第4章线性系统的根轨迹法(1)

1、第四章第四章线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法n 建模建模n 分析系统性能分析系统性能p 时域分析法时域分析法 （第三章）（第三章）p 根轨迹法根轨迹法 （第四章）（第四章）p 频域分析法频域分析法 （第五章）（第五章）n 校正校正n3阶的时候，求解闭环极点困难阶的时候，求解闭环极点困难 )()(1)()(sHsGsGsn稳定性稳定性n动态性能动态性能4-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念(s)R(s)C(s)n闭环极点闭环极点n闭环零点闭环零点伊万思伊万思-根轨迹（图解法）根轨迹（图解法）由闭环极点决定由闭环极点决定由闭环极点和闭环零点共同决定由闭环极点和闭环零点共同决定工作工作机械

2、机械电机电机放大器放大器比较比较电位器电位器电位器电位器c r uc ur us 减速器减速器2( )2( )( )22C sKsR sssK解：解： ) 15 . 0(ssKCR闭环传递函数闭环传递函数2220ssK闭环特征方程闭环特征方程闭环极点闭环极点1211 211 2sKsK ，一一. 根轨迹根轨迹(Root Locus)的概念的概念当系统的某个参数（例如开环增益当系统的某个参数（例如开环增益K）由）由0变化时，闭环极点在变化时，闭环极点在s平面上移动的轨迹平面上移动的轨迹画出系统的根轨迹，并分析画出系统的根轨迹，并分析系统性能系统性能 sj0121 j2j1 j2j1211 211

3、 2sKsK （开环极点开环极点）0K2, 021ss25. 0K71. 1,29. 021ss5 . 0K1, 121ss1Kjsjs1,121Kjsjs1,121) 15 . 0(ssKCR sj0121 j2j1 j2j0K 0.5K K K 性能分析性能分析（1）稳定性）稳定性:0K 时，根轨迹全部分布在时，根轨迹全部分布在s左左半平面，系统稳定。半平面，系统稳定。 （2）动态性能）动态性能00.5K两个不相等的负实根两个不相等的负实根0.5K 两个相等的负实根两个相等的负实根0.5K 一对共轭复根一对共轭复根（3）稳态性能）稳态性能有一个开环极点在原点，系统为有一个开环极点在原点，系

4、统为型型斜坡输入下稳态误差为常值斜坡输入下稳态误差为常值阶跃输入下稳态误差为阶跃输入下稳态误差为0过阻尼过阻尼状态状态临界阻尼临界阻尼状态状态欠阻尼欠阻尼状态状态上节课回顾上节课回顾当系统的某个参数（例如开环增益当系统的某个参数（例如开环增益K）由）由0变化时，闭环极点在变化时，闭环极点在s平面上移动的轨迹平面上移动的轨迹根轨迹根轨迹图解法图解法能直观的读图，分析系统的稳定性和动态特性能直观的读图，分析系统的稳定性和动态特性二二. 绘制根轨迹的依据绘制根轨迹的依据闭环零、极点与开环零、极点的关系闭环零、极点与开环零、极点的关系( )G sCR( )H sqiifiiGpszsKsG11*)()

5、()(*GK前向通道根轨迹增益前向通道根轨迹增益hjjljjHpszsKsH11*)()()(*HK反馈通道根轨迹增益反馈通道根轨迹增益前向通道传递函数前向通道传递函数反馈通道传递函数反馈通道传递函数前向通道传递函数前向通道传递函数 零点零点反馈通道传递函数反馈通道传递函数 零点零点前向通道传递函数前向通道传递函数 极点极点反馈通道传递函数反馈通道传递函数 极点极点izipjzjpqihjjifiljjipspszszsKsHsG1111*)()()()()()(*HGKKK 开环根轨迹增益开环根轨迹增益开环传递函数开环传递函数开环传递函数开环传递函数 零点零点开环传递函数开环传递函数 极点极

6、点izipjzjp( )G sCR( )H sqiifiiGpszsKsG11*)()()(hjjljjHpszsKsH11*)()()(ljjfiiHGhjjqiihjjfiiGzszsKKpspspszsKs11*1111*)()()()()()()(闭环传递函数闭环传递函数niiljjsszsK11*)()(闭环传递函数的零点闭环传递函数的零点闭环传递函数的极点闭环传递函数的极点开环零、极点以及开环根轨迹增益有关开环零、极点以及开环根轨迹增益有关闭环根轨迹增益闭环根轨迹增益闭环零点闭环零点（容易）（容易）开环前向通路根轨迹增益开环前向通路根轨迹增益开环前向通路零点开环前向通路零点 反馈通

7、路的极点反馈通路的极点（容易）（容易）闭环极点闭环极点（困难）（困难）( )G sCR( )H sqiifiiGpszsKsG11*)()()(hjjljjHpszsKsH11*)()()(根轨迹法根轨迹法如何由已知的开环零、极点不直接求解闭环特征方程，如何由已知的开环零、极点不直接求解闭环特征方程，找出闭环极点在增益找出闭环极点在增益K*变动下的规律性变动下的规律性开环传递函数和闭环传递函数所开环传递函数和闭环传递函数所包含的系统信息包含的系统信息完全一样完全一样开环零、极点以及开环根轨迹增益有关开环零、极点以及开环根轨迹增益有关闭环根轨迹增益闭环根轨迹增益闭环零点闭环零点开环前向通路根轨迹

