二阶常微分方程的数值求解优秀课件

1、1二阶常微分方程的数值求解二阶常微分方程的数值求解一一. 教学要求教学要求 掌握利用降阶把二阶常微分方程转化为一阶微分方程组，再利用Euler方法数值求解,并能利用MATLAB软件进行数值计算和符号运算。二二. 教学过程教学过程2q 考虑如下的二阶微分方程考虑如下的二阶微分方程初值问题初值问题2012( , ,) , ( ) , ( ), , d yf x y yy ayy ayxa bdx 100( )( ), , ( )( , ( ), ( ), , ( ), ( )yxz xxa bzxf x y x z xxa bz ayzy ay 3q利用利用Euler方法求解上述方程组可得如下数方

2、法求解上述方程组可得如下数值格式值格式001111 2( ),( ),(,),.kkkkkkkkkky ayy azyyhzzzhf xyzkxxh 4q利用四阶利用四阶R-K方法求解上述方程组可得如下方法求解上述方程组可得如下数值格式数值格式11234112341121211323224343322622622222222(),(),(,),(,),(,),(,).kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkhyyKKKKhzzLLLLKzLf xyzhhhhKzLLf xyK zLhhhhKzLLf xyKzLkKzhLLf xh yhKzhL 1 2, 5例例1：用用 Euler 法求解如下

3、初值问题法求解如下初值问题220 20101 , ( ),( )d yyxdxyy 当当 h=0.1，即，即 n=20 时，时，Matlab 源程序见源程序见 Euler_sys1.m解：解：00 20 20101,( )( ), , ( )( ), , ( ), ( ).令则该初值问题可以转化为zyyxz xxzxy xxzzy 6clc;clear;h=0.1;a=0;b=2;x=a:h:b;y(1)=1;z(1)=-1;for i=1:length(x)-1 y(i+1)=y(i)+h*z(i); z(i+1)=z(i)+h*y(i);endplot(x,y,r+,x,exp(-x),k

4、-);xlabel(Variable x); ylabel(Variable y); Euler_sys1.m7数值解与真解如下图数值解与真解如下图8例例2：利用利用4阶阶R-K方法求解例方法求解例1，并与，并与Euler方法方法进行比较。进行比较。解解 当当 h=0.1，即，即 n=20 时，时，R-K方法的方法的Matlab 源程序见源程序见 RK_sys1.m，数值结果见下图，数值结果见下图9function w=rightf_sys1(x,y,z) w=y;clc;clear;h=0.1;a=0;b=2;x=a:h:b;Euler_y(1)=1; Euler_z(1)=-1; %初值R

5、K_y(1)=1; RK_z(1)=-1; %初值for i=1:length(x)-1 %* Euler Method *% Euler_y(i+1)=Euler_y(i)+h*Euler_z(i); Euler_z(i+1)=Euler_z(i)+h*Euler_y(i); %* R-K4 Method*% K1=RK_z(i); L1=rightf_sys1(x(i),RK_y(i),RK_z(i); % K1 and L1 K2=RK_z(i)+0.5*h*L1; rightf_sys1.mRK_sys1.m10L2=rightf_sys1(x(i)+0.5*h,RK_y(i)+0.5

6、*h*K1,RK_z(i)+0.5*h*L1); % K2 and L2 K3=RK_z(i)+0.5*h*L2; L3=rightf_sys1(x(i)+0.5*h,RK_y(i)+0.5*h*K2,RK_z(i)+0.5*h*L2); % K3 and L3 K4=RK_z(i)+h*L3; L4=rightf_sys1(x(i)+h,RK_y(i)+h*K3,RK_z(i)+h*L3); % K4 and L4 RK_y(i+1)=RK_y(i)+1/6*h*(K1+2*K2+2*K3+K4); RK_z(i+1)=RK_z(i)+1/6*h*(L1+2*L2+2*L3+L4); end

