微积分与矩阵

1、微积分学（Calculus,拉丁语意为用来计数的小石头）是研究极限、微分学、积分学和无穷级数等的一个数学分支，并成为了现代大学教育的重要组成部分。微积分学基本定理指出，微分和积分互为逆运算，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中一般会先引入微分学。在更深的数学领域中，高等微积分学通常被称为分析学，并被定义为研究函数的科学，是现代数学的主要分支之一。早在古代，人们就会积分思想，如阿基米德用积分法算出了球的表面积，中国古代数学家刘微运用割元法求出圆周率3.1416,这也是用正多边形逼近圆，任何求出近似圆周率。J割圆法也是积分思想。我们最伟大

2、的古代数学家（现在是华罗庚）祖冲之也是利用积分算出了圆周率后7位数。和球的体积。但是正正系统提出微积分的是牛顿和莱布尼茨，他们为谁先发明微积分挣得头破血流。牛顿是三大数学家之一，也是第一位划时代的物理学家，晚年从事神学和炼金学，它创立了整个经典力学体系和几何光学，这几乎成为了整个中学的必修部分，初中的力学和光学默认为几何光学，力学默认为简单的经典力学。高中开始正式学习经典力学。这里有一个非常之大的错误就是初中里为了方便或简单，用平均速率来代替平均速度，也就是速度公式v=x/t在初中里用速率公式v=s/t代替。速度和速率一个是矢量，一个是标量，这里差距巨大，不知道编写初中课本（人教版是这样）的编

3、者是学历太低，还是别有用心？这里我们讲微积分，之所以提起这个事情，就是为了突出一个名词一一平均速度。牛顿发明微积分（暂且认为是他和莱布尼茨共同发明的）的目的是为了研究物理学,因为微积分能解决很多普通数学不能解决的物体，如求曲边梯形面积。实际上，我们初中是速度公式是速率公式，即v=s/t高中的速度公式实际上是平均速度公式，即v=x/t这里的念德耳塔，表示变化率，这里当然不是用去乘x了，*是一个整体，就像汉字一样。实际上，每一个认真观察课本的人都会发现，课本上说，在at很小的时候，也就是一瞬间，那么此时的速度叫瞬时速度。课本上并没有给出瞬时速度的详细公式，它应该是这样的：dr是d和r相乘。这里的d

4、和一样，都是一个符号，而不是一个代数，千万不要认为上述方程也不能约分为v=r/t。不然的话，难倒一片人的薛定谓方程在小学生的眼里岂不是可以由i)=育中i)化简为h=H?这里为什么是d,而不是,我们先来看一个微积分的概念一一导数：首先是平均变化率，如果一个自变量x在x0上有增量*,则x的函数f(x)也有变化量f(x0+x)-f(xO)我们把函数的变换量简记为y,则y=f(x0+x)-f(xO)牛顿(或莱布尼茨)把Ay与*的比值，即y/Ax=f(x0+x)-f(xO)/Ax叫做平均变化率，如果x表示时间，那么位移是时间的函数，满足x=vt,也就是一个正比例函数如果你知道正比例函数，说明你读了初二，

5、下面的内容不会很难。但*无穷趋于0的时候，我们记做x-O那么我们得到平均变化率就变成了瞬时变化率，用公式表达是：liinxn=L这里我们用Xn表示平均变化率f(x0+Ax)-f(x0)/AxL用F(x)表示，叫做函数f(x)在x=x0处的导数，或微分，也可以是瞬时变化率。但x-O,我们可以把换成d,那么dx=意我们把dx叫做Ax的微分。那么我们就能明白瞬时速度公式:drV=dt我们现在知道了什么是微分一一x在趋于无限小的时候，dx=X,dx就是*的微分。所谓微分，就是把一个东西放大。如一条曲线，放大后不那么陡峭，再放大就是近似于直线，再放大就是与直线没什么两样了。但放大到无限小的时候，曲线就越

6、接近直线。那么就是当变化量*无限小的时候，dx就叫它的微分。一个函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率为limy/x其实lim下面有一个x-O表示*趋于无限小。这个瞬时变化率叫做函数y=f(x)在x=x0处的导数或微分。记做f(x),在关系f上加上一点。即f(x)=limf(x0+x)-f(x0)/Ax这就是导数的定义，求导数的过程叫求导，即微分。函数y=f(x)在x=x0处的导数f(x0)是一个常数，那么，当自变量x变化时,导数f(x)也是x的一个函数。我们称之为导函数，简称导数。记做y'°即y'=f(x)导数f(x0)实际上就是函数y=f(x)在点(x0,f(x