8、增益开环前向通路根轨迹增益开环前向通路零点开环前向通路零点 反馈通路的极点反馈通路的极点闭环极点闭环极点利用利用开环传递函数开环传递函数直接寻求直接寻求闭环极点闭环极点的总体规律的总体规律三三. 根轨迹的基本原理根轨迹的基本原理根轨迹上的点满足闭环特征方程根轨迹上的点满足闭环特征方程1三种表达方式三种表达方式n 1)()(sHsGn 零极点形式零极点形式1)()()()(11*niimjjpszsKsHsG根轨迹根轨迹所有闭环极点的集合所有闭环极点的集合0)()(1sHsG( )G sCR( )H sn 模值方程和相角方程模值方程和相角方程模值方程模值方程相角方程相角方程1)()(sHsG)

9、12()()(ksHsG111*niimjjpszsK,.1, 0,) 12()()(11kkpszsniimjj1)()()()(11*niimjjpszsKsHsG2分析分析n相角方程是决定闭环根轨迹的充分必要条件相角方程是决定闭环根轨迹的充分必要条件n模值方程用来确定根轨迹上各点对应的开环根轨迹增益模值方程用来确定根轨迹上各点对应的开环根轨迹增益K* 满足相角方程也必能满足模值方程满足相角方程也必能满足模值方程) 12()(ssKsG单位负反馈系统开环传递函数为单位负反馈系统开环传递函数为试用根轨迹方程绘制闭环根轨迹。试用根轨迹方程绘制闭环根轨迹。解：解：*0.5( )(21)(0.5)

10、(0.5)KKKG ssss ss s*0.5KK无开环零点，开环极点为：无开环零点，开环极点为：1200.5pp 根据相角方程，应有根据相角方程，应有12( )()()G sspsp (0.5)ss (21)k根轨迹增益根轨迹增益0, 1, 2,k 1p2pj00.5用试探法寻找满足相角方程的点：用试探法寻找满足相角方程的点：满足相角方程，该区段在根轨迹上。满足相角方程，该区段在根轨迹上。（1）在负实轴的（）在负实轴的（-0.5 ，0）区段上）区段上任取一点任取一点s1，代入相角条件验证：代入相角条件验证：11112( )()()G sspsp 1800180 22122( )()()180

11、G sspsp整个垂直平分线都在根轨迹上。整个垂直平分线都在根轨迹上。逐点试探可绘制出全部根轨迹。逐点试探可绘制出全部根轨迹。（2）在）在 p1p2 线段的垂直平分线上线段的垂直平分线上任取一点任取一点s2 进行验证：进行验证：2s根据模值方程，可求出根据模值方程，可求出S1、 S处处的根轨迹增益（或开环增益）。的根轨迹增益（或开环增益）。*11112110.5Kspspss*22122220.5Kspspss1s4-2 常规根轨迹的绘制常规根轨迹的绘制规则规则1 根轨迹的分支数根轨迹的分支数根轨迹的根轨迹的分支数分支数等于闭环系统特征方程的等于闭环系统特征方程的阶数阶数。闭环系统特征方程式为

12、闭环系统特征方程式为 *11()()0nmijijspKsz特征方程式的阶数或特征根的个数等于特征方程式的阶数或特征根的个数等于Max(m.n) （m是开环零点的个数是开环零点的个数, n是开环极点的个数）是开环极点的个数）常规根轨迹常规根轨迹：指系统的开环增益：指系统的开环增益 K：0 变化时的闭环根轨迹。变化时的闭环根轨迹。 也称为也称为180根轨迹。根轨迹。规则规则2 根轨迹的连续性和对称性根轨迹的连续性和对称性根轨迹是连续的并且根轨迹是连续的并且对称于实轴对称于实轴。若若nm，则有，则有n-m条根轨迹终止于条根轨迹终止于无穷远无穷远证明：证明：起点起点终点终点111*niimjjpsz

13、sKmjjniizspsK11*/ips *K（nm）mjjniiszspsK11*/lim或或根轨迹起始于根轨迹起始于开环极点开环极点，终止于，终止于开环零点开环零点。 规则规则3 根轨迹的起点、终点根轨迹的起点、终点模值方程模值方程0*Kjzs （n=m）jzs s开环极点开环极点若若nm，则有，则有n-m条根轨迹起始于条根轨迹起始于无穷远无穷远（nm）s规则规则4 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹实轴上某线段实轴上某线段右边右边的开环实数零点数和极点数之和为的开环实数零点数和极点数之和为奇数奇数时，该线段就时，该线段就是根轨迹上的一段。是根轨迹上的一段。 sKsHsG*)()(1)()(*s

14、KsHsG2) 1()()(*ssKsHsG)2() 1()()(*sssKsHsG)2)(1()()(*sssKsHsG)2() 3)(1()()(*ssssKsHsG规则规则5 根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线渐近线与正实轴夹角渐近线与正实轴夹角 (21)0, 1, 2,akknm （）11nmijijapznm渐近线与实轴的交点渐近线与实轴的交点当当m n时，有时，有n - m条根轨迹趋向无穷远，它们条根轨迹趋向无穷远，它们趋向无穷远的方位由趋向无穷远的方位由n - m条渐近线决定。条渐近线决定。ajaAngle of the asymptotes绘制如图所示系统的根轨迹绘制如图所示系统的根

