小学数学竞赛弦图

1、用“弦图”求面积同学们，给你八个边长分别为3厘米、4厘米的直角三角形，不许重迭，不许剪裁，你能拼出一个正方形来吗？聪明的小朋友一定会想出许多巧妙的方法.图1就是小慧想出的一种拼法，这就是有名的“弦图”.三国时期吴国数学家赵爽，在为我国早期数学巨著周髀算经作注释时，就利用这“弦图”对勾股定理作出了严格而简捷的证明.“弦图”是由八个完全一样的直角三角形拼成四个相同的长方形围成的，中间空出一个小正方形.根据“弦图”中大小正方形与长方形的关系，可使我们得到一些面积问题的解题思路.图1、例题选讲例1有一大一小的两个正方形（见图2）,对应边之间的距离都是1厘米,如果夹在两个正方形之间部分的面积为12平方厘

2、米，那么大正方形的面积是多少？分析与解要想求出图2中大正方形的面积，根据公式，只要先求出大正方形或小正方形的边长就行.下面设法来求这两个量中的某个量.图2与图1有类似之处，添辅助线将图2变成图3,就成了一个“弦图”.图3中小正方形外围的四个长方形的形状和面积都一样，这样其中一个的面积为（12+4=）3平方厘米，又因为这个长方形的宽为1厘米，所以长方形的长为（3+1=）3厘米，大正方形的边长为4厘米，这一来面积就可求出了.12+4=3（平方厘米）（一个长方形面积）3+1=3（厘米）（长方形的长）3+1=4（厘米）（大正方形的边长）4X4=16（平方厘米）（大正方形的面积）利用同解法1类似的想法还

3、可以找到下面的一些解法.也可以先添辅助线，将图2变成图4,先求图4中长方形A的面积,因为大正方形四角都是边长为1厘米的正方形，而剩下的四个长方形形状和面积都一样，所以A的面积为：图4（12-1X4）+4=2（平方厘米）又因为长方形A的宽为1厘米，所以它的长为:2+1=2（厘米）大正方形的面积为：12+2X2=16（平方厘米）还可以另添辅助线，将图2变为图5.图5中4个梯形的形状和面积都一样，所以每个梯形的面积为（12+4=）3平方厘米.梯形面积等于上、下底之和乘以高再除以2,每个梯形上、下底（即大、小正方形的两个边长）之和为6,而大小正方形边长之差为2厘米，所以大正方形的边长为4厘米，这一来大

4、正方形面积为（4X4=）16平方厘米.另外，适当移动小正方形后，再添辅助线，将图2变为图6.因图6中两个梯形的面积与形状都一样，所以一个梯形的面积为（12+2=）6平方厘米.和解法3类似，可求出梯形上、下底之和与差分别为6厘米和2厘米.故梯形的上底（即大正方形的边长）为4厘米，大正方形的面积为（4X4=）16平方厘米.以上解法各有千秋，小朋友，你还有其他的解法吗？例2用同样大小的22个小纸片摆成图7所示的图形，已知小纸片的长是18厘米，求图中阴影部分的面积和.分析与解图7猛一看似乎无从下手，但只要你仔细观察，马上就会发现，该图1中间三个图形的形状一样，都是与图3一样的“弦图”.我们知道，“弦图

5、”的特点是，小长方形的长与宽的和，恰好是大正方形的边长，而长方形的长与宽之差，恰好是小正方形的边长.现在要求图7中阴影部分的面积和，由于每个小阴影部分都是一个小正方形，所以只要求出它的边长就行了，而小正方形边长等于长方形长与宽之差，由于长方形的长是18厘米，因此只要求出它的宽，问题便解决了.为求出长方形的宽，我们再来观察图7.从图7的第一排和第二排可以看出，小纸片的五个长等于它的三个长加它的三个宽，也就是它的两个长等于它的三个宽.由于两个长等于（18X2=）36厘米，所以每个宽为12厘米，这样问题就好解决了.由于图中5个小纸片的长等于3个小纸片的长加上3个小纸片的宽，所以3个小纸片的宽等于2个

6、小纸片的长.每个小纸片的长为18厘米，所以3个纸片的宽为36厘米，因而每个小纸片的宽为12厘米.一个阴影部分小正方形的边长等于长方形长与宽的差，即小正方形的边长为（18-12=）6厘米.因此一个阴影小正方形的面积为（6X6=）36平方厘米，3个阴影部分面积和为：36X3=108（平方厘米）例3从一个正方形的木板上锯下宽0.5米的一个长方形木条以后，剩下的长方形的面积为5平方米，问锯下的长方形木条的面积等于多少？|0.5米5平方米图6分析与解先将题目中的已知条件画成图8,我们先看图8中下面剩下的那个长方形.已知它的面积等于5平方米，它的长与宽的差为0.5米，根据“弦图”的启示，我们可以将这样形状

7、的四个长方形拼成一个如图9那样的一个“弦图”.图9是一个大正方形，它的边长等于长方形的长与宽之和，中间那个小正方形的边长，等于长方形长与宽之差，即等于0.5米.这样小正方形的面积为（0.5X0.5=）0.25平方米，那么大正方形的面积为（5X4+0.25=）20.25平方米.由于4.5X4.5=20.25,所以大正方形的边长为4.5米.这样我们便知道了剩下的长方形长与宽的和为4.5米，而长与宽的差为0.5米，使用：5555图9（和+差）+2=大数，（和-差）+2=小数这两个公式中的任一个，便能求出长方形的长来，这个长就是锯下的小长方形的长.有了这个小长方形的长，而宽又已知为0.5米，那么用面积

8、公式便能求出它的面积来.即45图9中大正方形的面积为：5X4+0.5X0.5=20.25（平方米）因为4.5X4.5=20.25,所以大正方形边长为4.5米.原正方形的边长为：（4.5+0.5）+2=2.5（米）锯下一条小长方形的面积为：2.5X0.5=1.25（平方米）、巩固练习1 .通用p32A卷5图112 .通用p34B卷13.38个长为4厘米的小纸片，摆成图11所示的图形，求图形中阴影部分面积的和.4 .从一块正方形玻璃上裁下宽为16分米的一长方形条后，剩下的那块长方形的面积为336平方分米，原来正方形的面积是多少平方分米？5 .计划修一个正方形的花坛，并在花坛的周围铺上宽2米的草坪，草坪的面积是40平方米，那么修建花坛需占地多少平方米？图126 .大小两个长方形摆成图12所示的形状，小长方形的长是宽