：由此推广得到一般的定义：？

18、28定义定义2.3 设设A=(aij)m s，B=(bij)s n ，那么规定矩阵那么规定矩阵A与与B的乘积是的乘积是C=(cij) m n,其中其中 skkjiksjisjijiijbabababac12211并把此乘积记作并把此乘积记作C=AB。 msmmisiisaaaaaaaaa212111211 snnnsjsjjbbbbbbbbb211221111 mnmjminnijijccccccccc11111129特例特例:行矩阵与列矩阵相乘行矩阵与列矩阵相乘其结果就是一个数其结果就是一个数12121 122,()ssssbba aaa ba ba bb思考：列矩阵和行矩阵相乘的结果是什么

19、？思考：列矩阵和行矩阵相乘的结果是什么？例例321 ,1AB BA 设A=(1,2,-3),B=求解：解：21,2, 3 1(1)1AB 22 461 1,2, 31 2311 23BA 30注意：注意：（）只有当前面的矩阵（左矩阵）的列数与（）只有当前面的矩阵（左矩阵）的列数与后面的矩阵（右矩阵）的行数相等时，两个后面的矩阵（右矩阵）的行数相等时，两个矩阵才能相乘。矩阵才能相乘。（）乘积矩阵（）乘积矩阵C=AB的行数为的行数为A的行数，列数的行数，列数为为B的列数。的列数。31例例4.线性变换的矩阵表示线性变换的矩阵表示yAx111 11221221 122221 122nnnnmmmmnn

20、ya xa xa xya xa xa xya xaxax设线性变换设线性变换，111212122212nnmmmnaaaaaaaaaA12nxxxx12myyyy，则记32设方程组为11 112211nna xa xa xb21 122222nna xa xa xb1 122mmmnnma xa xa xb例例5.线性方程组的矩阵表示线性方程组的矩阵表示其中设111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa称为线性方程组的系数矩阵33则方程组可以表示为则方程组可以表示为：12mbbBb若令若令1112111212222212nnmmmnnmaaaxbaaaxbaaaxb简记为AXB12

21、nxxXx34例例61 01 21 1300 51 4A 034121311121B求：求：AB和和BA。解：解：567102621710AB3235 16174624 123762BA思考思考:由本例的计算你能得到什么结论？由本例的计算你能得到什么结论？35一般地，矩阵乘法不满足交换律，即：一般地，矩阵乘法不满足交换律，即：ABBAm sAs nBm ss nABmns nm sBA1.如果如果 ， ，则，则 有意义，当有意义，当 时，时， 无意义无意义。2.即使即使 ， ，则，则 是是m阶方阵，而阶方阵，而 是是n阶方阵；阶方阵；m nAn mBm nn mABn mm nBA3.3.如果

22、如果 ， 都是都是n阶方阵，阶方阵， 如如：AB注意注意36例例 7 设设1111A1111B则则00,00AB22,22BA特别的，当AB=BA时，则称A与与B可交换可交换。.BAAB 故故由例由例7可知两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵可知两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。同样不满足交换律同样不满足交换律37则55,1010ABAC,.AOBC但且例例8 设1321B7112C1224A由例由例8可知矩阵乘法一般不满足消去律。可知矩阵乘法一般不满足消去律。38数的运算与矩阵运算的比较：数的运算与矩阵运算的比较：在数的乘法中，若 ab = 0 a = 0 或 b = 0两个非零矩阵乘积可能为O。在

23、矩阵乘法中,若 AB = O A = O 或 B = O在矩阵乘法中, 若 AC = AD, 且 A O C = D 在数的乘法中，若 ac = ad，且 a 0 c = d (消去律成立) (消去律不成立)39矩阵的乘法满足如下的运算律矩阵的乘法满足如下的运算律：(1)()()AB CA BC结合律CABAACBACABCBA )( )() 2(右右分分配配律律左左分分配配律律BAAB)()() 3( 对于单位矩阵，有对于单位矩阵，有nmnnmnmnmmAEAAAE ,单位矩阵与任何矩阵可交换简记为简记为:AEEAA40例例10利用矩阵的运算计算第一节例利用矩阵的运算计算第一节例2中中4个学

