指数指数函数经典练习题

1、指数指数函数【重点难点解析】1 .本单元的知识结构2 .指数概念由特殊乘法运算定义，是乘法运算的发展，是人类探索化简运算的过程中，创造并发展的数学知识；它由正整数指数开始，到负整数指数、零指数，再到分式指数（根式），最后到实数指数.3 .指数运算的特点是强概念性及性质使用而弱计算性，所以指数的运算性质及方根表示既是重点也是难点.4 .指数函数的概念及性质是重点，指数函数的值域易被忽视而成为难点.【考点】1 .指数运算一般结合其他知识在应用中进行考查.2 .根式及方根运算与指数函数的图象和性质，几乎每年高考都要涉及.【典型热点考题】例1完成下列计算:VT17；（括2）1；32（5）（3）3;思路

2、分析4(2)4(2);(4).p5；1喘)运算时，一般将根式化为分指数，运用指数运算性质进行化简计算，但要注意的是分指数的运算实质是方根的化简，必须依照方根运算的要求进行，即注意根指数（分指数的分母）的奇偶性来决定结果,一般偶次方根化简时尤须注意.解：13(3)3(3)3313333 133=3.1(2)4(-2)4(2)44124-=2.(.52)11.52,522)(.52)p5(p5),5i21(pP1产1p23(5)(3§)27T)(827)28w)327(1(|)33)221(900)(9001)390023(302)2303=27000.例2化简下列各式:111(ab2a

3、2b2)211(a2bT；22a3b3(2)-11a3b3ab1112,a3a3b3b3思路分析多项式的乘法公式，本质上给出的是多项式的次数与它的因式的次数间的关系(当然也有多项式中的运算及形式的关系)，引入分指数的概念后，这种公式的本质并未改变，只不过由于指数形式的复杂，使它们指数间的倍比关系较难判断清楚，因此就给如何应用公式分解因式并化简带来了困难，只要抓住多项式及根式化简的通法、通性，这些难题不会造成困难.解：iiiii(ab2a2b2)2(a2b1)3iiiiiii32(a2)2(b2)22a2b22(a2b2)3iiiii(a2b2)22a亍b2iiii|a"b2|a&qu

4、ot;b2当a>b>0时，石7biiii原式a2ba2b3ii2(a2b2)2(.a.b)当bAa>0时，,baaiiii.原式b2aa2b=0.(2)解法一：22a3b3ab1i12112a3b3a3a3b3b3iiii(a3)2(b3)2(a3)3(b3)3iiiiiia3b3(a3)2a3b3(b3)2iiiiiiiiii(a3b3)(a3b3)(a3b3)(a3)2a3b3(b3)2111111a3b3(a3)2a3b3(b3)21111a3b3a3b312b323b2Hb解法二:1设a3,3-ma,3a22a3,Ira32m2b3Tb32nab1-2112a3a3b

5、3b333mn22mmnn=mn(m+n)=2n12b3b22点评“层次性”b不要认为设辅助未知数只是一种可有可无的运算技巧，其实设辅助未知数是对数学问题的的深刻认识的表现，是把复杂问题转化为两个或多个基本问题的重要的分析思维的具体表达.化简下列各式:2(.8)39(3102)2,105;(2)53x323xVxX4-3X思路分析（根号套用根式计算时，必须将根式化为同次根式才能进行乘、除、塞的计算，若式子中有重根式根号）的形式，化同次根式更难更容易出错；如果逐层将根号处理为分指数，再用指数的运算性质运算既简捷又方便.解:2、10,1051(105)252(1(23)231031102(-2)9

6、(3102)219(102)3，219103210510253.x5x131(1)5x，1x51(5)2121(5)3x5x3x15110xx6x10Tx15x6,x24x33xx也2xx11ix3xx23513,x2(x2)4314x3(x2)32(x3(x518)311了211x"83x71x247x-7x8点评重根式化简只需作13个题，通过具体演算达到了解方法的目的即可.(2)y求下列函数的定义域和值域:ox23;,1、1思路分析因为一般指数函数yax（a>0且awl）的定义域是一切实数，值域是（0,十8）,函数有关的定义域、值域问题，主要考虑与自变量有关的代数式的运算限

