广东珠海一中等六校2015届高三第一次联考数学理试题版含答案

1、2015届广东六校联盟第一次联考试题（满分150分）考试时间：120分钟选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目1 .设集合M=x|x23x4<0,N=x|0<x<5,则MAN=()A.(0,4B.0,4)C.-1,0)D.(-1,02,设i是虚数单位，z表示复数z的共轲复数.若z=1+i,则j+iz=()A.2B.2iC.2D.2iy*3.已知实数x,y满足Jy<2x-1,则目标函数z=xy的最小值为()x+y<8A.5B.6C.7D.-24.若双曲线x2+ky2=1的离心率是2,则实数k的值是()A.3B.C.

2、一3D.335 .已知平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB=(2,4)AC=(1,3),则ADBD=()A. 一8B. -6C.6D.86 .已知某企业上半年前5个月产品广告投入与利润额统计如下:月份12345广告投入（x万元）9.59.39.18.99.7利润（y万元）9289898793由此所得回归方程为y=7.5x+a,若6月份广告投入10（万元）估计所获利润为（）A.95.25万元B.96.5万元C.97万元D.97.25万元7.如图：正方体ABCDABC1D1的棱长为1,E,F分别是棱A,B1,CD的中点，点M是EF的动点，FM=x，过点M、直线AB的平面将正方体分成上下两

3、部分，记下面那部分的体积为V（x）,则函数V（x）的大致图像是（）ABCD8 .以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数©x)组成的集合：对于函数Mx),存在一个正数M,使得函数(j)(x)的值域包含于区间M,M.例如，当(j)i(x)=x3,也(x)=sinx时，ji(x)CA,()2(x)CB.现有如下命题：设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)CA”的充要条件是“？bCR,?aCD,f(a)=b"；函数f(x)CB的充要条件是f(x)有最大值和最小值；若函数f(x),g(x)的定义域相同，且f(x)CA,g(x)CB,则f(x)+g(x)?B;x右

4、函数f(x)=aln(x+2)+x(x>-2,aCR)有最大彳1,则f(x)CB;若函数f(x)=ln(x2+a)wA,则aa0.其中的真命题有()A.B.C.D.二填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)(一)必做题(913题)49 .若不等式|x+1|-|x-4户a+,对任意的xWR恒成立，则实数a的取值范围是-a10 .已知函数f(x)=ln(1+x)ax的图象在x=1处的切线与直线x+2y1=0平行，则实数a的值为11 .已知数组(81,82,33,84,35)是1,2,3,4,5五个数的一个排列，如数组(1,4,3,5,2)是符合题意的一个排列。规定每一个排列只对应一个数

5、组，且在每个数组中有且仅有一个i使a=i(i=1,2,3,4,5),则所有不同的数组中的各数字之和为cosBb12 .在4ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且=右b=>/13,cosC2ac则a的值为.13 .实数项等比数列an的前n项的和为Sn,若S0=31,则公比q等于-&32*P=2V3cos6,直线的极坐标方程为:(二)选做题(1415题，考生只能从中选做一题)14 .(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的极坐标方程为:(15题图)2Pcose=J3.则它们相交所得弦长等于.15 .(几何证明选讲选做题)已知圆O的半径为3,从圆O外一点A引切线AD和割线ABC

6、,圆心O到AC的距离为242,AB=3,则切线AD的长为.、解答题(本大题共六个小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤)16 .(本小题满分12分)已知函数f(x)=cosxsin(x+)-x/3cos2x+,xCR.34(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间-,上的最大值和最小值.4417 .(本小题满分12分)广东某六所名校联盟办学，他们不但注重学生的学习成绩的提高，更重视学生的综合素质的提高；六校从各校中抽出部分学生组成甲、乙、丙、丁4个小组进行综合素质过关测试，设4个小组中：甲、乙、丙、丁组在测试中能够过关的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各组

7、是否过关是相互独立的.18 )求测试中至少3个小组过关的概率；19 )X表示测试中能够过关的组数，求X的数学期望.18.(本小题满分14分)如图，在三棱锥PABC中，PA_L面ABC,NBAC=120°,1且AB=AC=AP,M为PB的中点，N在BC上，且BN=BC.3P(1)求证：MN_LAB；.卜、(2)求平面MAN与平面PAN的夹角的余弦值./“NB19.(本小题满分14分)已知数列an中，a1=3,前n项的和是Sn满足：Vn=N都有：Sn=1(n+%205+bn)3-1,其中数列bn是公差为1的等差数列；2(I)求数列Qn的通项公式；12_(n)设cn=,求Tn=g+c2+c

