二阶矩阵优秀课件

1、第二章第二章 矩阵矩阵第一节矩阵的定义第一节矩阵的定义第二节矩阵的运算第二节矩阵的运算第三节矩阵的逆第三节矩阵的逆第四节矩阵的分块第四节矩阵的分块第五节矩阵的初等变换与初等矩阵第五节矩阵的初等变换与初等矩阵第六节用初等变换求逆矩阵第六节用初等变换求逆矩阵第七节矩阵的秩第七节矩阵的秩1 矩阵的定义矩阵的定义定义定义1 给出给出m n个数个数,排成排成m行行n列的矩形数表列的矩形数表 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211此数表叫做此数表叫做m行行n列矩阵列矩阵, ,简称简称m n矩阵矩阵。记为记为nmijnmijAaAaA或或亦记为)()( mnmmnnaaaaaaaaaA212

2、222111211返回返回上一页上一页下一页下一页如果矩阵如果矩阵A的元素的元素aij全为实全为实(复复)数数,就称就称A为为实实(复复)数矩阵数矩阵。只有一行的矩阵只有一行的矩阵A=(a1 a2 . an)叫做叫做行矩阵行矩阵, 行矩阵也记作行矩阵也记作A=(a1 ,a2 ,. ,an)。只有一列的矩阵只有一列的矩阵 mbbbB21叫做叫做列矩阵列矩阵。两个矩阵的行数相等两个矩阵的行数相等,列数也相等列数也相等,就称它们是就称它们是同型矩阵同型矩阵。元素都是零的矩阵称为元素都是零的矩阵称为零矩阵零矩阵,记作记作O。下一页下一页上一页上一页返回返回1.三角矩阵三角矩阵 11121212000n

3、nnnaaaaaAa下一页下一页上一页上一页返回返回如果如果n阶方阵中元素满足条件阶方阵中元素满足条件 即即A的主对角线以下的元素全为零，则称的主对角线以下的元素全为零，则称A为为n阶阶上上三角矩阵三角矩阵.即即0,1,2,ijaiji jn下一页下一页上一页上一页返回返回11212212000nnnnaaaAaaa如果如果n阶方阵中元素满足条件阶方阵中元素满足条件 即的主对角以上的元素全为零，则称为即的主对角以上的元素全为零，则称为n阶阶下三角矩下三角矩阵阵.即即0,1,2,ijaiji jn下一页下一页上一页上一页返回返回2.对角矩阵对角矩阵1122000000nnaaAa如果如果n阶方阵

4、阶方阵 中元素满足中元素满足 条件条件即的主对角线以外的元素全为零，则称为即的主对角线以外的元素全为零，则称为n阶阶对角矩对角矩阵阵.即即0,ijaijijAa下一页下一页上一页上一页返回返回3.数量矩阵数量矩阵 000000aaAa如果如果n阶对角矩阵阶对角矩阵 中元素满足中元素满足 则称为则称为数量矩阵数量矩阵.即即 1,2,iiaa inijAa下一页下一页上一页上一页返回返回4.单位矩阵单位矩阵 100010001nE如果如果n阶对角矩阵阶对角矩阵 中元素满足中元素满足 则称为则称为n阶阶单位矩阵单位矩阵，记为，记为 .即即 11,2,iiainijAanE2 矩阵的运算矩阵的运算一、

5、矩阵的加法一、矩阵的加法定义定义2 设有两个设有两个m n矩阵矩阵A=(aij), B=(bij),那么那么A与与B的的和记为和记为A+B,规定为规定为mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111注意注意:只有当两个矩阵同型时只有当两个矩阵同型时,才能进行加法运算。才能进行加法运算。加法满足运算规律加法满足运算规律: (1) A+B= B + A; (交换律交换律) (2) (A + B)+C= A +(B +C) . (结合律结合律)下一页下一页上一页上一页返回返回二、数与矩阵相乘二、数与矩阵相乘定义定义3 数数 与矩阵与矩

6、阵A的乘积记做的乘积记做 A,规定为规定为 mnmmnnaaaaaaaaaA 212222111211数乘矩阵满足数乘矩阵满足运算规律运算规律:)()(1(AA AAA )(2(BABA )()3(下一页下一页上一页上一页返回返回设矩阵设矩阵A=(aij),记记-A =(-1)A=(-1aij)= (-aij), -A称为称为A的的负矩阵负矩阵,显然有显然有 A+(-A)=O.其中其中O为各元素均为为各元素均为0的同型矩阵的同型矩阵,由此规定由此规定 A-B=A+(-B).下一页下一页上一页上一页返回返回三、矩阵与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘定义定义4 设设A=(aij) m s,B=(bij)

