平面向量的基本定理

1、aAbBCba aaAbBbOCba 特点特点:首尾相接首尾相接特点特点:共起点共起点b Ba ABAab 2.2.向量加法平行四边形法则向量加法平行四边形法则: :O特点：特点：共起点共起点1.1.向量加法三角形法则向量加法三角形法则: :3.3.向量减法三角形法则向量减法三角形法则: :4.共线（平行）向量基本共线（平行）向量基本定理：定理： 向量向量 与非零向量与非零向量 共线共线当且仅当有唯一一个实数当且仅当有唯一一个实数 ，使得使得abab温故知新温故知新 已知平行四边形已知平行四边形ABCD中中,M,N分别是分别是BC,DC的中点且的中点且 ，用，用 表示表示 . bADaAB ,

2、ba,ANAM,ADBCMNbaBMABAM解：DNADANbaADABBCAB212121abABADDCAD212121问题问题: :一天一天,2,2只住在正西方向的大猴子和只住在正西方向的大猴子和4 4只住在北只住在北偏东偏东3030方向的小猴子同时发现一筐桃子方向的小猴子同时发现一筐桃子, ,他们分他们分别朝着自己住的方向拉别朝着自己住的方向拉, ,已知每只大猴子的拉力是已知每只大猴子的拉力是100100牛顿牛顿, ,每只小猴子的拉力是每只小猴子的拉力是5050牛顿牛顿, ,问这筐桃子问这筐桃子往哪边运动往哪边运动? ?问题问题: :一天一天,2,2只住在正西方向的大猴子和只住在正西方

3、向的大猴子和4 4只住在北只住在北偏东偏东3030方向的小猴子同时发现一筐桃子方向的小猴子同时发现一筐桃子, ,他们分他们分别朝着自己住的方向拉别朝着自己住的方向拉, ,已知每只大猴子的拉力是已知每只大猴子的拉力是100100牛顿牛顿, ,每只小猴子的拉力是每只小猴子的拉力是5050牛顿牛顿, ,问这筐桃子问这筐桃子往哪边运动往哪边运动? ?如果是如果是1 1只大猴子和只大猴子和4 4只小猴子呢只小猴子呢? ?NMe1e2a如果要让这筐桃子往我们指定的方向运动如果要让这筐桃子往我们指定的方向运动, ,如何改如何改变大小猴子的数量变大小猴子的数量? ?aCe1e2oBAOC=OM+ON= xe1

4、+y e21e2e OCABMNa11eOM22eON 设设 是同一平面内的两个不共线的向量，是同一平面内的两个不共线的向量， 是这一平面内的任一向量，是这一平面内的任一向量，问：与问：与 之间有怎样的关系？之间有怎样的关系？21,eea21,eea2211eeONOMa？来表示呢任意一个向量都可以用后，是否平面内，确定一对不共线向量 221121eeee想一想想一想a2e . 02121即可使结论成立为或共线时，可令或与当eea1ea1e2e ？怎怎样样构构造造平平行行四四边边形形况况时时，的的位位置置如如下下图图两两种种情情改改变变 aa1e2ea1e2eO O2eAOCBBNMCABA1

5、eNM一、平面向量基本定理一、平面向量基本定理:如果如果 是同一平面内的两个是同一平面内的两个不共线不共线向量，那么对于这一平面内的任一向向量，那么对于这一平面内的任一向量量 有且只有有且只有一对实数一对实数 ,使使21ee、a21、2211eea. 21所有向量的一组基底叫做表示这一平面内，其中ee2、基底不唯一，关键是基底不唯一，关键是不共线不共线.4、基底给定时，分解形式唯一基底给定时，分解形式唯一.说明：说明：1、把、把不共线不共线的的非零向量非零向量 叫做表示叫做表示这一平面内所有向量的一组这一平面内所有向量的一组基底基底.12,e e 3、由定理可将任一向量由定理可将任一向量 在给

6、出基底在给出基底 的条件下进行分解的条件下进行分解.12,e e a动画1.练习练习2.3.设设 是两个不共线向量，已知是两个不共线向量，已知 若若A,B,D三点共线，三点共线，求实数求实数 ？ ,2bkaABkba,3baCB,2baCDbDC21解：DCADBABCbab21ba21ANDAMDMNbab21)21(21ab411./2,ABCDABCDABCDMNDCBAADa ABba bDC BC MN 例 如图梯形中，、 是，中点，试以为基底表示aABDCNMb二、向量的夹角二、向量的夹角:OABba两个非零向量两个非零向量 和和 ,作作 ， ,则则)1800(abAOB叫做向量叫

7、做向量 和和 的的夹角夹角OAa OBb ab夹角的范围：夹角的范围：000 ,180180 与与 反向反向abOABab0 与与 同向同向abOABab记作记作ab90 与与 垂直，垂直，abOAB ab注意注意:两向量必须两向量必须是是同起点同起点的的例例2:如图，等边三角形中，求如图，等边三角形中，求 (1)AB与与AC的夹角；的夹角； (2)AB与与BC的夹角。的夹角。ABC60C0120ABCDoxyija如图，如图， 是分别与是分别与x轴、轴、y轴方向相同轴方向相同的单位向量，若以的单位向量，若以 为基底，则为基底，则, i j , i j +aaijxyxy 对于该平面内的任一向

8、量 ，有且只有一对实数 、 ，可使 这里，我们把（这里，我们把（x,y）叫做向量）叫做向量 的（直角）坐标，记作的（直角）坐标，记作a( , )ax y其中，其中，x x叫做叫做 在在x x轴上的坐标，轴上的坐标，y y叫做叫做 在在y y轴上的坐标，轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示。式叫做向量的坐标表示。aa三三、平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示OxyAijaxy +axiy j +OAxiy j 当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的就是向量终点的坐标坐标.坐标坐标(x,y)一一对应一一对应 两个向量相等，利用坐标如何表示？两个向量相等，

9、利用坐标如何表示？2121yyxxba且向量向量a三三、平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示例例4:已知已知 ，求，求 的坐标的坐标.1122( ,), (,)A x yB xyAB xyOBAABOBOA 2211(,)( ,)xyx y2121(,)xx yy 一个向量的坐标等于表示此向量的有向一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的线段的终点的坐标终点的坐标减去减去起点的坐标起点的坐标.解：解：. , 并求出它们的坐标、分别表示向量，如图，用基底dcbaji. 5例jiAAAAa3221解：解：(2,3)a)3 , 2(32jib)3, 2(32jic)3, 2(32jidjyxOiaA1AA2bcdB)3 , 2()2 , 2()5 , 4( ABa. 1 , nmOBnOAmOPABPBAO且且则则上上，在在直直线线若若点点三三点点不不共共线线，、已已知知本本题题的的实实质质是是：O OA