7、制和取值范围，义域；但值域问题一方面考虑指数函数的单调性，同时必须兼顾“指数函数”的值域是解：所以复杂的与指数就可以解出定（0,+°°）.(1)x20x2 函数y3Gx2的定义域是2,+oo) .x2,+oo)时，x-2>0 .x20.3>1,以3为底数的指数函数是增函数xx200.y331 函数y3点=的值域是1,+oo).(2);1中xw0x1门口，函数y(-)x的定义域是x|x却且xCR1.xw0时，0x1 1，(L)x(1)01,而(l)x02 221一“1，函数y(2)的值域不丫1y>0且k1.例5求下列关于x的不等式的解集.2(1)6x1;2

8、12(2)a>0且aw1时，ax2x()a.a思路分析因为不等式中的变量x在指数部分，所以这类不等式(称指数不等式)的解法是：利用指数函数的单调性，将各不等式先转化为一般的一元一次不等式，一元二次不等式及不等式组求解，由此看来，函数的单调性是用来处理与函数有关的量大小比较的有力工具.解：.6>1，则以6为底的指数函数是增函数6x2x21602.1.xx20-2<x<1，不等式的解集为x|2<x<1.x22x/1a2a2(2) -a(-)aa当a>1时，以a为底的指数函数是增函数,x22xa2x22xa2022=44a24(1a2)0，不等式的解集为R.

9、当0<a<1时，以a为底的指数函数是减函数.x22xa2x22xa20,2_=4(1a2)0.1,1a2x1，a>1时不等式的解集R,0<a<1时，不等式的解集是x|1V1a2x1V1a2.a设f(x)2x乔1(a为实数)(1)xCR,试讨论f(x)的单调性，并且用单调性定义给出证明；(2)当a=0时，若函数y=g(x)的图象与y=f(x)的图象关于直线x=1对称.求函数y=g(x)的解析解：(1)(i)a=0时,f(x)2x1任取x1,x2R,x1x2-f(x1)f(x2)2x12恐2x1(12x2x1)-x2x10,.2x2x1201f(X1)f(X2)函数f

10、(x)是增函数.(ii)a<0时，f(x)是增函数，下面给出证明:x1x2任取x1,x2R,-f(x1)f(x2)2x12x2_a_2x1(2x12x2)2x1x2a2x2a2*1x2-x1.2x1x2,2x2又.a<0,-.2x1x2.f(x1)从而得:f(X2)函数f(x)是增函数.(iii)令u2x,g(u)0<a<1f(x)=1可得:时时，auu2ua0u1'./1a又2、是增函数存在xx2,有:2x11.1a,2x21.1a也就是：存在两个实数x1,x2,x1x2，但有f(x1)f(x2)1.0<a<1时，f(x)在全体实数R上不是单调函数

11、1a=1时，;*)=3时，可得：u-4u2<3u又2、是增函数存在x1x2，有：2x12K,2x22V3也就是：存在两个实数x1,x2,x1x2，但有f(x1)f(x2)3.a=1时，f(x)在全体实数R上不是单调函数a>1时，f(x)也不是单调函数.(请读者自己给出证明)(2)在函数y=g(x)的图象上取一点P(x,y),点P关于直线x=1的对称点Q(x1，y1)x2x1从而，得：1yy1,函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，Q(x1,y1)在y=f(x)的图象上也就是：y2x11从而，可得：y22x1也就是：g(x)22x1.点评函数f(x)不是单

12、调函数存在x1,x2,x1x2，但有f(x1)f(x2).【同步达纲练习】、选择题1.若aV(8)3,b7(10)2,则a+b的值是()A.-18B.18C.-2D.2,x2 .函数yqj的定义域是()3 x1A.(-1,2C.(巴-1)U(-1,23.代数式YaJa工的值是(7A.a81C.a84.已知0.7m0.7n，贝UmA. 1>m>n>0B. (8,2D. (一00,一1)3B.a23D.a4n的关系是()B. 1>n>m>0C.m>n5.代数式A.13(5%3万)2(5a4)35C. a3D.以上答案均不正确6 .函数f(x)ax(其中a&