24、个学生每人的总成绩和各学科平均成绩生每人的总成绩和各学科平均成绩解：解：每人的总成绩的矩阵表示式每人的总成绩的矩阵表示式989087728990869897847587858885881111 347363=34334698908772899086989784758785888588各学科平均成绩的矩阵表示式各学科平均成绩的矩阵表示式1 1 1 1，1492.2588=83.2586.2541为方阵为方阵A的的n次幂次幂。一般称一般称nnAAAA 规定规定：EA 0设设k，l为正整数为正整数，判断下列各式是否正确？下列各式是否正确？,klk lA AA(),klklAA()kkkABA B。

25、矩阵乘法中的特例：方阵的幂矩阵乘法中的特例：方阵的幂思考：（思考：（1）两个对角矩阵的乘积如何计算？）两个对角矩阵的乘积如何计算？ （2）对角矩阵的幂如何计算？）对角矩阵的幂如何计算？ （3）单位矩阵的幂又如何？）单位矩阵的幂又如何？42例例1：用矩阵表示课本第：用矩阵表示课本第2页图页图1，1中，从第中，从第i个个城市经过一次中转到第城市经过一次中转到第j个城市的单向航线。个城市的单向航线。解：由于四个城市之间的单向航线可用下列矩阵表示解：由于四个城市之间的单向航线可用下列矩阵表示0111100001001010A利用矩阵的乘法可知，下列矩阵即为所求利用矩阵的乘法可知，下列矩阵即为所求221

26、10011110000211A43242(),2,42ijijbbi 设A则 表示从第个城市经一次中转到第j个城市 的单向航线数如：b表示从第 个城市经过一次中转到第 个城市 有2条单向航线 分别为412，432。思考思考：上述问题中若要表示从第：上述问题中若要表示从第i个城市能直接或经个城市能直接或经一一 次中转到第次中转到第j个城市的单向航线，该用什么样的矩个城市的单向航线，该用什么样的矩阵？阵？（答案：（答案： ）2AA44思考题：1.判断：设A，E都是n阶方阵，则2.求所有与矩阵A可交换的矩阵，其中3.设A，B都是n阶方阵,(A+B)2展开式如何?1 1001 1001A2()()AE

27、OAEAEOAEAE 或 45练习题练习题2.,1021nANnA求求设设121111.1,32344AB 求求10()BA46四、矩阵的转置四、矩阵的转置满足运算律：满足运算律：(1)()TTAA (2)()TTTABAB(3)()TTAA (4)(),()()TTTn TTnABB AAA定义定义 把矩阵把矩阵A的行换成同序数的列的行换成同序数的列,得到的新矩阵得到的新矩阵称为称为A的的转置矩阵转置矩阵,记作记作 或或 。 TAA111212122212nnmmmnaaaaaaaaaA1121112222T12mmnnmnaaaaaaaaaA行列互换1221()TTTTnnA AAAA A

28、 47(),(),(),()ijm sijs nTTijm nijn mAaBbABCcB ADd设记有有1sjijkkikca b121211(,)jssjijiisikijkjkkikkjsaadb bbb aa ba所以所以), 2 , 1;, 2 , 1(mjnicdjiij ,()TTTTCDABB A即即或或证明：4）48(1) 若方阵A满足 AT = A，即 aji = aij，则称A为对称矩阵对称矩阵。(2) 若方阵A满足 AT = A，即 aji = aij，则称A为反对称矩阵反对称矩阵。这时 aii = 0 ( i = 1, 2, n)对称矩阵的特点对称矩阵的特点是是: 它