7、plot(x,Euler_y,r+,x,exp(-x),k-,x,RK_y,b*);xlabel(Variable x); ylabel(Variable y); 11例例3：分别用分别用 Euler 法和法和R-K4求解如下初值问题求解如下初值问题22210 20101 () , ( ),( )xd yyexxdxyy 解：解：00 2210 20101,( )( ), , ( )( )(), , ( ), ( ).令则该初值问题可以转化为xzyyxz xxzxy xexxzzy 12当当 h=0.1，即，即 n=20 时，时，Matlab 源程序见源程序见 RK_sys2.m, 数值结数值

8、结果如下图果如下图13function w=rightf_sys2(x,y,z)w=-y+2*exp(-x)*(x-1);clc;clear;h=0.1;a=0;b=2;x=a:h:b;Euler_y(1)=1; Euler_z(1)=1; RK_y(1)=1; RK_z(1)=1; for i=1:length(x)-1%* Euler Method *% Euler_y(i+1)=Euler_y(i)+h*Euler_z(i); Euler_z(i+1)=Euler_z(i)+h*rightf_sys2(x(i),Euler_y(i),Euler_z(i); %* R-K4 Method*

9、% K1=RK_z(i); L1=rightf_sys2(x(i),RK_y(i),RK_z(i); % K1 and L1 rightf_sys1.mRK_sys2.m14K2=RK_z(i)+0.5*h*L1; L2=rightf_sys2(x(i)+0.5*h,RK_y(i)+0.5*h*K1,RK_z(i)+0.5*h*L1); % K2 and L2 K3=RK_z(i)+0.5*h*L2; L3=rightf_sys2(x(i)+0.5*h,RK_y(i)+0.5*h*K2,RK_z(i)+0.5*h*L2); % K3 and L3 K4=RK_z(i)+h*L3; L4=rig

10、htf_sys2(x(i)+h,RK_y(i)+h*K3,RK_z(i)+h*L3); % K4 and L4 RK_y(i+1)=RK_y(i)+1/6*h*(K1+2*K2+2*K3+K4); RK_z(i+1)=RK_z(i)+1/6*h*(L1+2*L2+2*L3+L4); endplot(x,Euler_y,r+,x,cos(x)+x.*exp(-x),k-,x,RK_y,b*);xlabel(Variable x); ylabel(Variable y); 15q dsolve 的调用格式的调用格式y=dsolve(eq1,eq2, . ,cond1,cond2, . ,v)其中其

11、中 y 为输出，为输出， eq1、eq2、.为微分方程，为微分方程，cond1、cond2、.为初值条件，为初值条件，v 为自变量，如果不指定为自变量，如果不指定v作为自变作为自变量，则默认量，则默认t为自变量。为自变量。例例 4：求微分方程求微分方程 的通解，并验证。的通解，并验证。22xdyxyxedx y=dsolve(Dy+2*x*y=x*exp(-x2),x) syms x; diff(y)+2*x*y - x*exp(-x2)q利用利用dsolvedsolve 函数求微分方程解析解函数求微分方程解析解16q 几点说明几点说明l 如果省略初值条件，则表示求通解；如果省略初值条件，则表

12、示求通解；l 如果省略自变量，则默认自变量为如果省略自变量，则默认自变量为 t dsolve(Dy=2*x,x); dy/dx = 2xdsolve(Dy=2*x); dy/dt = 2xl 若找不到解析解，则返回其积分形式。若找不到解析解，则返回其积分形式。l 微分方程中用微分方程中用 D 表示对表示对 自变量自变量 的导数，如：的导数，如：Dy y； D2y y； D3y y17例例 5：求微分方程求微分方程 在初值条件在初值条件 下的特解，并画出解函数的图形。下的特解，并画出解函数的图形。0 xxyye y=dsolve(x*Dy+y-exp(x)=0,y(1)=2*exp(1),x) ezplot(y);12( )ye 182220100cos()( ),( )求二阶常微分方程的通解d yxydxyy 例例 6在在MatlabMatlab中的命令窗口中输入下面的命令中的命令窗口中输入下面的命令 syms x y S=dsolve(D2y=cos(2*x)-y,y(0)=1,Dy(0)=0,x)则可以得到如下的结果则可以得到如下的结果