15、轨迹 (1)(2)Ks ssCR极点：极点：零点：零点：2, 1, 0321ppp实轴上根轨迹：实轴上根轨迹：渐近线：渐近线：10312an-m=3，有，有3条根轨迹指向无穷远条根轨迹指向无穷远无无-1,0, (-,-203) 12(ka1,1, 3/0, 3/kkk1111nmijijdpdz两条或两条以上根轨迹分支在两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点，称为根平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的轨迹的分离点分离点(breakaway point)。分离点的坐标分离点的坐标d是下列方程的解是下列方程的解规则规则6 根轨迹的分离点坐标根轨迹的分离点坐标注意：注意： 上述方法中

16、，方程的解不一定都满足根轨迹方程，因此需要验证。不上述方法中，方程的解不一定都满足根轨迹方程，因此需要验证。不满足根轨迹方程的解应舍去；满足根轨迹方程的解应舍去； 如果开环传递函数中没有有限零点，分离点的计算公式为：如果开环传递函数中没有有限零点，分离点的计算公式为：110niidp分离点的特点：分离点的特点： 分离点或位于实轴上，或以共轭形式存在；分离点或位于实轴上，或以共轭形式存在； 根轨迹在实轴上两相邻开环极点（其中一个可以在无穷远）之间，至根轨迹在实轴上两相邻开环极点（其中一个可以在无穷远）之间，至少存在一个分离点；少存在一个分离点； 根轨迹在实轴上两相邻开环零点（其中一个可以在无穷远

17、）之间，至根轨迹在实轴上两相邻开环零点（其中一个可以在无穷远）之间，至少存在一个分离点；少存在一个分离点；负反馈系统的开环传递函数为负反馈系统的开环传递函数为)2()4()()(*sssKsHsG试画出其根轨迹图试画出其根轨迹图极点：极点：零点：零点：实轴上根轨迹：实轴上根轨迹：2, 021pp41zn-m=1，趋于无穷远，趋于无穷远-2,0，(-,-4分离点分离点41211ddd0882dd8 . 6, 2 . 121dd规则规则7 根轨迹的分离角根轨迹的分离角1(21)dkl根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向之间的夹角根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向之间的夹角

18、 称为分离角称为分离角 d分离角的计算公式分离角的计算公式为分离点处根轨迹的分支数。为分离点处根轨迹的分支数。l*2(1)( )( )33.25KsG s H sss122.120.12dd 1111.51.51djdjd220.250dd分离点分离点分离角分离角舍去舍去负反馈系统的开环传递函数负反馈系统的开环传递函数绘制该系统的根轨迹绘制该系统的根轨迹解：解：开环零点开环零点开环极点开环极点jpjp5 . 1,5 . 12111zn-m=1趋于无穷远趋于无穷远实轴上根轨迹：实轴上根轨迹：(-,-1j1202d1d) 12(21kd1,/20,/2kk规则规则8 根轨迹的起始角与终止角根轨迹的

19、起始角与终止角离开开环复数极点离开开环复数极点 处的切线与正实轴的夹角，称为处的切线与正实轴的夹角，称为起始角起始角 起始角与终止角的计算公式起始角与终止角的计算公式进入开环复数零点进入开环复数零点 处的切线与正实轴的夹角，称为处的切线与正实轴的夹角，称为终止角终止角 izizjip0ipj0izizpizi) 12(kmjjizp1)(nijjjipp, 1)(njjipz1)() 12(kmijjjizz, 1)(Angle of departurej1p01p2p3p1z1s由由相角方程可得：相角方程可得：11111213(z )()()()(2k1)sspspsp当当s1无限靠近无限靠

20、近p1时时111()psp将将s1= p1代入上面的相角方程，得出代入上面的相角方程，得出1111213(21)()()()pkpzpppp推广到一般推广到一般11112(21)()()mnpjjjjkpzpp更为一般更为一般11(21)()()imnpijijjjj ikpzpp单位负反馈系统的开环传递函数为单位负反馈系统的开环传递函数为 *(1.5)(2)(2)( )(2.5)(0.51.5)(0.51.5)Kssj sjG ss ssjsj试画出该系统的根轨迹。试画出该系统的根轨迹。1. 有有4条根轨迹。条根轨迹。12,3400.51.52.5ppjp 开环零点开环零点12,31.52z

21、zj 解：解：2.实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 开环极点开环极点 -1.5,0，(-,-2.54.根轨迹的起始角和终止角根轨迹的起始角和终止角2p212223212324180 (2k 1)(pz )(pz )(pz )(pp )(pp )(pp )180 (21)56.51959108.59037k0k 279p379p 180 (21) 101k4.根轨迹的起始角和终止角根轨迹的起始角和终止角2212223242123180(21)()()()()()()zkzpzpzpzpzzzz 180 (21511790k1k 2149.5z3149.5z 180 (21)

22、329.5k若根轨迹与虚轴相交，若根轨迹与虚轴相交，说明闭环特征方程存在虚根。说明闭环特征方程存在虚根。则交点则交点处处的的K值和值和 w值可用值可用以下两种方法求出以下两种方法求出规则规则9 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点方法方法1应用应用劳斯判据确定劳斯判据确定方法方法2Re1()()0Im1()()0G jH jG jH j令令 s=jw，代入，代入闭环特征方程，然后分别令其实部和虚部为闭环特征方程，然后分别令其实部和虚部为零而求得。零而求得。由由()1()()0D jG jH j 即即解得解得*,K解：解：*( )( )(1)(2)KG s H ss ss*32*( )(1)(2