29、的元素以主对角线为对称轴对应相等它的元素以主对角线为对称轴对应相等 。反对称矩阵的特点反对称矩阵的特点是是: 以主对角线为对称轴的对应元素绝对值以主对角线为对称轴的对应元素绝对值相等相等,符号相反符号相反,且主对角线上各元素均为且主对角线上各元素均为0 。49例例8设11 2,201A21 0113421B，求 (AB)T。解法一：解法一：21 011 2113201421AB92180198()201 1TAB50解法二(AB)T = BT AT214121 121 003 121 98201 151例例9 9 设列矩阵设列矩阵 满足满足 12,TnXx xx1,TX X .,2,EHHHX

30、XEHnETT 且且阵阵是对称矩是对称矩证明证明阶单位矩阵阶单位矩阵为为证明证明2TTTHEXX2TTTEXX2,TEXXH.是对称矩阵是对称矩阵H2HHHT 22TXXE TTTXXXXXXE44 TTTXXXXXXE44 TTXXXXE44 .E 52思考题思考题: 证明证明: 任一任一 阶矩阵阶矩阵 都可表示成对称阵都可表示成对称阵与反对称阵之和与反对称阵之和.nA证明证明TAAC 设设 TTTAAC 则则AAT ,C 所以所以C为对称矩阵为对称矩阵.,TAAB 设设 TTTAAB 则则AAT ,B 所以所以B为反对称矩阵为反对称矩阵.22TTAAAAA 22CB。53练习题 证明:若A

31、为（实）对称矩阵，且2AOAO，则。54定义定义 将矩阵将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵矩阵,每个小矩阵称为每个小矩阵称为A的子块的子块,以子块为元素的矩阵以子块为元素的矩阵称为称为分块矩阵分块矩阵。 111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa列举三种分块形式：列举三种分块形式：111213142122232431323334(1)aaaaaaaaaaaa11122122AAAAA五、矩阵的分块五、矩阵的分块对行数和列数较高的矩阵经常采用分块法来简化计算，尽量分出一些单位矩阵和零矩阵55111213142122232431

32、323334(2)aaaaaaaaaaaa111213142122232431323334(3)aaaaaaaaaaaa111212122212,rrsssrAAAAAAAAAA同一列的子块的列数相同；同一行的子块的行数相同。56 ,4321AAAA bbaaA110101000001 0101aA其中其中 1012aA 1003bA bA1004（按列分块）（按列分块）,4321 AAAA bbaaA110101000001 0011aA 其中其中 0002aA 1013bA bA1104 （按行分块）（按行分块）两种特殊的分块方式：两种特殊的分块方式：57分块矩阵的运算法则分块矩阵的运算法

33、则: :(1)(1)矩阵矩阵A与与B为同型矩阵为同型矩阵,采用同样的分块法采用同样的分块法,有有 111211112121222212221212,rrrrsssrsssrAAABBBAAABBBABAAABBB111112121121212222221122rrrrsssssrsrABABABABABABA BABABAB注： 也是同型矩阵。当然，对加法而言，分块法意义不大。ijijAB与58(2)数乘： 设 ， 是数，则1111rssrAAAAA1111rssrAAAAA59(3) A为为m l 矩阵矩阵,B为为l n 矩阵矩阵,将将A,B分成分成 11111111,trsstttrs t

34、t rAABBABAABB其中其中Ai1,Ai2,Ait的列数分别等于的列数分别等于B1j,B2j,Btj的行数的行数,则有则有 1111rssrs rCCABCC1(1,2,., ;1,2,., )tijikkjkCA Bis jr其中60注：矩阵的分块乘法能够进行，则应有前一(左)矩阵的列数=后一(右)矩阵的行数；前一矩阵的列块数=后一矩阵的行块数；前一矩阵的每一个列块的列数=后一矩阵的对应的行块的行数简单的说，前一矩阵的列分法与后一矩阵的行分法一致一致。61 ，将A,B分别按照行和列分块用分块矩阵的乘法去理解矩阵乘法()()ijm sijs nAaBb，1212()TTnTmAB，则：1

