D44有理函数积分62377PPT学习教案

1、会计学1D44有理函数积分有理函数积分62377)()()(xQxPxR nnnaxaxa110mmmbxbxb110有理函数:nm时,)(xR为假分式;nm 时,)(xR为真分式有理函数相除多项式 + 真分 式分解其中部分分式的形式为kkqxpxNxMaxA)(;)(2)04,N(2qpk若干部分分式之和机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共28页;) 1(1) 1 (2xx;653)2(2xxx.)1)(21 (1)3(2xx解解:(1) 用拼凑法22) 1() 1(1xxxx2) 1(1x) 1(1xx2) 1(1x) 1( xx2) 1(1x11xx1) 1( xx) 1( x

2、x机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共28页6532xxx)3)(2(3xxx2xA3xB原式)2(xA2x233xxx5原式)3(xB3x323xxx6故25x原式36x机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共28页)1)(21 (12xx xA2121xCBx原式)21 (xA21x54机动 目录 上页 下页 返回 结束 代入等式两端分别令1 ,0 xC541215461CB 52B51C原式 =x214512112xx第4页/共28页CaxAln) 1( nCaxnAn1)(1xaxAd. 1xaxAnd)(. 2机动 目录 上页 下页 返回 结束 xqxpxNxMd.

3、32xqxpxNxMnd)(. 42) 1,04(2nqp变分子为 )2(2pxM2pMN 再分项积分 第5页/共28页.)1)(21 (d2xxx解解: 已知)1)(21 (12xx51x214212xx211xxx21)21 ( d52原式221)1 ( d51xx21d51xxx21ln52)1 (ln512xCxarctan51例1(3) 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共28页.d3222xxxx解解: 原式xxxd3223)22(21x32)32d(2122xxxx32ln212xx22)2() 1() 1d(3xxCx21arctan23思考思考: 如何求机动 目录 上页

4、下页 返回 结束 ?d)32(222xxxx提示提示:变形方法同例3, 并利用 P209 例9 . 第7页/共28页xxxd)4)(1(22)4() 1(22xx.d4555222423xxxxxxIxxxxxId4552243xxxxd455224245)55d(212424xxxx45ln2124xx2arctan21xCxarctan解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法. 第8页/共28页.d)22(222xxxx解解: 原式xxxd)22(22)22(2 xx)22(x

5、1) 1(d2xx222)22()22d(xxxx) 1arctan( x2212xxC机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共28页常规 目录 上页 下页 返回 结束 解解: 原式xxd14) 1(2x) 1(2 x211d4xx(见P348公式21)2arctan2211xx21221 ln21xx21xxCxxxxd12122121xxxxd121221212)(2121xx)d(1xx 2)(2121xx)d(1xx 注意本题技巧注意本题技巧xx21arctan2212Cxxxx1212ln24122)0( x按常规方法较繁按常规方法较繁第10页/共28页1d4xx第一步 令)(

6、1224dxcxbxaxx比较系数定 a , b , c , d . 得) 12)(12(1224xxxxx第二步 化为部分分式 . 即令) 12)(12(111224xxxxx121222xxDxCxxBxA比较系数定 A , B , C , D .第三步 分项积分 .此解法较繁 !机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共28页设)cos,(sinxxR表示三角函数有理式 ,xxxRd)cos,(sin令2tanxt 万能代换t 的有理函数的积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分则第12页/共28页.d)cos1 (sinsin1xxx

7、x解解: 令,2tanxt 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 222222cossincossin2sinxxxxx222tan1tan2xx212tt22222222cossinsincoscosxxxxx2222tan1tan1xx2211ttxdttd122第13页/共28页xxxxd)cos1 (sinsin1 2121tt212tt)1 (2211ttttd212tttd122121221tt 2tlnC2tan412x2tanxCx2tanln21机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共28页.)0(cossind2222baxbxax解解: 原式xxd2cos1222

8、tanbxa222)(tantand1abxxa)tanarctan(1xbabaC说明说明: 通常求含xxxxcossincos,sin22及的积分时,xttan往往更方便 .的有理式用代换机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共28页. )0(d)cossin(12baxxbxa解法解法 1 xttan令原式 dx2)tan(bxax2cos2)(dbtatCbtaa)(1Cxbxaax)cossin(cos机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共28页xbxacossin)0(d)cossin(12baxxbxa解法解法 2 cos,sin2222babbaa令22bax

9、babxbaacossin2222sincos原式)(cosd1222xxbaCxba)tan(122Cbaxba)arctantan(122机动 目录 上页 下页 返回 结束 baarctan第17页/共28页.dsinsin1cos2cos423xxxxx解解: 因被积函数关于 cos x 为奇函数, 可令,sin xt 原式xx42sinsin1xxxdcos)2(cos2xxx422sinsin1 ) 1(sin4221d) 1(tttttttd1t1221213)()d(211ttttCtt3arctan311Cxxsin3cosarctan312xsind机动 目录 上页 下页 返

10、回 结束 第18页/共28页,d),(xbaxxRn令nbxat,d),(xxRndxcbxa令ndxcbxat被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如:机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,d),(xbaxbaxxRmn,pbxat令., 的最小公倍数为nmp第19页/共28页.21d3xx解解: 令,23xu则,23 uxuuxd3d2原式u123uuduuud11) 1(32uuud)111(33221uuu1lnC3223)2( x323x321ln3xC机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共28页.d3xxx解解: 为去掉被积函数分母中的根

11、式 , 取根指数 2 , 3 的最小公倍数 6 ,6tx 则有原式23ttttd65ttttd)111(626331t221ttt1lnCCxxxx)1(ln6632663令机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共28页.d11xxxx解解: 令,1xxt则,112tx22) 1(d2dtttx原式原式tt) 1(2tttd) 1(222tttd1222t211lnttCxx12Cxxx1122ln机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共28页1. 可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2. 特殊类型的积分按上述方法

12、虽然可以积出,但不一定 要注意综合使用基本积分法 ,简便计算 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 简便 , 第23页/共28页如何求下列积分更简便 ?)0(d. 1662axxaxxxxcossind. 23解解: 1.23233)()(d31xax原式Caxaxa33333ln61Caxaxa33333ln612. 原式xxxxxdcossincossin322xxxcossindxxxdsincos3xxtantandxx3sinsindxtanlnCx2sin121机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共28页P218 3 , 6 , 8 , 9 , 13 , 15, 17 , 18 , 20 , 21第五节 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共28页求不定积分解：解：.d)1 (126xxx令,1xt 则,1tx ttxd1d2, 故xxxd)1 (126161t)11 (2tttd)1(2tttd126ttttd)111(224551t331ttCt arctanCxxxx1arctan1315135机动 目录 上页 下页