8、n.an-422xy120 .(本小题满分14分)已知椭圆C:=+七=1(a>b>0)的离心率为一，以原点为圆心、椭圆的短半_ab2轴长为半径的圆与直线x-y+2而=0相切.(I)求椭圆C的方程；(n)设A(Y,0),过点R(3,0)作与x轴不重合的直线l交椭圆于P、Q两点，连结AP、AQ分别交直线x=16，、一，、口一，一-4口，、一-4口一于M、N两点.试问直线MR、NR的斜率之积是否为定值，若是，求出该定值；若不是,3请说明理由.21 .(本小题满分14分)2te乂在R上的函数g(x)及一次函数h(x)满足：g(x)+2g(x)=e+二9,h(2)=h(0)=1e且h(由)-

9、2.(I)求g(x)和h(x)的解析式；(II)对于x1,x2w-1,1,均有MxJ+a%+5之g(x2)-x2g(x2)成立，求a的取值范围；(III)设f(x)=!g(x),(x>0),讨论方程ff(x)=2的解的个数情况.h(x),(x<0)参考答案1.B2.C3.D4.D5.D6.A7.C8.D8提示：若f(x)CA,则f(x)的值域为R,于是，对任意的bCR,一定存在aCD,使得f(a)=b,故正确.取函数f(x)=x(-1<x<1),其值域为(1,1),于是，存在M=1,使得f(x)的值域包含于M,M=1,1,但此时f(x)没有最大值和最小值，故错误.当f(

10、x)CA时，由可知，对任意的bCR,存在aCD,使得f(a)=b,所以，当g(x)CB时，对于函数f(x)+g(x),如果存在一个正数M,使得f(x)+g(x)的值域包含于M,M,那么对于该区间外的某一个boCR,一定存在一个aoCD,使得f(a0)=b-g(a0),即f(a0)+g(a°)=b0?M,M,故正确.x对于f(x)=aln(x+2)+x2工7(x>2),当a>0或a<0时，函数f(x)都没有最大值.要使得函数f(x)有最大一一*.一，-x_111,一1,，一一一值，只有a=0,此时f(x)=x(x>-2),易知f(x)C2I所以存在正数M=2,使

11、得f(x)CM,M,故正确.若f(x)wA值域是R,则x2+a的值要取遍所有的正实数，从而a<0故错误19.(-00,Y=T,0)10.111.67512.1或313.14.3.15.寸15216.(1)由已知,有f(x)=cosxgsinx+cosxiV3cos2x+书=+sin2x半(1+cos2x)+坐=：sin2x申22444444cos2x7t=；sin?x3j所以f(x)的最小正周期T=7t(2)因为f(x)在区间兀兀45-12是减函数，在区间12,n上是增函数，f'-77t7t14,所以函数f(x)在区间17.(1)所求概率为(2)X可能取值为0.6)0X(1-0.

12、4)的最大值为4,最小值为22c，,_2P=0.6P5%10.4)+20洸0.5刀.4+(10.6)0.5刀.4+0.60为>0.4=0.09+0.12+0.04+0.06=0.310,1,2,3,4,则P(X=0)=(1-0.6)0.52X(1-0.4)=0.06,P(X=1)=0.60<52X(10.4)+2«十(10.6)谒>02.,.4=0.25,P(X=4)=0.60.5X0.4=0.06,由(1)知P(X>3)=P(X=3)+P(X=4)=0.31,则P(X=3)=0.310.06=0.25,P(X=2)=1P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)

13、-P(X=4)=10.060.250.25-0.06=0.38,所以EX=0>P(X=0)+1XP(X=1)+2XP(X=2)+3XP(X=3)+4XP(X=4)=0.25+2X0.38+3X0.25+4X0.06=2181)不妨设AB=AC=AP=1,又/BAC=120=,：.在AABC中,_222BC=1+12父1M1cos120°=3,BC=,3，则BN=1BC=33AB,所以BCBN_、一、一BN，又NABC=NNBA,.NBAAABC,ABNBA也为等腰三角形.【另：由BC=J3,则BN,在4NBA中,3AN2=1+12M1x，3xcos30C=1,AN=BN,NBA