7、 s n那么规定矩阵那么规定矩阵A与与B的的乘积是乘积是C=(cij) m n,其中其中 skkjiksjisjijiijbabababac12211并把此乘积记作并把此乘积记作C=AB。行矩阵与列行矩阵与列矩阵相乘矩阵相乘 )(,22112121sjisjijisjjjisiibabababbbaaa 注意：注意：只有当第一矩阵（左矩阵）的列数与第二矩阵只有当第一矩阵（左矩阵）的列数与第二矩阵（右矩阵）的行数相等时，两个矩阵才能相乘。（右矩阵）的行数相等时，两个矩阵才能相乘。下一页下一页返回返回上一页上一页例例4 cbaA000 000111cbaB求：求：AB和和BA。解：解： 00011

8、1ccbbaaAB000000000BA注：表明矩阵乘法不满足交换律。注：表明矩阵乘法不满足交换律。 AB0推不出推不出A0或或B0 ACBC且且C不为不为0,推不出推不出A=B (不满足消去律不满足消去律)下一页下一页上一页上一页返回返回矩阵的乘法满足运算律：矩阵的乘法满足运算律：)()()1(BCACAB 结合律结合律CABAACBACABCBA )( )()2(右右分分配配律律左左分分配配律律BAAB)()()3( 对于单位矩阵，有对于单位矩阵，有nmnnmnmnmmAEAAAE ,一般称一般称kkAA AA 为方阵的为方阵的k次幂。次幂。规定；规定；EA 0下一页下一页上一页上一页返回

9、返回解解 12212 ,1 A=21122, 1,22212211 A =A,下一页下一页上一页上一页返回返回例例8 已知矩阵已知矩阵 求求212424 ,212A.nA111112222222.222nnnnnnnnnnnA =A=四、矩阵的转置四、矩阵的转置定义定义5 把矩阵把矩阵A的行换成同序数的列的行换成同序数的列,得到的新矩得到的新矩阵称为阵称为A的的转置矩阵转置矩阵,记作记作A 。 cbaA000 cbaA000满足运算律：满足运算律：AA )(1(BABA )(2(AA )(3(nnAAABAB)()( ,)(4( 下一页下一页上一页上一页返回返回nnijnmijnsijsmij

10、dDABcCABbBaA )(,)(,)(,)(记记设设有有 skkijkijbac1 skkijkjkskkijsjjsiiiijbaabaaabbbd112121),(所以所以), 2 , 1;, 2 , 1(mjnicdjiij ABABDC)(,或即下一页下一页上一页上一页返回返回设设A为为n阶方阵阶方阵,若若A=A,即即 aij= aji (i,j=1,2, ,n),那么那么,A称为称为对称矩阵对称矩阵;若若A= -A,即即 aij= - aji (i,j=1,2, ,n),那么那么,A称为称为反对称矩阵反对称矩阵。 对称矩阵的特点是对称矩阵的特点是: 它的元素以主对角线为对称轴对应

11、相等它的元素以主对角线为对称轴对应相等 。反对称矩阵的特点是反对称矩阵的特点是: 以主对角线为对称轴的对应元素绝对值相等以主对角线为对称轴的对应元素绝对值相等,符符号相反号相反,且主对角线上各元素均为且主对角线上各元素均为0 。下一页下一页上一页上一页返回返回例例9 设设 11211103,21 ,12132A =B =那么那么56107,05AB =下一页下一页上一页上一页返回返回111123102,112231A =B =5100() .675 B A =AB五、方阵的行列式五、方阵的行列式 定义定义6 由由n阶方阵阶方阵A的元素构成的行列式的元素构成的行列式(各元素各元素位置不变位置不变

12、),称为称为方阵方阵A的行列式的行列式,记作记作|A|或或detA 。设设A,B为为n阶方阵阶方阵, 为实数为实数,则有下列等式成立则有下列等式成立 AAn )2(1) AA BAAB )3(个方阵的情形：推广nnnAAAAAA.2121下一页下一页上一页上一页返回返回EA 由于解)(AEAAAA)(AEAEA,AE 00EAEA 2 即所以下一页下一页上一页上一页返回返回n 1 .AAAEAAE 设 是 阶方阵，满足，且，求例例11113 矩阵的逆矩阵的逆 定义定义7 对于对于n阶方阵阶方阵A,如果有一个如果有一个n阶方阵阶方阵B,满足满足 AB=BA=E,则称则称方阵方阵A可逆可逆,且把方