23、)320D ss ssKsssK方法方法132*2*3()()3()2()( 3)(2 )0D jjjjKKj 令令sj2*33020K即即*1*2,30026KK 解得解得方法方法232*10*123603ssKKssK令令*60K由辅助方程：由辅助方程：2*( )30F ssK*6K 1,22sj 起点起点负反馈系统的开环传递函数负反馈系统的开环传递函数 求根轨迹与虚轴的交点求根轨迹与虚轴的交点当当 时，有时，有2nm11nniiiisp常数规则规则10 闭环特征根之和闭环特征根之和(1,2, )is in为闭环极点为闭环极点(1,2, )ip in为开环极点为开环极点作用作用：可用来判断

24、根轨迹的走向。当：可用来判断根轨迹的走向。当n-m2时，若闭环一部分根轨迹时，若闭环一部分根轨迹分支向右半分支向右半S平面移动，必定有另一部分根轨迹分支向左半平面移动，必定有另一部分根轨迹分支向左半S平面移动平面移动规则规则序号序号根轨迹特征点（线）根轨迹特征点（线）规规 则则1234(21)aknm11nmijijapznm根轨迹分支数和根根轨迹分支数和根轨迹起点、终点轨迹起点、终点根轨迹的分支数等于闭环特征方程的阶根轨迹的分支数等于闭环特征方程的阶数，根轨迹的起点为开环极点，终点为数，根轨迹的起点为开环极点，终点为开环零点（包括无限极点和无限零点）。开环零点（包括无限极点和无限零点）。根轨

25、迹的连续性根轨迹的连续性和对称性和对称性根轨迹随参数变化具有连续性并且根轨根轨迹随参数变化具有连续性并且根轨迹对称于实轴。迹对称于实轴。根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹实轴上某线段右边的开环实数零点数和实轴上某线段右边的开环实数零点数和极点数之和为奇数时，该线段就是根轨极点数之和为奇数时，该线段就是根轨迹上一段。迹上一段。56根轨迹的起根轨迹的起始角和终止始角和终止角角7根轨迹与虚根轨迹与虚轴的交点轴的交点8闭环特征方闭环特征方程的根之和程的根之和91111nmijijdpdz(21)(0,1,1)dkkll11(21)()()mnijijjjj ipikpzpp11(

26、21)()()imnzijijjjj ikzzzp11nniiiisp2nmK11|niimjjspKsz根轨迹的分根轨迹的分离点与分离离点与分离角角劳斯稳定判据；劳斯稳定判据；s=jw代入闭环特征方程式求出。代入闭环特征方程式求出。220 20*( )(20)(420)(20)(24)(24)KKG ss ssss ssjsj) 12 . 005. 0)(105. 0()(2ssssKsG已知单位负反馈系统的开环传递函数已知单位负反馈系统的开环传递函数0试绘制试绘制 K： 时的闭环根轨迹。时的闭环根轨迹。解：解：4,0nm*400KK开环零点开环零点开环极点开环极点 jppp42,20, 0

27、4, 321无无1、根轨迹分支数：、根轨迹分支数：11nmijijapznm42、实轴上的根轨迹：、实轴上的根轨迹：3、渐近线：、渐近线：（20，0）0( 20)( 24)( 24)4jj 6 (21)aknm(21)4k45135011451352kkkk 4、分离点坐标、分离点坐标123411110dpdpdpdp11110202424dddjdj3218501000ddd劈因法解高次方程劈因法解高次方程12212210nnnnnnxa xa xaxaxa方程为方程为采用采用“尾部二次因子式尾部二次因子式”求根的方法：求根的方法：（1）取尾部二次因子式）取尾部二次因子式 作除式除方程左边，

28、直到余子作除式除方程左边，直到余子式为二次因子式式为二次因子式 为止；为止；2122nnnnaaxxaa221nnnbxb x a（2）再以）再以 式作除式除方程左边，直到余子式为二次因子式作除式除方程左边，直到余子式为二次因子式式 为止；为止；2122nnnnbaxxbb221nnncxc x a（3）重复上述步骤，直到近似除尽。）重复上述步骤，直到近似除尽。 类似方法：类似方法： 采用采用“头部二次因子式头部二次因子式”求根；求根； 采用采用“尾部一次因子式尾部一次因子式”求根；求根； 采用采用“头部一次因子式头部一次因子式”求根。求根。 用劈因法求解方程用劈因法求解方程321850100

29、0ddd取尾部二次因子取尾部二次因子22501002.85.51818dddd22.85.5dd321850100ddd322.85.5dddd215.244.5100dd15.2215.242.683.6dd1.916.4d 22.96.6dd321850100ddd322.96.6dddd215.143.4100dd15.1215.143.899.7dd0.40.3d 2244.51002.96.615.215.2dddd22.8746.62dd)4 .169 . 1 ()2 .15)(5 . 58 . 2(1005018223ddddddd)3 . 04 . 0() 1 .15)(6 .