7、0)处的切线的斜率。即tana=k=f(x0)这里tan”叫倾斜角的正切值，k为切线(直线)的斜率也就是倾斜角的正切是这条直线的斜率。这里涉及到最基本的解析几何。【一个直线与x轴交于一点，那么x轴正方向与这条直线组成的向上的夹角，就是这条直线的倾斜角，而这条直线倾斜角的正切就是斜率，由于90度的角没有正切值，所以直线与y轴平行，与x轴垂直时，它没有斜率,但是有倾斜角=90度。所以导数f(x0)实际上就是函数y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线的斜率。当然，求导数不仅仅只有定义，还有以下求导公式：(c)'=0c为常数，也就是常数的导数为0(xAn)'=nxA(n-1)(si

8、nx)'=cosx(cosx)'=-sinx(aAx)'=aAxlna(eAx)'=eAx|(logaX)'=1/xIna(inx)'=1/x这里sin叫正弦、cos叫余弦Ing是对数符号。如aAx=N那么X=logna这里N叫真数，a叫对数的底数，X叫对数。:当a=10时，就表示为lgN当无理数e(欧拉常数)为底的对数，表示被lnN其中e=2.71828这里对数不多讲，我们讲的是微积分。导数再扯远了就和物理关系不大了。由于这里是物理吧，而不是数学吧，我们先抛开导数和微分。来看看微分的逆运算一一积分。积分中最基本的是定积分。假设说有一个曲线f(x

9、)和两条直线*=2和*=屋这两条直线与x轴交于点a、b我们把这两点a、b组成一个闭区间【a、b】就是这个区间内的点是a<x<b我们把闭区间【a,b等分为n个小区间。即a=x0<x1<<x(i-1)vXiv<Xn=b那么每一个小区间的长度是(b-a)/n在每个小区间【X(i-1),Xi上取一点(其实就是自变量x的一个取值)3i其中(i=1.2.3n)求和n52g其中Ax是每个小区间的长度，就是(b-a)/n(b-a)/nf)用通俗点的话说，就是一个曲线f(x)和三个直线x=ax=bx轴组成了一个曲边梯形。把曲边梯形的腰一一区间【a.b1分成n部分。然后每一部分

10、上某一点对应的函数值f(x)就是从这条腰作一条垂线，交于曲线上一点，然后以这个小区间为宽，做一个长方形。然后(b-a)/n和f(x)的乘积就是这个长方形的面积。而这样的长方形有n个，于是n个长方形的面积近似于梯形的面积。如下图:当n一无限大的时候，长方形就会越来越细，也会越来越接近梯形的面积。于是表示为：nlim"Ifx)dx.这个和式我们用一个新的符号：Ja表示。这就是函数f(x)在区间a,b上的定积分其中，a与b分别叫做积分下限和积分上限，区间【a,b叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数，x叫积分变量，f(x)dx叫被积式。我们可以利用定积分做很多普通数学不能完成的事情，如计算

11、曲边梯形的面积：由y=f(x),x=a,x=b和x轴围成的曲边梯形的面积为f(x)dw.其实微分算符位后的f(x)dx应该打上绝对彳1号，就是1f(x)dx1因为梯形的面积是正数，但如果曲线在X轴下面，定积分算出来的结果是负的。另外，我们还可以用定积分求出变速(注意，没有匀！)直线运动的位移或路程。f/(x)dx.位移X='其中f(x)中的自变量x应该是t,关系式f应该是速度满足的函数关系式v那么从手打出来是：X=/v(t)dt同样，路程是：S=/1v(t)dt1(这里v是速率，而1是绝对值号，请原谅我)如果是做功呢？我们知道做功的定义式是作用在物体上面的力使物体在力的方向上移动一段距

12、离。初中的表达式是：W=Fs(这里s还是指路程，实际上应该是位移)高中学了三角函数就是：W=Flcosa而这里F默认为一个常数，但是如果是变力做功呢？那么请定积分来帮忙：W=fF(x)dx其中F(x)是表示变力。复习一下，我们用微积分做了些什么:dr瞬时速度公式.a.瞬时加速度公式变速直线运动位移公式X=/v(t)dt路程公式S=/1v(t)dt1变力做功W=fF(x)dx顺带一提的是，定积分也可以求曲线的长度，在曲线可以很长无限个线段，我们知道毕达哥拉斯定理(勾股定理)那么其中一个线段的长度是：V(Ax)2+(Ay)2求和，有汇U(Ax)2+(Ay)2当x-O时，结果就是/EMdx)2+(d

