常微分方程证明题

1、常微分方程习题集(5)(五)证明题1,试证：如果列t)是dX=AX满足初始条件甲(to)"的解，那么dt(t)=expA(t-t0).2 .设y=/(x)和y=%(x)是方程y"+q(x)y=0的任意两个解,求证：它们的朗斯基行列式W(x)三C,其中C为常数.3 .假设m不是矩阵A的特征值，试证非齐线性方程组dX=AX+Cemt,有一解形如：甲(t)=Pemt,其中C,P是常数向量.dt4 .设f(x,y)及四连续，试证方程dyf(x,y)dx=0为线性方程的充：:y要条件是它有仅依赖与x的积分因子.5 ,设f(x)在0,+8)上连续，且lim/(x)=0,求证：方程与+y

2、=f(x)的任意解y=y(x)均有Jimy(x)=0.6 .试证:若已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等积分法求它的通解.7 ,n阶齐线性方程一定存在n个线性无关解.8,设y=(x)是一阶非齐次线性方程于区间I上的任一解，中(x)是其对应一阶齐次线性方程于区间I上的一个非零解。则含有任意常数C的表达式：y=C(x)(x)是一阶非齐次线性方程于区间I上的全部解的共同表达式。9,设n"矩阵函数Ai(t),A2(t)在(a,b)上连续，试证明，若方程组呸=A1(t)X与dX=A2(x)X有相同的基本解组，则Ai(t)三4(t)。dtdt10.证明：一个复值向量函数X(t)=u(t)+iv(

3、t)是(LH)的解的充要条件，它的实部u(t)和虚部v(t)都是(LH)的解。(五)、证明题参考答案1,试证：如果列t)是吆=AX满足初始条件平&)=n的解，那么dt(t)expA(t-to).证明：因为(t)=expAt是呸=AX的基本解矩阵，中(t)是其解，dt所以存在常向量C使得：中(t)=expAtC,令t=to,则：n=exoAt0C,所以C=(expAto)n,故:(t)=expAt(expAt0)二expAtexp(-At0)=expA(t-to)2 .设y=?i(x)和y=%(x)是方程y,+q(x)y=0的任意两个解，求证:它们的朗斯基行列式W(x)三c,其中c为常数

4、.证明：设q(x)在区间I上连续，由刘维尔公式可知，对任意x°w|,它们的朗斯基行列式W(x)满足：W(x)=W(x0)exp(£ai(t)dt),x0亡I而在方程y"+q(x)y=0中，a1(x)=0,所以W(x)=W(x0)1=W(x0),即W(x)三c,xwI3 .假设m不是矩阵A的特征值，试证非齐线性方程组dX=AX+Cemt,有一解形如：中(t)=Pemt,其中C,P是常数向量.dt证明：要证中(t)=pemt是解，就是要证能够确定常数向量P,它使得d(Pemt)mtmt=APe+Ce,dt即Pmemt=APemt+Cemt,成立。亦即P(mE-A)=C

5、,由于m不是A的特征值，故mE-A=0,从而mE-A存在逆矩阵，那么可取向量，P=C(mEA),这样方程就有形如中(t)=Pemt的解.4 .设f(x,y)及f连续，试证方程dyf(x,y)dx=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x的积分因子.证明：先证必要性，设方程dy.f(x,y)dx=0为线性方程，即dy+(p(x)y-f(x)dx=0,所以川协-p(x),-0,.二y；:x:M；:N二y二x/、二p(x),N即它有仅依赖与x的积分因子，且R(x)=exo(jp(x)dx)是其积分因子。再证充分性，因为在方程dyf(x,y)dx=0,中M一(x,y),N=1,所以:y如果它有仅依赖与的