35、11212122212()TTTnTTTnijm nTTTmmmnABc 其中，1sTijijikkjkca b 621000101001001201,1210104111011120AB例例10求求AB.解解 A,B分块成分块成 110000010012101101EAAE112122101 0120 1104 111 2 0BEBBB63111112122111211220EBEBEABAEBBABBAB 11422101204311012101112121111BBA 133302141121221BA1010120124331131AB64(4)设设111212122212rrsssr

36、AAAAAAAAAA则则112111222212ssrrsrAAAAAAAAAA(5)设设n阶方阵阶方阵A的分块矩阵为的分块矩阵为 12mAAAA除主对角线上的子块不为零子块外除主对角线上的子块不为零子块外,其余子块都为其余子块都为零矩阵零矩阵,且且Ai(i=1,2,m)为方阵为方阵,则则A称为称为分块对角矩分块对角矩阵阵(或或准对角矩阵准对角矩阵). 怎么样就成为对角矩阵？65例如：例如：321AAA00为准对角矩阵。32000014000000600000051000021100001266 在矩阵理论的研究中在矩阵理论的研究中, ,矩阵的分块是一种最矩阵的分块是一种最基本基本, ,最重要

37、的计算技巧与方法最重要的计算技巧与方法. .(1) 加法加法采采用用相相同同的的分分块块法法同同型型矩矩阵阵 ,(2) 数乘数乘的每个子块的每个子块乘乘需需乘矩阵乘矩阵数数AkAk,(3) 乘法乘法,ABAB若若 与与 相相乘乘 需需 的的列列的的划划分分与与 的的行行的的划划分分一一致致 分块矩阵之间的运算分块矩阵之间的运算: :分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似(4) 转置转置 srAAA11rA11sATsA1TrA1 TsrTTAAA11673 可逆矩阵可逆矩阵( (方阵方阵) ) 背景：背景：在矩阵的运算中没有除法。从乘法的角度看，在矩阵

38、的运算中没有除法。从乘法的角度看，n阶单位矩阵阶单位矩阵E在在n阶方阵乘法中阶方阵乘法中的地位的地位与数与数1 1在数的在数的乘法中的地位类似，因此可以把数中的倒数关系延乘法中的地位类似，因此可以把数中的倒数关系延拓到矩阵中。拓到矩阵中。定义定义3.13.1 对于对于n阶方阵阶方阵A, ,如果存在一个如果存在一个n阶方阵阶方阵B，满足满足AB=BA=E，则称方阵，则称方阵A可逆，且把方阵可逆，且把方阵B称为称为A的逆矩阵。记作的逆矩阵。记作 1BA显然，只有方阵才可能有逆矩阵；如果显然，只有方阵才可能有逆矩阵；如果B是是A的逆的逆矩阵，则矩阵，则A是是B的逆矩阵；的逆矩阵；实际上，只需满足实际

39、上，只需满足AB= E或 BA=E即可（后面有证）。即可（后面有证）。68例例1 设设,21212121,1111 BA,EBAAB .的一个逆矩阵的一个逆矩阵是是AB性质性质1 1 如果如果A是可逆的是可逆的,则则A的逆矩阵唯一的逆矩阵唯一 。证证:设设B,C都是都是A的逆矩阵的逆矩阵,则一定有则一定有逆矩阵的性质逆矩阵的性质B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.694,A BAB性质若为同阶方阵且均可逆 则亦可逆 且 1111 ABBAABAB1 AEA,1EAA .111 ABAB证明证明 1ABB1 1 A3,0, AkkA性质若 可逆 数则可逆 且 .111 AkkA1112,

40、.AAAA性质若 可逆 则亦可逆 且 .1212 AA推推广广1AmA1 mA1 1A70 TTTAAAA11 TE ,E .11TTAA 01,.kkAAEAA另外 当 可逆时 定义证明证明 为正整数为正整数k115,.TTTAAAA性质若 可逆 则亦可逆 且71性质性质6 设设 ，则，则，120na aa 112naaa 112naaa 12111naaa 11111nnaaa 72性质性质7 设设M是一准对角矩阵，是一准对角矩阵， 都是可逆矩阵，都是可逆矩阵，则则M也是可逆矩阵，且也是可逆矩阵，且12sAAMA (1,2, )iA is 111121sAAMA 类似的，类似的，11112