13、y)2】dx实际上，稍微变形就可以得到/E11+(dy/dx)2dx/(x)dx.如果改变定积分Ja的上限b时，每对应一个b就有一个积分值。f/(z)dx.也就是说，Ja决定于b,把它表示为一个一元函数【PS:本贴讨论的函数默认为一元函数】就是/(x)dx.Ja=F(b)那么久有了一个新的函数关系F。_|由于b的定义域是R(暂时不考虑复数)，所以b可以换成自变量x,这函数F(b)就是F(x)/(x)dx.函数F(b)就是省略了积分上限和下限的定积分Ja写为：/fx)dx=F(x)那么从函数f(x)求F(x)的这种计算叫不定积分”想想也是，省去积分下限的定积分命名为不定积分”设在x与x+x之间，

14、函数f(x)的最大值为兀，最小值为e。(兀和e仅仅表示纪念)那么兀xvF(x+x)<ex除*得到兀vF(x+Ax)-F(x/Ax<e曲x的微分即当x-O的时候，兀和e趋于f(x),表示为：dF(x)/dx=f(x)而F(x)是不定积分，即/f(x)dx=F(x)所以d/f(x)dx/dx=f(x)所以，由/f(x)dx=F(x)得dF(b)/dx=f(x)或/f(x)dx=F(b)于是我们得到结论:不定积分与微分是互为逆运算，即所以不定积分和微分是可以转换的。于是牛顿和莱布尼茨有话说了：如果f(x)是区间a.b上连续的函数，并且F'(x)=f(x)那么roI/(x)dz=F

15、(6)F(a)这就是牛顿-莱布尼茨公式，也叫微积分基本定理。它说明了不定积分和微分是可以转换的。什么是矩阵？把数字列在一个矩形的表里，如19-13205-6这是一个3x2的矩阵(横着的叫行，竖着的叫列)只有一行或一列的矩阵叫向量。如15或231是一个向量。如xy是一不三维向量xyz是一个三维向量矩阵允许存在很高维度的向量。18世纪中叶，随着自然科学的极大发展，原有的数学模式作为一种工具，无疑已经落后了。自莱布尼茨从形式逻辑中发展出数理逻辑，数学符号和公式便成为了微积分诞生的有力土壤。微积分可分为微分学和积分学两类。微分学始于牛顿对匀变速直线运动和他的第二定律的研究，一个重要的问题就是如何把握当

16、一个变量随自变量变化而呈现出复杂甚至是无序变化时的状态。所以，唯一行之有效的方法就是先使自变量取很小值，计算出当下因变量所对应的点值，然后将这些点值加起来。当然，加起来的工作是属于积分学范畴的。微分的最初形式是牛顿和莱布尼茨分别各自研究出的导数形式，即f(x+x)-f(x)/*形式，但是这一形式诞生之初就遭到了经验主义哲学家贝克莱主教的诘难，他无法忍受一个概念上的偷换，即：假设有y=sinx,对两边求导有y'=sin(x+Ax)-sinx/Ax=2cos(x+x/2)sin(x/2)/Ax=cosx令贝克莱不解的是牛顿开始说一*明明是一个小增量，但是为什么在结论中又突然等于一0了呢？对

17、于这个问题的解释，牛顿本人也是无从厘清。最终在主教神学角度”的猛烈攻击下，酿成了数学的第二次危机(第一次危机是负数的发现，第三次危机是集h论悖论)，这一危机最终在莱布尼茨提出极限理论和洛必达写出第一部微积分教程后才得以解决。所以，我们必须要从极限来探讨微积分的意义。(一)极限、两个重要极限之一与高阶无穷小：1 .极限首先是一种函数关系在某一点上的反应，因此必须要用变量的语言来描述极限的含义，即：设f(x)在x0|a-n<x0<a+n)(领域)内有定义，当A为某个常数时，如果对于任意给定正数m,都存在一个正数n,使得一切属于0<|x-x0|<n的自变量x,都有|f(x)-

18、A|<m,这时，称A为f(x)的极限。(这是最严谨的逻辑语言)以上，n-m'语言可以简化为：当自变量x趋于某一定值时，因变量y也无限接近某个定值，则称这一定值为y的极限。我们有了极限的定义，那么我们终于可以写出导数的标准形式了，以上式为例：y'=sin(x+Ax)-sinx/Ax应改为y'=dy/dx=lim(Ax0)sin(x+Ax)-sinx/x2 .两个重要极限之一：lim(x一0)sinx/x=1,这是一个，0/0循式的极限，可用洛必达法则(1)证明：lim(x一0)sinx/x=lim(x0)(sinx)'/(x)'=lim(x-0)cosx/1=1从而，我们终于可以毫无漏洞地写出sinx的导数公式：y'=dy/dx=lim(*一0)sin(x+Ax)-sinx/Ax=lim(Ax0)cos(x+x/2)sin(x/2)/(x/2)因为lim(Ax0)(Ax/2)=0所以，原式=lim(x/2)<0cos(x+Ax/2)sin(x/2)/(Ax/2)=lim(x/2)0cosxsin(x/2)/(x/2)