新古典增长模型

1、第二章新古典经济增长模型一、问题的提出1 .什么因素决定了经济增长？2 .经济增长的一般趋势是什么？3,为什么国家或地区之间存在着收入差异？4 .穷国能否赶上富国？二、生产函数1,投入与产出的函数形式Y(t)=F(K,A(t)L)其中，Y为产量，K为资本，L为劳动力，A为知识或劳动的有效性，t表示时间注意：AL为有效劳动，此种形式的技术进步为“劳动增进型”或“哈罗德中性”思考：如果知识进入的形式不是Y=F(K,AL)(哈罗德中件),而是Y=F(AK,L)(索洛中性)或Y=AF(K,L)(希克斯中性),结果会有何不同？只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在相一致2.生产函数的特性假设(1)规模

2、报酬不变：F(cK,cAL)=cF(K,AL),对于O0含义：经济足够大，专业化收益被穷尽；其他投入品(如自然资源)相对不重要K1令c=1/AL,则F(,1)=F(K,AL)ALAL令有效劳动的人均资本k=K/AL,有效劳动人均产量y=Y/AL,则y=f(k),总产量Y=ALf(k)(2)边际产品递减：f(k)满足f(0)=0,1(k)>0,f"(k)<0,f'(k)是资本的边际产品【证明】Y=ALf(k)两边分别对K、L求导数：Y1资本的边际广品为：=ALf'(k)=f'(k):KAL有效劳动的边际产品为：Kf(k)ALf'(k)=f(k

3、)-kf'(k)(AL)2(3)稻田条件:limk>of'(k)=：,limk,二f'(k)=0一个满足上述条件假设的新古典生产函数图示一个特殊的生产函数：C-D生产函数F(K,AL)="(AL)1一，0<口<1f(k)=F(KAL,1)=(AL)：思考：试证明C-D生产函数满足3个特性假设。3.生产投入品的变动假设日t间t是连续的(非离散的)(1)劳动力的增长：L(t)/L(t)=dL(t)/dt/L(t)=n(2)知识的增长：A(t)/A(t)=dA(t)/dt/A(t)=g其中n为人口增长率，g为技术进步率，均为外生参数，表示不变增长速

4、度思考：L,A为何种形式的增长方式？(指数形式增长，证明)(3)资本的增长：K(t)=dK(t)/dK=sY(t)-6K(t)其中S为储蓄率，6为资本折旧率，均为外生变量三、平衡增长路径1. k的动态学1 1)k(t)的动态方程已知k(t)=K(t),先做变换，两边取自然对数A(t)L(t)lnk(t)=lnK(t)-lnA(t)-InL(t)对t求导数,得：k(t)K(t)A(t)L(t)k(t)K(t)A(t)L(t)k(t)K(t)K(t)K(t)A(t)L(t)A(t)k-L(t)k(t)代入,有：k(t)=sY(t)-K(t)A(t)L(t)Y(t)A(t)L(t)-k(t)n-k(

5、t)g-、k(t)-nk(t)-gk(t)=sf(k(t)-k(t)-nk(t)-gk(t)k(t)=sf(k(t)-(ng)k(t)=sf(k(t)-(n+g+6)k(t)是索洛模型的基本微分方程,它表明k(t)是k的方程。含义说明：人均实际投资sf(k(t)用于两方面：一是“资本的深化”，即k(t),二是“资本的广化”(“持平投资”)，即(n+g+3)k(t)。(2)稳态均衡定义“稳态”：一种其中各种数量都以不变速度增长的状况，即k(t)=0当sf(k(t)>(n+g+3)k(t)时,k(t)>0(储蓄大于投资)当sf(k(t)<(n+g+&)k(t)时，k(t)

6、<0(储蓄小于投资)当sf(k(t)=(n+g+6)k(t)时，k(t)=0(储蓄等于投资)，即实际投资与持平投资相等。无论k从何处开始，它都收敛于k*。(3)图示:稳态均衡图示1)k(t)稳态均衡图示2证明:fsfsdkdkk25二0k2稳态均衡图示3(k的相图)2 .平衡增长路径当k=k*时，模型中的各个变量将如何变动?变量含义平衡士外长速度备注证明绝对量K资本存量n+gk=K/ALL力动力nA知识或技术gAL启效劳动n+gY总产出n+gF(cK,cAL)=cF(K,AL)C总消费n+gC=(1-s)Y相对量k(Y/AL)有效劳动的平均资本0K/L人均资本gy(Y/AL)有效劳动的人