13、gt;1)()A.在(一8,0)上是增函数B.在0,+8)上是增函数C.增函数D.减函数7 .若2a3b,则实数a、b间应该有的关系是()A.a>bB.a=bC.a<bD.以上答案都可能成立8 .三个数a(0.3)°,b(0.3)2,c20.3,则a、b、c的关系是()A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a9 .若指数函数y(a1)x在(8,+8)上是减函数，那么()A.0<a<1B.-1<a<0C.a=1D.a<1二、填空题1.函数yV322x的定义域是-1 1匚-1(x1)

14、x2x42 .当x=4时，代数式)x1xx41的值是-3 II(x4x2)x21:2nJ(mn)24mn3 .化简代数式：n'xmr弋xm2n2=(其中m、n都是自然数且mWn)4 .若272x9,贝Ux=0.250.61.25 .81320.0002()=100三、解答题用定义证明：函数f(x)2x2x在区间(8,0上是减函数.四、选择题1 .若aV3一尸，bV(2)4,则a+b的值是()A.1B.5C.-1D.2兀一52.函数yJ"4T的定义域是(),42xA.4,+oo)B.(8,2)C.(2,4D.(8,2)U4,+8)3.代数式Va"a2<a的值是(

15、1A.a，iC.a84.若(am(a)n且m>n>1A.(1,+8)C.(0,兀一1)5.已知3x10,则这样的x值(A.存在且有且只有一个1B.a"3D.a',则实数a的取值范围是()B.(1,兀)D.(兀1)B.存在且不只一个C.存在且x<2D,根本不存在6.函数f(x)a|x|(其中a>0且aw1),若对m<n<0有f(m)>f(n)成立，则a的取值范围是(A.(0,1)B,(1,+oo)C.(1,0)U(0,1)D.(巴i)u(1,+oo)7.若(0.25)5x4,则x的值是()A.1B.-1C.4D.68,已知a30.2,b

16、(0.2)3,c(3)0.2,则a、b、c的大小关系是()A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a9.函数f(x)23x在区间(一8,0)上的单调性是()A.增函数B.减函数C.常数D.有时是增函数有时是减函数五、填空题1 .已知f(x)2x,使f(x)2f(x)的x的值的集合是-2 .函数f(x)V3x2x的定义域是集合一x2113 .满足3x1的x的值的集合是94 .函数f(2x)的定义域是1,2,则函数f(x)的定义域是-，一，一、x,一，一1一一，I5 .指数函数f(x)a的图象经过点(2,),则底数a的值是-六、解答题2

17、2，一27a3b3ab11 .当a网行，b27时，求代数式/一avb2的值.a3b3a3a3b3b322 .求使不等式（-）a2成立的x值的集合.（其中a>0且a#）a参考答案【同步达纲练习】2. C提示：方L要求xw1即可.3x13. A4,D5.D6. D提示：a7. D提示：a>b>0时，2a3b可能成立，当a<b<0时，2a3b可能成立，当a=b=0时，2a3b8. C9. B提示：底数满足0<a+1<11 .(巴52 .211131提示：(x2x4)x4x4x23.mx14 .一3提示：272x(33)2x36x5 .9Xix2证明：设xx2

18、是区间（00,0上的任意两个值,x1x20f(x2)f(x1)2x22x2(2x12x1)2x22x1(2x12x22x22x12x22x12x12x2(2x22x1)-x1x2xix2i2xix2-0函数y.2x2x1x2.2、1x2f(x2)即f(x2)x值.2x是增函数2xi2xix200,2xix22010f(xi)0f(xi)f(x)在区间(一8,0上是减函数.四、i.A提示：V(3一产3,灰尸2.2. D3. A1_121提示：a2.a.a2a2,aa2.4. D提示：aiai.5. A提示：作函数y3x图象，看y=i0时的图象上的点的6. B提示：f(x)是偶函数作出图象观察.7. Di提示：(0.25)5x(-)9x4x548. B3提小：c<0,b5,0<a<3.9. B提示：f(x)2i_22_一提不：32,x2i2无解.2x8(i)x2五、1 .x|x>02 .x|x>011>>cxcxcxcx/3x/3、0c提不：32032(-)i(-)x0.14-12，4提示：15.41GW2,贝U212x