30、 69 . 2(1005018223ddddddd) 1 .15)(6 . 69 . 2(2ddd15.1d 4、分离点坐标、分离点坐标3218501000ddd2(15.1)(2.96.6)0ddd5、分离角、分离角d9090011(21)(21)21kkklk 6、根轨迹的起始角、根轨迹的起始角439p333113(21)()()mnpiiiiikpzpp313234(21)()()()kpppppp(21)116.512.590(21)219kk39 7、根轨迹与虚轴的交点、根轨迹与虚轴的交点2( )(20)(420)*D ss sssK423100*0244000K432()()24(

31、)100()400()*D jjjjjKsj令12,3104.即即解得解得423(100*)( 24400 )0Kj*400133.4791KKK*40000KKK43224100400*0ssssK)164)(1() 1(*)()(2sssssKsHsG123,40,1,22 3pppj ) 1 , 0() 1,(非最小相位非最小相位负反馈系统开环传递函数负反馈系统开环传递函数试闭环根轨迹。试闭环根轨迹。解解：3、渐近线：、渐近线：1、根轨迹分支数：、根轨迹分支数：开环极点：开环极点：开环零点：开环零点：2、实轴上的根轨迹：、实轴上的根轨迹：110 1 22 322 3( 1)233nmij

32、ijapzjjnm 4,1nm11z 16011800603) 12() 12(kkkkmnka44、分离点：、分离点：111111122 222 2ddddjdj5、起始角：、起始角：3454.554.5pp 16. 279. 022. 2,46. 04, 321jddd舍去舍去当当 时，系统稳时，系统稳 定，称为定，称为条件稳定系统条件稳定系统。23.3*35.7K2432(1)(416)*(1)312(* 16)*0s sssKssssKsK432210112*3* 1603 12* 16*3*59* 832052*sKsKKsKKKsKsK252*( )*03KF ssK辅助方程6、根

33、轨迹与虚轴的交点：、根轨迹与虚轴的交点：2*59* 832052*KKK令12*23.3*35.7KK利用劳斯判据求交点：利用劳斯判据求交点：11,223,4*23.31.56*35.72.56KsjKsj 当时,求得当时，求得解出：解出：规则规则序号序号根轨迹特征点（线）根轨迹特征点（线）规规 则则1234(21)aknm11nmijijapznm根轨迹分支数和根根轨迹分支数和根轨迹起点、终点轨迹起点、终点根轨迹的分支数等于闭环特征方程的阶根轨迹的分支数等于闭环特征方程的阶数，根轨迹的起点为开环极点，终点为数，根轨迹的起点为开环极点，终点为开环零点（包括无限极点和无限零点）。开环零点（包括无

34、限极点和无限零点）。根轨迹的连续性根轨迹的连续性和对称性和对称性根轨迹随参数变化具有连续性并且根轨根轨迹随参数变化具有连续性并且根轨迹对称于实轴。迹对称于实轴。根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹实轴上某线段右边的开环实数零点数和实轴上某线段右边的开环实数零点数和极点数之和为奇数时，该线段就是根轨极点数之和为奇数时，该线段就是根轨迹上一段。迹上一段。上节课回顾上节课回顾56根轨迹的起根轨迹的起始角和终止始角和终止角角7根轨迹与虚根轨迹与虚轴的交点轴的交点8闭环特征方闭环特征方程的根之和程的根之和91111nmijijdpdz(21)(0,1,1)dkkll11(21)()(

35、)mnijijjjj ipikpzpp11(21)()()imnzijijjjj ikzzzp11nniiiisp2nmK11|niimjjspKsz根轨迹的分根轨迹的分离点与分离离点与分离角角劳斯稳定判据；劳斯稳定判据；s=jw代入闭环特征方程式求出。代入闭环特征方程式求出。上节课回顾上节课回顾负反馈控制系统的开环传递函数为负反馈控制系统的开环传递函数为 12()( )( )()()K szG s H sspsp12(0)zpp，绘制系统根轨迹，证明其复数部分是圆并求出圆心和半径。绘制系统根轨迹，证明其复数部分是圆并求出圆心和半径。 解解 闭环系统的特征方程为闭环系统的特征方程为 12()(

36、)()0spspK szsj令令12()()()0jpjpKjz2121212()()(2)0Kzppp pjppj K 令上式中实部和虚部分别为零，有令上式中实部和虚部分别为零，有21212()()0Kzppp p 1220Kpp2212()()()zzpzp圆心圆心 ( ,0)z半径半径 12()()zpzp消去消去K，得到圆的方程：，得到圆的方程：几点讨论几点讨论1. 开环零、极点位置的微小变化，可能引起根轨迹形状的重大变化。开环零、极点位置的微小变化，可能引起根轨迹形状的重大变化。 开环极点位置变化开环极点位置变化j0j0j0j0Root LocusReal AxisImaginary

37、 Axis-6-5-4-3-2-1012-4-3-2-101234Root LocusReal AxisImaginary Axis-6-5-4-3-2-1012-4-3-2-101234Root LocusReal AxisImaginary Axis-6-5-4-3-2-1012-4-3-2-101234开环零点位置变化开环零点位置变化)()()()(321*pspspsszsKsGjpjppp33,33, 1, 0432121z5 . 11z4 . 11z2. 有两个实数或复数极点和一个有限零点组成的开环有两个实数或复数极点和一个有限零点组成的开环传递函数，只要有限零点不位于两个实数极点

38、之间，传递函数，只要有限零点不位于两个实数极点之间，根轨迹的复数部分是以有限零点为圆心，以有限零点根轨迹的复数部分是以有限零点为圆心，以有限零点到分离点的距离为半径的一个圆或圆的一部分。到分离点的距离为半径的一个圆或圆的一部分。3. 当当n-m3时，必定存在某个时，必定存在某个K，当开环增益超过该值时，当开环增益超过该值时，根轨迹将进入右半根轨迹将进入右半s平面。平面。4. 当出现当出现G(s)的极点与的极点与H(s)的零点相同时的根轨迹的零点相同时的根轨迹( )( )1(1)(2)KG sH sss ss(1)( )( )(1)(2)K sG s H ss ss(2)Ks s( )(1)(2

