数理统计习题课

1、数理统计习题课未知的,X3-Xi21.设总体X服从正态分布N(N,Q2),其中N是已知的，而仃(Xi,X2,X3)是从总体中抽取的一个简单随机样本。(1)求(Xi，X2，X3)的密度函数；3X，(2)指出Xi+X2+X3,X+2R,min(Xi,X2,X3),工Ti1:-之中，哪些是统计量，哪些不是统计量，为什么？、3（x）2（1）f（x1,x2，x3）=（2二二）3ei=12-2e(2)Xi+X2+X3,X+2N,min(Xi,X2,X3),X3：Xi都是统计量,3x2因为它们均不包含任何未知参数；而Z，中包含未知参数仃2,所以iT它不是一个统计量。n2(1)设(XX2，Xn)为总体X的样本

2、，aia0,i=1,2,，n,且£ai=1,1n试证zaiXi是EX的无偏估计。i4nn(2)试证在EX所有形如EaiXi>0,(aia0,i=1,2,，n,£ai=1)i1i4的无偏估计中，以X最为有效。解：nnn(1)因E(£ajXi)=£ajEXi=EX,故£Xi是EX的无偏估计。i1i1i1nn(2)由(Zai)£nai,所以i=1i/-11noDX=DX=DXQai)2nnynn122_DX-nxaiaiDXni1i1n=DQaiXi)i1n从而在EX的所有形如ZaiXi的无偏估计中，以X最为有效。3.设母体X服从均匀

3、分布U0,0,它的密度函数为f(x;)='0-X-"；0,otherwise.(1)求未知参数日的矩法估计量；(3)当子样观察值为0.3,0.8,0.27,0.35,0.62,0.55时,求日的矩法估计值。解(1)因为二,1U1E(X)=xf(x;u)dxxdx=_.：，2.1-2E(X)由E(X)=又=二2X(2)由所给子样观察值算得1-2xu0.96344 .设总体X的分布密度为中（x,n）=，（支+1）xa0<x<10otherwise其中aa1是未知参数。（Xi，X2，Xn）是总体X的样本，试求参数口的矩估计。.工工1二-2解EX=jx9（x,c（）dx=

4、jx"（o（+1）dx=由矩估计的定义，令:11/=X=-'Xi.工22ni4即口的矩估计为:2X-11-X5 .设总体X服从对数正态分布，其分布密度为(lnx-J)2(x;2)-1x1e2二22二二其中。c02>0是未知参数，X=(Xi,X2，Xn)是一样本,试求和1的最大似然估计。解：似然函数为nv(lnXi_)2n1=1L(1,-2)=:(2二二2)2xe21i/InL(2)二-nln(2；=2)”2.i1nIn-xii=1(Inxi-)22-2：lnL(二2)2：lnL(2)可得，口的最大似然估计为:1n?“1nxini=1。2的最大似然估计为：1n?2=1x(

5、lnXi-?)2nid6.某工厂生产滚珠，从某日生产的产品中随机抽取9个，测得直径(毫米)如下：14.614.715.114.914.815.015.115.214.8如果滚珠直径服从正态分布，且知标准差为0.15毫米，求直径平均值对应于置信概率0.95的置信区间。a(XnZCJa/2,X+厂4/2)。、.n解：仃已知时,N的置信度为1-a的置信区间为我们有19x=一,、xi=14.9119i=i由z2=1.96,所以滚珠直径平均值a的置信区间为(14.813,15.009)。7.设某批铝材料的比重服从正态分布N(m,。2),现测得它的比重16次，算得X=2.705,s=0.029,试在置信概

6、率0.95下求1的置信区间。解仃2的1口置信区间为22(n-1)s(n-1)s)2/2(n-1),i2_;72(n-1)对口=0.05,查片-分布表(自由度为15),得220.025(15)=27.5,%.975(15)=6.26所以在置信概率0.95下仃2的置信区间为(0.000459,0.002015)。(p19)3解：Ho：N=%=0.13,Hi：N#%检验统计量为t=工二以，Ho的拒绝域为W=|t巨fn1)sn计算得x=0.146,s=0.015,t=X-00.146-0.130=3.3730.015.10对a=0.05自由度n-1=9,查t-分布表，得ta2=2.2622.因为t=3.573>2.262，斯以才1绝H0,即可以认为该日生产的云母片厚度的数学期望与往日有显著差别。19.5.解：H0:a2=o：=122,H1:o2。122.2检验统计量为：x=(n-?S,H0的拒绝域为二0W=2-2.(n-1)2<2-.(n-1)-1122计算的样本观察值Z2=*l=24.8122给定a=0.05,查X2分布表，得临界点2：(n-1)=2.025(14)=26.119,：式，-1)=一仰)=5.62922因5.629</2<26.119,因此接受H。，即认为这次考试的标准差符合要求。19.6.第口类错误的概率即pW|H1当N=1时,