7、均产出0y=f(k)=Y/ALY/L人均产出gc(Y/AL)有效劳动的人均消费0c=(1-s)f(k)C/L人均消费gK/Y资本产出比0注意：区分各变量(X)与时间(t)之间的变化关系，即X(t)、lnX(t)、dX(t)/dt/X(t)。结论：在索洛模型中，无论从任何一点出发，经济向平衡增长路径收敛，在平衡增长路径上，每个变量的增长率都是常数，且是外生决定的。特别是，在该路径上，人均产出的增长率仅取决于技术进步率四、非均衡动态与收敛考察两个非均衡问题：(1)当经济增长处在非稳态时(k?k*时)各变量如何向稳态调整？(如何收敛？)(2)向稳态调整有多快？(收敛的速度和时间？)1 .非均衡动态定

8、义k的增长率鼠=k/k=sf(k)/k-(n+g+$),当sf(k(t)>(n+g+6)k(t)时，k(t)>0；当sf(k(t)<(n+g+6)k(t)时，k(t)<0o非稳态动态图示1(ng)k(t)f(k(t)非稳态动态图示2这表明k离k*越远，其增长率（正或负）越大，即底<0。（思考：这意味着什么样的理论预测？与现实是否相符？）接下来，可以证明索洛模型中的其他变量X的非均衡动态增长率（儿X）与鹿保持比例或线形关系，例如：y=；/y=f'（k）k/f（k）=kf'（k）/f（k）.kKk,k二，kng因此，对k的非均衡动态分析可以同样适用于X

9、,即九X<0。结论（索洛模型的收敛性）：每个经济都收敛于其自身的稳态，而且这一收敛的速度与其离稳态的距离成反比，或者说，经济离其自身的稳态值越远，其增长率就越快。2 .绝对收敛与相对收敛对索洛模型的收敛性的实证检验（样本的同质性与异质性），产生绝对收敛与相对收敛的概念。条件收敛的图示：富国会比穷国有更高的增长率。因此，一旦控制了稳态的决定的情况下，条件收敛将成立。3 .收敛的速度考察收敛的速度的意义在于如果收敛的速度很快，就集中研究稳态情况，如果收敛的速度很缓慢，研究动态过程就更有意义。关键在考察k以多快的速度趋近k*。由平衡增长的条件可知：k=k(k),在k=k*处对k(k)作一阶泰勒

10、级数近似，可得：k(k)k(k=k*)(k-k*)kk=k*=sf'(k*)(ng)(ng)k*f'(k*)f(k*)-(ng)=：K(k*)F(ng)因此k(t)一1一:K(k*)(ng、)k(t)一k*含义：在平衡增长路径上，k向k*收敛的速度与k与k*之间的距离成比例。令x(t)=k(t)-k*,“收敛系数”九=(1-口K)(n+g+6),则；(t)-九x(t),所以x的路径为x(t)=x(0)e-w(指数增长)，即：k(t)-k*e<JK)(ng、川(k(0)-k*)可以证明，y(t)-y*e(1K)(n+g+5)t(y(0)_y*)o举例：假设n+g+6=6%,

11、aK=1/3,则4%(表示k和y向k*和y*每年移动剩余距离的4%),因此走完平衡增长路径距离(即消除与初始收入差距)的一半约需18年时间。证明：em=0.5,t=ln(0.5)/人=ln2/0.04%18五、黄金分割律、最优消费和黄金率资本存量水平产出、储蓄和消费的关系：有效劳动的平均消费c=f(k)-sf(k)令c=c*(处在平衡增长路径上)，则：c*=f(k*)-sf(k*)由于sf(k(t)=(n+g+5)k(t),所以，c*=f(k*)-(ng)k*目标为人均消费最大化，令8c*/Fk*=0,则f'(kgo*)lnn+g+6,即为最优消费的一阶条件，该k*gold为黄金资本存

12、量水平，最优消费cgold*=f(kgold*)-sf(kgow*),这被称为“黄金分割律”10图示:再考虑储蓄率s变化对消费c*的影响。由平衡增长路径的稳定条件可知：k*=k*(s,n,g,6),由止匕c*=f(k*)-(n+g+6)k*两边对s求导，有：c*:k*(s,n,g,)二f'(k*(s,n,g,、)-(ng)一(,，g，)ss空二区口旦2>0,因此式的符号决定于f'(k*(s,n,g,6)与ss(n+g+6)的大小。c*当k*<k*goid,f'(k*(s,n,g,S)>(n+g,>0sc*当k*k*goid，f'(k*(s