39、)(1)Kss ssK s2(1)(2)KsssKj0可见，当可见，当K从零变到从零变到无穷大时，无穷大时，s=-1总是总是闭环极点，不应消去闭环极点，不应消去而实际上而实际上 2( )20D sssK单位负反馈系统的前向传递函数为单位负反馈系统的前向传递函数为试绘制其根轨迹图试绘制其根轨迹图)95. 4)(4)(1()2 . 1()(*sssssKsG解：解：开环零点：开环零点：95. 4, 4, 1, 04321pppp2 . 11z1分支数：分支数：2实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：3渐近线渐近线142 . 195. 4410a开环极点：开环极点：n-m=3趋于无穷远趋于无穷远(-,-4

40、.95,-4,-1.2,-1 014) 12(ka92. 21,1, 3/0, 3/kkk4条；条；4分离点分离点d5分离角分离角6与虚轴交点与虚轴交点令令s=jw代入上式代入上式2 . 1195. 4141111ddddd90d)2 . 1()95. 4)(4)(1()(sKsssssD4 .16025. 4Kw64. 0 d0)8 .19(95. 902 . 175.28324KwwKwwKsKsss2 . 1)8 .19(75.2895. 9234j25. 4j25. 4-)95. 4)(4)(1()2 . 1()(*sssssKsG1.确定指定根轨迹增益时的闭环极点确定指定根轨迹增益时

41、的闭环极点模值条件求出指定的模值条件求出指定的K*值对应的闭环极点值对应的闭环极点2.确定指定系统某个特征参数时的闭环极点确定指定系统某个特征参数时的闭环极点设控制系统闭环主导极点设控制系统闭环主导极点 21,21nndsjj n先确定对应这个数值时的闭环极点以及根轨迹增益先确定对应这个数值时的闭环极点以及根轨迹增益控制系统闭环极点的确定控制系统闭环极点的确定n先确定位于实轴上的闭环极点先确定位于实轴上的闭环极点n然后利用综合除法等方法求得其余的闭环极点然后利用综合除法等方法求得其余的闭环极点 n然后利用综合除法再求出其余极点然后利用综合除法再求出其余极点 例如阻尼比为例如阻尼比为0.5时的闭

42、环极点，可以做一条阻尼比为时的闭环极点，可以做一条阻尼比为0.5的等阻的等阻尼线，求出其与根轨迹的交点以及根轨迹增益尼线，求出其与根轨迹的交点以及根轨迹增益系统开环传递函数为系统开环传递函数为*2( )( )(3)(22)KG s H ss sss（1）要求画出闭环系统的根轨迹；）要求画出闭环系统的根轨迹；（2）确定）确定 时的闭环极点；时的闭环极点；*4K （3）求阻尼比）求阻尼比 时系统闭环极点。时系统闭环极点。 0.5解：解： 开环极点：开环极点： 10p 23p 3,41pj 根轨迹分支数：根轨迹分支数：渐近线：渐近线：180 (21)180 (21)4akknm10,45ak11,1

43、35ak11,45ak 12,135ak 1103 1 11.254nmiiiiapznm （1）作根轨迹）作根轨迹4实轴上的根轨迹段：实轴上的根轨迹段： -3, 0分离点分离点：11110311dddjdj 12,32.3,0.7250.378ddj （舍去）（舍去） 分离角：分离角： 10901(21)1290dkkk 起始角：起始角： 3313234180 (21)()()()pkpppppp30,71pk 471p180 (21) 1372490180 (21)251kk*2( )( )(3)(22)KG s H ss sss根轨迹与虚轴交点：根轨迹与虚轴交点： 辅助方程辅助方程 2*

44、3405sK*204250K令令 *8.16K 解得解得 根轨迹与虚轴交点处：根轨迹与虚轴交点处： 21.20s 解出解出1.095sj *8.16K 1.095 *2)2)(3()(KssssssD0685*234Kssss4s3s2s1s0s18*K5634/5*K34/ )25-204(*K*Kj1.095j1.095-*2( )( )(3)(22)KG s H ss sss将试探区域选在负实轴上，经试探将试探区域选在负实轴上，经试探 122.522ss 是闭环极点。是闭环极点。 43258640ssss利用长除法，可以求得其余两个极点：利用长除法，可以求得其余两个极点： 3,40.24

45、0.86sj （2）确定）确定 时的闭环极点时的闭环极点*4K 分离点分离点 d=-2.3时时*2( )( )(3)(22)KG s H ss sss2232*ddddK33. 433. 4K0)()(2)(52. 2(43ssssss1,20.40.7sj （3）求阻尼比）求阻尼比 时系统闭环极点。时系统闭环极点。 0.5求得等阻尼线与根轨迹交点求得等阻尼线与根轨迹交点代入闭环特征方程：代入闭环特征方程：432*( )5860D sssssK*2( )( )(3)(22)KG s H ss ssso60阻尼角阻尼角1s31js0)(Im0)(Re11sDsD2s91. 2*K闭环系统特征方程

46、闭环系统特征方程4325862.910ssss424335862.91(0.40.7)(0.()40.7()0sssssjsjssss用长除法得到用长除法得到31.4s 42.85s *2( )( )(3)(22)KG s H ss sss问题问题nK之外参数变化，根轨迹怎么做？之外参数变化，根轨迹怎么做？n正反馈根轨迹怎么做？正反馈根轨迹怎么做？n多个参数变化，根轨迹怎么做？多个参数变化，根轨迹怎么做？n多回路系统的根轨迹怎么做？多回路系统的根轨迹怎么做？参数根轨迹参数根轨迹零度根轨迹零度根轨迹根轨迹簇根轨迹簇多回路根轨迹多回路根轨迹广义根轨迹广义根轨迹常规根轨迹常规根轨迹负反馈系统负反馈系