41、111sssAAAAAA 73性质性质8 8 设设A, ,B, ,C都是都是n阶矩阵，且阶矩阵，且A,B均可逆，均可逆，则则11111ACAA CBOBOB 性质性质9 9 设设A, ,B, ,D都是都是n阶矩阵，且阶矩阵，且A,B均可逆，均可逆，则则11111A OAODBB DAB 74例例 2 2 设设,0112 A.A求 的逆矩阵解解:设设 是是 的逆矩阵的逆矩阵, dcbaBA则则 dcbaAB0112 1001221 00 1a cb dab 利用待定系数法利用待定系数法(以后还有其它方法以后还有其它方法) , 1, 0, 02, 12badbca . 2, 1, 1, 0dcba

42、75又因为又因为 0112 2110 0112 2110,1001 所以所以.21101 AABAB76证证明明, 022 EAA由由 EEAA2 得得()2AEAE.,2,:, 022并求它们的逆矩阵并求它们的逆矩阵都可逆都可逆证明证明满足方程满足方程设方阵设方阵EAAEAAA 例例3 3.可可逆逆故故A .211EAA 77022 EAA又由又由 0432 EEAEA EEAEA 3412.EA可可逆逆故故2 EAEA34121 且且.43AE 12 EA类似的， ？类似于因式分解。1(4 )AE思考：是否还有别的方法？思考：是否还有别的方法？78例例4设A，B，A+B，A-1+B-1都可

43、逆，证明： (A-1+B-1)-1=B(A+B)-1A79500031 ,021A求求A-1 .例例5 设设解解11112231111(5),;,21235AAAA1250000310021AAA11005011 .023A80定义定义1 对矩阵的行施行下列三种变换称为矩阵的对矩阵的行施行下列三种变换称为矩阵的初等行变换初等行变换(1) 互换两行互换两行 的位置的位置 ( 记作记作 ri rj );(2) 以不为以不为0的数的数 k 乘以某一行乘以某一行 ( 记作记作 k ri );(3) 将某一行的元素乘以数将某一行的元素乘以数k后加到另一后加到另一行行的对应的对应元素上去元素上去 (记作记

44、作 ri + k rj )。相应地，对矩阵的列可以定义矩阵的初等列变换初等列变换 记号只需将 r 换成换成 c即可即可。矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等初等变换变换4 矩阵的初等变换和初等方阵81矩阵的等价关系满足的性质：矩阵的等价关系满足的性质：(1) 自反性自反性：；A A(2) 对称性对称性：若，则；BAAB(3) 传递性传递性：若，则；A B B CA C记做记做AB定义定义2 若矩阵若矩阵经过若干次初等变换得到矩阵经过若干次初等变换得到矩阵则称矩阵则称矩阵与矩阵与矩阵等价等价ABAB82定义定义3满足下列特点的矩阵称为满足下列特点的

45、矩阵称为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵（1）矩阵中可画出一条阶梯线，阶梯线下方元素全为零）矩阵中可画出一条阶梯线，阶梯线下方元素全为零（2）每个阶梯只有一行，且阶梯线的竖线后面第一个）每个阶梯只有一行，且阶梯线的竖线后面第一个元素非零元素非零其中，元素全部为零的行称为其中，元素全部为零的行称为零行零行，否则称为，否则称为非零行。非零行。定理定理：任何矩阵都可以通过单纯的初等行变换化成行：任何矩阵都可以通过单纯的初等行变换化成行阶梯形矩阵。阶梯形矩阵。例如：例如：120400510000A就是一个行阶梯形矩阵就是一个行阶梯形矩阵83 例如例如： 对下列矩阵施行初等行变换化为行阶梯形对下列矩阵施行初等行