13、阵且把方阵B称为称为A的的 逆矩阵逆矩阵, ,记作记作B=A-1 。如果如果A是可逆的是可逆的,则则A的逆矩阵唯一的逆矩阵唯一 。设设B,C都是都是A的逆矩阵的逆矩阵,则一定有则一定有 B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.下一页下一页上一页上一页返回返回EAAAAA *0 A因因为为EAAAAAA )1()1(*有有说明说明A是可逆的。是可逆的。下一页下一页上一页上一页返回返回定理定理1 设设A是是n阶方阵阶方阵, 则则A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是1*10,.AAAAAA且其中为 的伴随矩阵证证 先证必要性先证必要性。由于。由于A是可逆的，则有是可逆的，则有1A AE11

14、| | 1,| | 1.| 0.A AEAAA故即所以下证充分性下证充分性. .设设 由伴随矩阵由伴随矩阵| 0.A ,的性质 有AAAA 111)(,)1(且且亦可逆亦可逆111)(,)2(AAA且亦可逆11111111.,.2 , 1)(,)3(AAAAAAAAAnAABABABnn1n21n21i i ）且（也可逆，可逆，则）（若一般地有：且亦可逆nnAAAABA)()(,)()(,112112 一一般般有有则则若若)()(,)4(11 AAA且且亦亦可可逆逆下一页下一页上一页上一页返回返回推论推论 对于对于n阶方阵阶方阵 ，若存在，若存在n阶方阵阶方阵 ，使，使 则则 一定可逆，且一定

15、可逆，且 AB,ABEBAE或A1.AB例例1212 求方阵求方阵 631321222A的逆矩阵。的逆矩阵。解解 因为因为 02 A所以所以A-1存在存在,先求先求A的伴随矩阵的伴随矩阵A* A11=3, A12=-3, A13=1,A21=-6, A22=10, A23=-4, A31=2, A32=-4, A33=2 2414103263*A 2414103263211*1AAA下一页下一页上一页上一页返回返回下一页下一页上一页上一页返回返回132031C设12321A= 221 B=53343求矩阵X使满足AXB = C例例13解解 若若 均存在，则用均存在，则用 左乘上式，左乘上式，

16、右右乘上式，有乘上式，有11、AB1A1B1111,A AXBBA CB11.即XA CB下一页下一页上一页上一页返回返回1132353,22111 A131,52B=11132133135320522231111 X = A CB由于由于 ，故，故 存在，且存在，且 11、AB21| A|=,| B|=11213102104 .52021041 *,AAA BABB设 可逆,为其转置矩阵,且证明例15可逆。，解：EBABABA11* ,)*1ABEA( ,*10 ABEA于是, 0 B所以可逆。故B 下一页下一页上一页上一页返回返回260026002当时，求A=B.111() ()B = A

17、E A= A AEA EA1106 011001=其中其中826080268002A EA=11110116001B =下一页下一页上一页上一页返回返回4 矩阵的分块矩阵的分块 定义定义 将矩阵将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵矩阵,每个小矩阵称为每个小矩阵称为A的子块的子块,以子块为元素的矩阵以子块为元素的矩阵称为称为分块矩阵分块矩阵。 343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA列举三种分块形式：列举三种分块形式： 343332312423222114131211)1(aaaaaaaaaaaa 22211211AAAAA下

18、一页下一页上一页上一页返回返回 343332312423222114131211)2(aaaaaaaaaaaa 343332312423222114131211)3(aaaaaaaaaaaa分块矩阵的运算法则分块矩阵的运算法则: :(1)(1)矩阵矩阵A与与B为同型矩阵为同型矩阵,采用同样的分块法采用同样的分块法,有有 srssrrsrssrrBBBBBBBBBBAAAAAAAAAA212222111211212222111211, srsrssssrrrrBABABABABABABABABABA221122222221211112121111下一页下一页上一页上一页返回返回111212122