47、统 1+G(s)H(s)=00:*KqihjjifiljjipspszszsKsHsG1111*)()()()()()(4-3 广义根轨迹广义根轨迹一一. 参数根轨迹参数根轨迹n等效系统与原系统的闭环特征方程相同等效系统与原系统的闭环特征方程相同1定义定义以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹2思路思路构造等效系统构造等效系统n原系统的变化参数是等效系统的开环增益原系统的变化参数是等效系统的开环增益3方法方法n改写成改写成0)()(1sQsPA参数参数A：0P(s)，Q(s)与变化参数无关的首一多项式与变化参数无关的首一多项式n等效系统等效系统 开环传递函数开环传

48、递函数)()()(sQsPAsGn 做做A：0的根轨迹的根轨迹原系统特征方程原系统特征方程1+G(s)H(s)=0位置随动系统位置随动系统工作工作机械机械电机电机放大器放大器比较比较电位器电位器电位器电位器c r uc ur us 减速器减速器当当KA：0+时，分析系统性能。时，分析系统性能。开环传递函数开环传递函数)2 . 0()()(ssKsHsGA开环极点开环极点:开环零点开环零点:无无0.2, 021pp根轨迹的分支数：根轨迹的分支数： 2实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹： 0, 0.2分离点：分离点：d=0.1)2 . 0()()(ssKsHsGA分离点：分离点：d=-0.1分离点对应

49、的分离点对应的KA01. 02 . 0ddKA01. 0AK01. 00AK过阻尼系统过阻尼系统近似为一阶系统近似为一阶系统调节时间大调节时间大01. 0AK欠阻尼系统欠阻尼系统校正方法校正方法Ta：0时，分析校正后系统性能时，分析校正后系统性能n比例微分控制比例微分控制n测速反馈控制测速反馈控制) 15(5ss+-+r(t)c(t)1Tas上节课回顾上节课回顾问题问题nK之外参数变化，根轨迹怎么做？之外参数变化，根轨迹怎么做？n正反馈根轨迹怎么做？正反馈根轨迹怎么做？n多个参数变化，根轨迹怎么做？多个参数变化，根轨迹怎么做？n多回路系统的根轨迹怎么做？多回路系统的根轨迹怎么做？参数根轨迹参数

50、根轨迹零度根轨迹零度根轨迹根轨迹簇根轨迹簇多回路根轨迹多回路根轨迹广义根轨迹广义根轨迹常规根轨迹常规根轨迹负反馈系统负反馈系统 1+G(s)H(s)=00:*K解：解：时的根轨迹时的根轨迹特征方程：特征方程：0) 15() 1(5)()(sssTsHsGa) 1(5) 15()(sTsssDa055512sssTa绘制绘制Ta：开环传递函数开环传递函数05552sTssa（1）改写成）改写成0)()(1sQsPA（2）构造等效系统）构造等效系统（3）作等效系统当）作等效系统当 Ta：0+变化时的根轨迹变化时的根轨迹开环极点：开环极点： 1,20.10.995pj 开环零点：开环零点： 10z

51、1nm有一条根轨迹趋向无穷远有一条根轨迹趋向无穷远j0实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：复平面上的根轨迹是一段圆弧复平面上的根轨迹是一段圆弧圆心圆心：（：（0，0）220.10.9951半径：半径：分离点：分离点：8 . 1, 1aTd8 . 1aT（-，0）n等效系统与原系统的闭环参数一般不相同等效系统与原系统的闭环参数一般不相同5)51 (5) 1(5)(1)()(2sTssTsGsGsaa?注意注意n等效系统原系统根轨迹相同等效系统原系统根轨迹相同5)51 (55)(1)()(2sTssTsGsGsaa原系统原系统等效系统等效系统二二. 零度根轨迹零度根轨迹1定义定义k20 条件，而不是条

52、件，而不是k2180 其相角遵循其相角遵循的条件的条件3来源来源n 正反馈系统正反馈系统n 开环增益为负的负反馈系统开环增益为负的负反馈系统n开环传递函数中包含开环传递函数中包含s最高次幂的系数为负的因子最高次幂的系数为负的因子1-G(s)H(s) = 0,.1, 0,2)()(kksHsG1)()(sHsG2零度根轨迹的基本原理零度根轨迹的基本原理闭环特征方程闭环特征方程根轨迹方程根轨迹方程相角方程相角方程幅值方程幅值方程G(s)H(s)=1不变不变改变改变实轴上某一区段，若其右段开环实数零极点之和为实轴上某一区段，若其右段开环实数零极点之和为偶数偶数时，时， 该区域为根轨迹该区域为根轨迹4

53、零度根轨迹的基本法则零度根轨迹的基本法则规则规则1 根轨迹的分支数根轨迹的分支数规则规则2 根轨迹的连续性和对称性根轨迹的连续性和对称性规则规则3 根轨迹的起点、终点根轨迹的起点、终点与常规根轨迹一致与常规根轨迹一致规则规则4 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹（0为偶数）为偶数）与常规根轨迹一致与常规根轨迹一致与常规根轨迹一致与常规根轨迹一致渐近线与实轴正方向的夹角渐近线与实轴正方向的夹角渐近线与实轴相交点的坐标渐近线与实轴相交点的坐标,.2, 1, 0,2kmnkamnzpmjjniia11规则规则5 根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线规则规则6 根轨迹的分离点坐标根轨迹的分离点坐标与常规根轨迹一致与