13、,n,g,)<(ng)，<0s因此s与c*的关系为：11(ngs'f(k)sf(k)k*)k(t)六、储蓄率变动的影响下面考察政策控制变量s的变动的影响，包括：(1)对稳态均衡的影响；(2)两个稳态均衡之间的动态路径；(3)对长期增长的影响程度；(4)对长期增长的影响持续时间。1.储蓄率变化的比较静态均衡图示1+d12图示22,储蓄率变化的动态影响(1)对k的影响：先增加，并逐步收敛于新的更高水平思考：s与k的动态变化有何不同？(2)对Y/L的影响：先暂时性的增加，但随后收敛于原来的平衡增长速度。思考：如何证明？提示：Y/L=Af(k)。Y/L增长率13思考：储蓄率变动对K

14、、Y、K/Y的动态影响如何?结论：(1)储蓄率的变化只会暂时性地影响增长率，而不会永久性地影响。或者说，储蓄率的变化只有水平效应，而没有增长效应。(2)只有技术进步率的变化有增长效应。(3)政策含义：投入驱动的增长不会持续。3 .储蓄率变化对产出的长期影响考察储蓄率s变化对有效劳动人均产出V的影响(弹性分析)。由k*=k*(s,n,g,6)可知:V*工=f'(k*)sk*(s,n,g,)由平衡增长的条件k=0得至上sf(k*(s,n,g,)=(ng)k*(s,n,g,)k*s两边对s求导数,.:k*.sf'(k*)f(k*)=(ng)s解得:-k*_f(k*)s(ng)-sf&

15、#39;(k*)则乂f'(k*)f(k)s(ng)-sf'(k*)14两边同乘s/y*,并用sf(k*)=(n+g+6)k*代换s,得到：sn*_sf'(k*)f(k)T*?.f(k*)(ng；)-sf'(k*)_(ng、)k*f'(k*)f(k)一f2(k*)(ng)-(ng)k*f'(k*)/f(k*)(ng)k*f'(k*)一f(k*)(ng)-(ng)k*f'(k*)/f(k*)k*f'(k*)/f(k*)1-k*f'(k*)/f(k*)定义k*f'(k*)/f(k*)为k=k*处的产出的资本弹性0

16、fK(k*),它也是资本收入占总收入的份额。(思考：为什么？)因此j-wy*s11K(k*)s巨工为产出的储蓄率弹性。举例：设二K(k*)=1/3,则=1/2,当储蓄率增加10%时,人均产出长期内仅变化5%。结论：储蓄率的显著变化对平衡增长路径上的产出变化只有较小的影响。4 .储蓄率变化的影响时间注意“收敛系数”九=(1-二K)(n+g+6)与s无关。前例：假设n+g+6=6%,aK=1/3,则4=4%(表示k和y向k*和y*每年移动剩余距离的4%),因此走完平衡增长路径距离的一半约需18年时间。因此，当储蓄率增加10%时，人均产出长期内仅变化5%。第1年增长0.04(5%)=0.2%,18年

17、后增长0.5(5%)=2.5%。15结论：储蓄率变化对人均产出变化的作用较缓慢。七、对索洛模型的总结和评论1 .主要结论(1)无论从任何一点出发，经济向平衡增长路径收敛，在平衡增长路径上，每个变量的增长率都是常数。(2)在其他外生变量相似的条件下，人均资本低的经济有更快的人均资本的提高，人均收入低的经济有更高的增长率。(3)人均产出(Y/L)的增长来源于人均资本存量和技术进步，但只有技术进步才能够导致人均产出的永久性增长。(4)通过调节储蓄率可以实现人均最优消费和最优资本存量的“黄金律”增长。(5)储蓄率的变化只会暂时性地影响增长率，而不会永久性地影响；储蓄率的显著变化对平衡增长路径上的产出变化只有较小的影响，且作用缓慢。2 .批评(1)未能够解释长期经济增长的真正来源。把技术进步(劳动的有效性)看成为外生给定的，而这恰恰是长期经济增长的关键。因此，索洛模型是通过“假定的增长”来解释增长的。(2)理论预测与实际数据不符。如果资本取得的市场收益大致体现了其对产出的贡献，那么实物资本积累的变化既不能很好地解释16世界经济增长，也不能说明国家间的收入差距。例如：根据C-D生产函数，y=f（k