14、也为等腰三角形】333(法一)取AB中点Q,连接MQ、NQ,NQ_LAB,MQ/PA,PA_L面ABC,PA_LAB,MQ_LAB,所以AB，平面MNQ，又MNu平面MNQ,.AB±MN(法二)/BAN=30s,则/NAC=120。30°=90°,以A为坐标原点，AN的方向为立如图所示M31.3的空间直角坐标系可得A(0,0,0),B(-,0),M(22411.3-4,2),N(-731AB=(，-,0),MN=(22124-)则ABMN=0,:2所以MN_LAB.(2)同(1)法二建立空间直角坐标系，可知£(0,0,1),C(0,1,0),平面PAN的

15、法向量可取为AC=(0,1,0),设平面ANM的法向量为m=(x,y,z),LL.311Tv311)<3,mAM”0x-yz=0AM=(，-一,一)，AN=(,0,0)，即14424423mAN=0iJ3x=03x轴正方向，建,即1y=2zx=0TT得m=(0,2,1),cos<2,5|m|AC|5【另：过B作BD/AC,交AN延长线于D,连PD,MF,由CA_L面PAD,BD/AC/ME,PA-LAN,EF/PA,且MF_LAN,，NEFM是所求两面角的平面角.2.5,故平面MAN与平面PAN的夹角的余弦值5分别取PD、AD中点E、F,连ME,则ME，面PAD,EF-LAN,EM

16、-AEF,FN1644“111-1BD=AC=,ME=BD=,2224cosEFM生_2一”】MF、5519. vvnwN*都有：Sn=g(n+，2015+bn)31,令n=1得：&(1+52015+b)31=3从而b1=1J2015,又因为数列是公差为1,所以，bn=1'2015+(n1)=nJ2015得：&=1(2n)31=4n31,当n之2时，Sn,=4(n1)31,an=SnSn=4(3n23n+1)2一3(n=1)检验：n=1时，a103不满足题设；故通项公式是：an=«24(3n2-3n1)(n_2)12一12111(n)当n=1时，c1=12,当

17、n之2时，cn=,所以a1-4an-4n(n-1)n-1nTn=G'c2''cn1111.1, 1111.1=12+-+-+III+=12+1=11,n=1符合，故Tn=11.1223n-1nnnn20. (1)b=|2廖|=2而,e2=a_2b-=1,a2=16,故C:x+y=1.2a41612设P（Xi，Yi）,Q（X2，Y2）,依题意，可设直线PQ:x=my+3.将其与椭圆方程联立，消去x得：（3m2+4）y2+18my21=0y1y2二-18m3m24,y1y2=-213m24由A,P,M三点共线可知，r28y同理可得yN=28y-3X24Vm_Vi、，_28y

18、116-二X"yM=二'-4X1X1r3yN_9yM，yN16Q4933kMRkNR=yM7-316y1y2(X14)(X24)而(X14)(X24)ymy7)(my27)=m'y佻7m(yy2)49,所以kMRkNR-2116f3m24-2123m2418m7m2493m2416(-21)44912一，上，故直线MR、NR的斜率为定值7127X21.(i)-g(X)+2g(x)=e2一，、一，、X-9,0,g(-X)2g(X)ev1一g(-X)+2g(X)=2eX+工-9,e由玦立解得：g(X)=eX-3.丁h(X)是二次函数，且h(2)=h(0)=1,即h(X)=1的两根为-2和0可设h(x)=ax(x+2)+1,由h(-3)=-2,解得a=1.二h(x)=x(x+2)+1=_x22x+1,g(x)=ex-3,h(x)=-x22x+1.2xx(n)设9(x)=h(x)+ax+5=x+(a2x+6,F(x)=g(x)xg(x)=e-3-x(e3),依题意知,当,1<x<1时,*(x)mm>F(x)max,F'(x)=ex(ex3+xex)=xex+3,F(x)=<exxex)=(x1)ex<0,.二F(x)在1-1,1上单调递减，F'(x)min=F'(1)=3e>0,F(x