54、常规根轨迹一致规则规则7 根轨迹的分离角根轨迹的分离角与常规根轨迹一致与常规根轨迹一致zi规则规则10 闭环特征根之和闭环特征根之和规则规则8 根轨迹的起始角与终止角根轨迹的起始角与终止角pi规则规则9 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点与常规根轨迹一致与常规根轨迹一致与常规根轨迹一致与常规根轨迹一致nijjjipp, 1)(k2mjjizp1)(mijjjizz, 1)(k2njjipz1)(正反馈系统正反馈系统的开环传递函数的开环传递函数*2(2)( )(3)(22)K sG ssss要求绘制根轨迹并判断系统稳定的条件。要求绘制根轨迹并判断系统稳定的条件。解：解：开环极点：开环极点：1,

55、2313pjp 开环零点：开环零点：12z (,3)( 2,) 1. 实轴上的根轨迹段：实轴上的根轨迹段：j0231112. 起始角：起始角：1p2p3p1z11112132()()()pkpzpppp2459027k1072pk 272p3. 分离点坐标：分离点坐标：11113112ddjdjd 0.8d 解得解得7272闭环特征方程闭环特征方程0)(1sG需要利用需要利用零度根轨迹零度根轨迹规则规则利用模值条件利用模值条件*01.9K*1.93K*3K 响应为衰减振荡曲线响应为衰减振荡曲线有三个负实根有三个负实根有一个正实根和两个负实根有一个正实根和两个负实根j0231111p2p3p1z

56、7272*2(2)( )(3)(22)K sG ssssS=0322232ssssKS=d= -0.89 . 122232ssssK系统稳定系统稳定有一对共轭复根和一个负实根有一对共轭复根和一个负实根系统稳定系统稳定响应为单调衰减响应为单调衰减系统不稳定系统不稳定3K9 . 1K负反馈系统开环传递函数为负反馈系统开环传递函数为试绘制试绘制 的根轨迹的根轨迹)2)(1()()(*sssKsHsG解：解：闭环特征方程闭环特征方程0)2)(1(1)()(1*sssKsHsG相当绘制相当绘制*0K0*K时，系统时，系统0)2)(1(-1*sssK的根轨迹的根轨迹需要利用需要利用零度根轨迹零度根轨迹规则

57、规则1分支数：分支数：2实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：3渐近线：渐近线：10321a4.分离点：分离点：021111ddd开环零点：开环零点：2, 1, 0321ppp开环极点：开环极点：)2)(1()()(*sssKsHsG无无3条趋于无穷远条趋于无穷远3；0,+),-2,-10, 02, 3/41, 3/232kkkka58. 1,42. 021dd舍去舍去5.分离角分离角2d单位负反馈系统的开环传递函数为单位负反馈系统的开环传递函数为 22(23)( )(413)KssG ss ss绘制系统的根轨迹。绘制系统的根轨迹。闭环特征方程闭环特征方程解：解： 22(23)10(413)Ksss

58、 ss22(23)10(413)K sss ss需要利用需要利用零度根轨迹零度根轨迹绘制规则绘制规则。 这是这是开环传递函数中包含开环传递函数中包含s最高次幂的系数为负的因子最高次幂的系数为负的因子的情况下，的情况下，根轨迹绘制问题。根轨迹绘制问题。即即开环零点：开环零点：jpjpp32,32, 0321开环极点：开环极点：22(23)( )(413)KssG ss ss1, 321zz1分支数：分支数：2实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：1条趋于无穷远条趋于无穷远3；1,+),-3,03.分离点分离点11313213211ddjdjdd8 . 5, 8 . 221dd舍去舍去1d4.分离角分离

59、角2d22(23)( )(413)KssG ss ss5.起始角起始角2pk2)()(2212zpzp)()(3212ppppo7o73p5.与虚轴交点与虚轴交点85. 2,72. 2Kjs72. 2j72. 2j三、几个参数同时变化的根轨迹簇三、几个参数同时变化的根轨迹簇1221( )( )( )0B sA sAKKsK1，K2为可变参数为可变参数 n 首先令一个可变参数等于零，例如首先令一个可变参数等于零，例如 K2=0 ，闭环特征方程可写成，闭环特征方程可写成11( )10( )A sB sK，绘制绘制 K1变化时的根轨迹。变化时的根轨迹。n 再考虑参数再考虑参数K2变化，将闭环特征方程

60、可写成变化，将闭环特征方程可写成2112( )10( )( )A sB sK AKs绘制绘制 K2变化时的根轨迹。第一步作出的根轨迹就是变化时的根轨迹。第一步作出的根轨迹就是K2变化时的根轨变化时的根轨迹的起点迹的起点1定义定义几个参变量连续从零到无穷大变化时的根轨迹几个参变量连续从零到无穷大变化时的根轨迹2方法方法考虑系统中有两个可变参数的情况考虑系统中有两个可变参数的情况设闭环特征方程为设闭环特征方程为( )()KG ss sa已知系统的开环传递函数已知系统的开环传递函数:0,:0Ka 试绘制试绘制 时的闭环根轨迹。时的闭环根轨迹。解：解：闭环特征方程为闭环特征方程为2( )0D ssaK