19、212rrsssrAAAAAAAkAAA设 为数，那么111212122212rrsssrkAkAkAkAkAkAkAkAkAkA下一页下一页上一页上一页返回返回(2)A为为m l矩阵矩阵,B为为l n矩阵矩阵,将将A,B分成分成 trtrststAABBBAAAAA11111111,其中其中Ai1,Ai2,Ait的列数分别等于的列数分别等于B1j,B2j,Bij的行数的行数,则有则有 srsrCCCCAB1111),.,2 , 1;,.,2 , 1(1rjsiBACtkkjikij 其其中中下一页下一页上一页上一页返回返回,0211140110210101,1011012100100001

20、BA例例16求求AB.解解 A,B分块成分块成 EAEA101011012100100001 2221110211140110210101BBEBB下一页下一页上一页上一页返回返回 221211111122211110BABBAEBBBEBEAEAB 11422101204311012101112121111BBA 133302141121221BA.1311334210210101 AB下一页下一页上一页上一页返回返回(3)设设 srssrrAAAAAAAAAA212222111211则则 srrrssAAAAAAAAAA212221212111(4)设方阵设方阵A的的 分块矩阵为分块矩阵为

21、 mAAAA0021除主对角线上的子块不为零子块外除主对角线上的子块不为零子块外,其余子块都为零其余子块都为零矩阵矩阵,且且Ai(i=1,2,m)为方阵为方阵,则则A称为称为分块对角矩阵分块对角矩阵(或或准对角矩阵准对角矩阵). i) i) 准对角矩阵的行列式为准对角矩阵的行列式为 mAAAA21det 下一页下一页上一页上一页返回返回ii) ii) 若有与若有与A同阶的准对角矩阵同阶的准对角矩阵 mBBBB0021其中其中Ai与与Bi (i=1,2,m)亦为同阶矩阵亦为同阶矩阵,则有则有 mmBABABAAB002211iii) iii) 若若A可逆可逆,则有则有 11211100mAAAA

22、下一页下一页上一页上一页返回返回,120130005 A求求A-1 .例例17 设设解解 3211,1213;51),5(12211AAAA 2100120130005AAA.32011000511 A下一页下一页上一页上一页返回返回均可逆，则若子矩阵i AAAAAivn21 111111AAAAnn下一页下一页上一页上一页返回返回矩阵的初等行变换都是可逆的矩阵的初等行变换都是可逆的,且其逆变换也是且其逆变换也是同类的初等行变换。同类的初等行变换。定义定义10 下面的三种变换称为下面的三种变换称为矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换: (1)交换矩阵两行的位置交换矩阵两行的位置 交换第交换第i行和

23、第行和第j行的位置记为行的位置记为r(i,j). (2)矩阵的某行所有元素同乘以一个非零常数矩阵的某行所有元素同乘以一个非零常数 第第i行乘以行乘以k记为记为r i(k) (3)把矩阵一行所有元素的把矩阵一行所有元素的k倍加到另一行对应的倍加到另一行对应的 元素上去元素上去第第i行的行的k倍加到第倍加到第j行上去记为行上去记为r j+i(k)返回返回上一页上一页下一页下一页5 矩阵的初等变换与初等矩阵矩阵的初等变换与初等矩阵定义定义11 如果矩阵如果矩阵A经有限次初等变换化成经有限次初等变换化成B，就称，就称矩阵矩阵A与与B等价等价。 返回返回上一页上一页下一页下一页矩阵的等价关系具有下列性质

24、：矩阵的等价关系具有下列性质： (1)反身性反身性：A与与A等价。等价。 (2)对称性对称性：如果：如果A与与B等价，那么等价，那么B与与A等价。等价。 (3)传递性传递性：如果：如果A与与B等价，等价， B与与C等价，等价， 那么那么A与与C等价。等价。 返回返回上一页上一页下一页下一页例例19 已知已知 ，对其做如下初等，对其做如下初等行变换：行变换：32961341714731473A(1,3)14731341732961473rA 2 1 13 134 1 11473013140103030000rrr 3 2 101473013140001430000rB AB则我们称矩阵我们称矩阵

25、B为一个为一个行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵，它具有下列特征：，它具有下列特征：（1）元素全为零的行（简称为零行）位于非零行的）元素全为零的行（简称为零行）位于非零行的下方；下方；（2）各非零行的首非零元（即从左至右的第一个不）各非零行的首非零元（即从左至右的第一个不为零的元素）的列标随着行的增大而严格增大（即首为零的元素）的列标随着行的增大而严格增大（即首非零元的列标一定不小于行标）非零元的列标一定不小于行标）. 返回返回上一页上一页下一页下一页对矩阵对矩阵B再作初等行变换：再作初等行变换：1314314730131400010000rB1 24105590131400010000r 返回返回上一