46、变换化为行阶梯形21312rrrr012140243501267B01214000530005332rr012140005300000目前，已经化为行阶梯形矩阵了。下面继续进行初目前，已经化为行阶梯形矩阵了。下面继续进行初等行变换。等行变换。84215r0 1 21430 0 0150 0 00012rr170120530001500000观察上述行阶梯形矩阵，满足观察上述行阶梯形矩阵，满足（1）非零行的第一个非零元素都是）非零行的第一个非零元素都是1（2）每个非零行的第一个非零元素所在列的其）每个非零行的第一个非零元素所在列的其他元素都是零。他元素都是零。满足这两个特点的行阶梯形矩阵称为满足

47、这两个特点的行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵行最简形矩阵可知，可知，任何矩阵都可以通过单纯的初等行变换化成行任何矩阵都可以通过单纯的初等行变换化成行最简形矩阵。最简形矩阵。85定义定义 由单位矩阵由单位矩阵 E 经过经过一次一次初等变换得到的矩阵初等变换得到的矩阵称为称为初等初等方方阵阵。 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用非常广泛用非常广泛.三种初等变换对应着三种初等方阵三种初等变换对应着三种初等方阵. 行（列）上去行（列）上去乘某行（列）加到另一乘某行（列）加到另一以数以数乘某行或某列；乘某行或某列；以数以数对调两行或两列；对调两行或两列；kk. 3

48、0. 2. 186110111011ijijrrnccE 或记作第第 i 行行第第j行行( , )E i j(1)87111111iikrncEk或k记作(2)第第 i 行行( )Eik88(3)1111k第第 i 行行第第 j 行行ijjirkrnkcE或或c cE( i+ j (k)记作89关于初等方阵有下列结论关于初等方阵有下列结论: E(i,j)-1E(i,j)E(i(k)-1=E(i(1/k),E(i+j(k)-1=E(i+j(-k) 注注:上述结论可以利用逆矩阵的定义证明上述结论可以利用逆矩阵的定义证明初等方阵都是可逆矩阵初等方阵都是可逆矩阵,并且它们的逆矩阵仍然是并且它们的逆矩阵

49、仍然是初等方阵初等方阵.其逆矩阵分别是其逆矩阵分别是:90 111212122231323111221223132111213212223313233110010000110201000110030010100nnnaaakaaaaaakaaaaaabbbbbbbbbk例计算并观察初等方阵的作用其中 nnnaaakakakaaaa332312222111211 3231222132123111aaaakaakaa 323331222321121311bbbbbbbbb91定理定理1对对A施行一次施行一次初等行变换初等行变换，相当于在，相当于在A的的左侧乘以左侧乘以一个相应的一个相应的m阶阶初等

50、矩阵初等矩阵；对对A施行一次施行一次初等列变换初等列变换，相当于在，相当于在A的的右侧乘以右侧乘以一个相应的一个相应的n阶阶初等矩阵初等矩阵；设设A是一个是一个 m n 矩阵矩阵矩阵乘法与矩阵的初等变换的关系92r1 r2343332311413121124232221aaaaaaaaaaaaE(1, 2) A343332311413121124232221aaaaaaaaaaaa100001010343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA例如：例如：93定理定理2: 任意一个任意一个m n矩阵都可以经过若干次初等行矩阵都可以经过若干次初等行变换和若干次初等列变换化为如下形状的矩阵：变换和若干次初等列变换化为如下形状的矩阵：()()() ()rrn rm rrm rn rEOOO1212stPPPQQQ即即存存在在初初等等矩矩阵阵， ， ，和和， ，使使 0002112rtsEQQAQPPP称为A的初等标准形其中其中，),min(nmr rEOPAQOO推论推论: 设设A是一个是一个m n阶矩阶矩阵，则一定存在阵，则一定存在m阶可逆矩阵阶可逆矩阵