6、积分因子,f工:0,.y二x；:M；:NFy.x_开N一jy则-色是x的函数，设二y二f，、-二p(x)二y关于y积分得：f(x,y)=_p(x)y+f(x),f(x)是x的可微函数，故方程dy-f(x,y)dx=0可表为：dy(p(x)y-f(x)dx=0是线性方程.5 .设f(x)在0,+9)上连续，且limf(x)=0,求证：方程包+y=f(x)x二dx的任意解y=y(x)均有limy(x)=0.x_.证明：设y=y(x)为方程的任一解，它满足初始值条件双工孙三0,+时由常数变易法有：y(x)=丫03小巾+e”r)1f(s)e(s*0)ds,于是limx)二limx”二f(s)exfex

7、-ex%，若。f(s)e=0,若:f(s)x0esfds发散6 .试证:若已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等积分法求它的通解.证明：设中(x)为黎卡提方程的一个特解，则d:(x).2=p(x)中(x)+q(x)9(x)十r(x),dx令y=<P(x)+z,贝U有当二p(x)(:(x)z)2q(x)(x)z)r(x)dxdx整理得：dz.22p(x)(x)q(x)zp(x)zdx它是n=2的伯努利方程，可用初等积分法求它的通解.7 .n阶齐线性方程一定存在n个线性无关解.证明：设竺=A(t)X的系数矩阵A(t)在区间I上连续，任意取定一dt点卜wI和n个线性无关的n维常向量二务，二。对于

8、每一个i,i=1,2，n,以XQ)表示dX=A(t)X满足初始条件dtXi(t0)=与的解向量。由存在与唯一性定理可知，此解向量在区间I上存在且有定义。由于常向量组X1(t0),X2(t。),，Xn(t0)是线性无关的，从而向量函数组X1(t),X2(t),，Xn(t)于区间I上线性无关.8 .设y=(x)是一阶非齐次线性方程于区间I上的任一解，平(x)是其对应一阶齐次线性方程于区间I上的一个非零解。则含有任意常数c的表达式：y=c(x)(x)是一阶非齐次线性方程于区间I上的全部解的共同表达式。证明：将y="(x)+W(x)直接代入一阶非齐次线性方程曳+p(x)y=f(x)可知，对任

9、意常数c,y=c中(x)+甲(x)都是一阶非齐次dx线性方程的解。反之，设y0(x)是一阶非齐次线性方程的任一解，则y0(x)3(x)是其对应齐次方程dy+p(x)y=0的解。dx任取x°wI,由于中(x)是其对应一阶齐次线性方程dy+p(x)y=0于dx区间I上的一个非零解，所以中(x0)#0。令c=H(x0)L(y(x0)7(x。)，则m(x)和y0(x)(x)都是其对应齐次方程dy+p(x)y=0的解，并且在x=xo时取相同的值，故由初值问题dx解的唯一性知，应有C5(x)=yo(x)7(x),即yo(x)=C(x)+中(x)。9 .设nxn矩阵函数Ai(t),Az(t)在(a

10、,b)上连续，试证明，若方程组呸=A1(t)X与呸=A2(x)X在(a,b)上有相同的基本解组，则出出A(t)三A2(t),xW(a,b).证明：因为方程组与dX=A2(x)X在(a,b)上有相同的基本解组，dt所以可设6(t)是其基本解矩阵。从而有：d?也三为(t),te(a,b),dt与吧。三人中，tja,b),成立。dt所以A人)(t)三Az(t)(t),t运(a,b),又由于G(t)是其基本解矩阵，所以det9(t)#0,即6(t)可逆，故A(t)三Az(t),xa,b).10 .证明：一个复值向量函数X=")=u(t)+iv(t)是(LH)的解的充要条件，它的实部u(t)和虚部v(t)都是(LH)的解。证明：设X=中0)=口0)+»a)是呸=小丛的解，A(t)是实函数矩阵，dt则：ju(t)iv(t)=A(t)(u(t)iv(t),dt从而二u(t)idv(t)=A(t)u(t)iA(t)v(t),dtdt所以d