26、页上一页下一页下一页1 3592 3 1410500130.00010000rrC,.BCAC则有从而我们称矩阵我们称矩阵C为为行最简形矩阵行最简形矩阵，它具有下列特征：，它具有下列特征： 返回返回上一页上一页下一页下一页（1）是行阶梯形矩阵）是行阶梯形矩阵（2）各非零行的首非零元都是）各非零行的首非零元都是1； （3）每个首非零元所在列的其余元素都是零）每个首非零元所在列的其余元素都是零. 定理定理2 任何一个矩阵任何一个矩阵A总可以经过有限次初等行变换化总可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵，并进一步化为行最简形矩阵。为行阶梯形矩阵，并进一步化为行最简形矩阵。 定理定理3 任何一个矩阵

27、都有等价标准形，矩阵任何一个矩阵都有等价标准形，矩阵A与与B等价，等价，当且仅当它们有相同的等价标准形当且仅当它们有相同的等价标准形. 定义定义12 由单位矩阵由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为称为初等矩阵初等矩阵。初等矩阵都是方阵，交换初等矩阵都是方阵，交换E的第的第i行与第行与第j行（或者交行（或者交换换E的第的第i列与第列与第j列）的位置，得列）的位置，得 ,第（第（i）行）行1101111011第（第（j）行）行E (i ,j)返回返回上一页上一页下一页下一页用常数用常数k乘乘E的第的第i行行（或（或i列），得列），得把把E的第的第j行的行的k倍加倍加

28、到第到第i行（或第行（或第i列的列的k倍加到第倍加到第j列）得列）得 行；行；第第i1111)(kkiE 行行第第行行第第ji1111)(kkjiE 返回返回上一页上一页下一页下一页这三类矩阵就是全部的初等矩阵，有这三类矩阵就是全部的初等矩阵，有 E(i,j)-1E(i,j)E(i(k)-1=E(i(1/k),E(i+j(k)-1=E(i+j(-k) 定理定理4 对一个对一个mn矩阵矩阵A作一初等行变换就相当于在作一初等行变换就相当于在A的左边乘上相应的的左边乘上相应的mm初等矩阵；对初等矩阵；对A作一初等列作一初等列变换就相当于在变换就相当于在A的右边乘上相应的的右边乘上相应的nn初等矩阵。

29、初等矩阵。 detE(i,j)-1detE(i(k)=idetE(i+j(k)=1AjiEBBAjir）（则若,),( AkiEBBAkir）（则若)()( AkijEBBAkijr）（则若)()(返回返回上一页上一页下一页下一页推论推论1 矩阵矩阵A与与B等价的充分必要条件是有初等方阵等价的充分必要条件是有初等方阵P1，P2，Ps，Q1，Qt使使 AP1P2PsBQ1Qt ）（则若jiAEBBAjic,),( ）（则若)()(kiAEBBAkiC ）（则若)()(kijAEBBAkijC返回返回上一页上一页下一页下一页定理定理 5 设设A是是n阶方阵，则下面的命题的等价的：阶方阵，则下面的命

30、题的等价的：（4） A可经过一系列初等行（列）变换化为可经过一系列初等行（列）变换化为E.6 用初等变换求逆矩阵用初等变换求逆矩阵（1） A是可逆的；是可逆的；返回返回上一页上一页下一页下一页（2） 是是n阶单位矩阵；阶单位矩阵； ,AE E（3）存在）存在n阶初等矩阵阶初等矩阵 ，使，使 12,sP PP12;sAPPP设设A为可逆矩阵，由推论必存在有限个初等方阵为可逆矩阵，由推论必存在有限个初等方阵 P1,P2Pm，使得使得P1P2PmAE（）（）所以所以P1P2PmEA-1（2）（）表明（）表明E经过同样有限次初等行变换变成经过同样有限次初等行变换变成A（）表明（）表明A经过有限次初等行变换变成经过有限次初等行变换变成E故可用初等行变换求逆阵：故可用初等行变换求逆阵：即初等行变换1AEEA返回返回上一页上一页下一页下一页例例20 设设 012411210A求求A-1。 解解 对对(AE)作初等行变换作初等行变换 100010001012411210)(EA 1000120012