第三章 二维随机向量的联合分布

1、第三章第三章 随机向量及其概率分布随机向量及其概率分布 二维随机变量的联合分布二维随机变量的联合分布 边缘分布边缘分布 条件分布条件分布 随机变量的独立性随机变量的独立性 n维随机向量简介维随机向量简介 随机向量函数的分布随机向量函数的分布3.1.1二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布定义定义3.1：设设 是随机试验是随机试验 E 的样本空的样本空间，间，X和和Y是定义在是定义在 上的随机变量，由它们构上的随机变量，由它们构成的二维向量（成的二维向量（X，Y）称为）称为 E 的一个二维随机的一个二维随机变量。变量。3.1 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布定义定义3.2：设（设（X，

2、Y）是二维随机变量，对一切）是二维随机变量，对一切(x,y)，称二元函数，称二元函数 为（为（X，Y）的联合分布函数，或称为（）的联合分布函数，或称为（X,Y）的分布函数。的分布函数。),(),(yYxXPyxF联合分布函数的性质：联合分布函数的性质：（1）0( , )1,F x y（2） 对对 x、y 分别是单调不减的。分别是单调不减的。),(yxF（4）对任意的点）对任意的点21212211,),(),(yyxxyxyx且、0),(),(),(),(,211112222121yxFyxFyxFyxFyYyxXxP（3） 关于关于 x 右连续，关于右连续，关于 y 右连续右连续( , )(0

3、, )( ,0)(, )( ,)(,)0,(,)1F x yF xyF x yFyF xFF且),(yxF性质（性质（ 4 ）正是一维随机变量与二维随机变量）正是一维随机变量与二维随机变量的不同之处。的不同之处。也就是说，一个函数也就是说，一个函数 仅满足了前三条性仅满足了前三条性质，仍未必是二维随机变量的分布函数。质，仍未必是二维随机变量的分布函数。就是不满足性质（就是不满足性质（ 4 ）。）。0001),(yxyxyxF),(yxF例如：例如：定义定义3.3：如果，二维随机向量（如果，二维随机向量（X，Y）的一）的一切可取值为有限多对，或可列多对，则称（切可取值为有限多对，或可列多对，则称

4、（X，Y）为二维离散型随机向量。）为二维离散型随机向量。定义定义3.4：设二维离散型随机向量（设二维离散型随机向量（X，Y）所有）所有可能取得值为（可能取得值为（xi ，yj），），i，j1，2，则，则称：称：(,),1,2,ijijP Xx Yypi j3.1.2、二维离散型随机向量、二维离散型随机向量为（为（X，Y）的）的联合分布律联合分布律，或称为（，或称为（X，Y）的的分布律分布律。（X，Y）的分布律也可以用如下的表格表示：）的分布律也可以用如下的表格表示：12111212122212jjjiiijyyyppppppppp12ixxxYX例例1（二维（二维01分布）设一个袋中有分布）设

5、一个袋中有2个黑球，个黑球，3个白球，个白球，从中任取从中任取2个球，个球，X 表示第一次取出的白球个数，表示第一次取出的白球个数，Y 表表示第二次取出的白球个数，分别求出（示第二次取出的白球个数，分别求出（1）有放回抽取，）有放回抽取，（2）不放回抽取时）不放回抽取时,（X，Y）的联合分布律。）的联合分布律。解：直接用表格表示为：解：直接用表格表示为：2592561256254010（1）YX2062061206202010（2）YX例例2、抛一枚硬币、抛一枚硬币3次，令次，令X表示头两次出现表示头两次出现正面的次数，正面的次数，Y表示表示3次总共出现正面的次数，次总共出现正面的次数，求求(

6、X,Y)的联合分布律。的联合分布律。2211(2,)(|)22(;)() ()10.5 0.5,120012iiiXBP Yj XiP Xi YjP Xi P Yj XiCji ii解：，其它（其中， ， ）例例3、把、把5个球任意的放到个球任意的放到3个盒子中，令个盒子中，令X表表示落在第一个盒子中球的个数，示落在第一个盒子中球的个数，Y落在第二个落在第二个盒子中球的个数，求盒子中球的个数，求(X,Y)的联合分布律。的联合分布律。解解： （X,Y）=（i , j） （ 其中其中i , j= 0,1,5,5；i+j5i+j5）5555(,)35!111( ) ( ) ( )! !(5)! 33

7、3ijiijijC CP Xi Yji jij 则分布律的性质：分布律的性质：（1）;,0jipij（2）1ijijp: ( , ), , .ijijxx yyijF x ypxx yyi j（3）分布函数为即对一切满足的求和3.1.3 二维连续型随机向量二维连续型随机向量定义定义3.5：设设 是二维随机向量（是二维随机向量（X，Y）的分布函数，若存在着非负可积函数的分布函数，若存在着非负可积函数 ，使对一切的使对一切的 有有),(yxF),(yxf2),(Ryx yxdxdyyxfyxF),(),(则称（则称（X，Y）是二维连续型随机向量，函数）是二维连续型随机向量，函数 称为二维连续型随机

8、向量（称为二维连续型随机向量（X，Y）的的联合概率密度函数。联合概率密度函数。),(yxf密度函数密度函数 有如下有如下性质性质：),(yxf（1）（2）（3）若）若 在点在点 处连续，则有：处连续，则有：( , )0( , )1f x yf x y dxdy ( , )f x y( , )x yyxyxFyxf),(),(2（4）设）设 G 是是 xy 平面上的一个区域平面上的一个区域,向量向量落在落在G内的概率为：内的概率为：),(YXGdxdyyxfGYXP),(),(其中其中（1），（），（2）为联合密度函数的基本性）为联合密度函数的基本性质。质。例2、设二维随机向量（X，Y）具有概率

9、密度求：（1）常数A（2）分布函数 （3）概率(2),0,0,( , )0,xyAexyf x y-+= 其它，( , )F x yP YX+(2)20000200(2)002200(2)1A11(|)222(2),0,( , )( , )=22(1)( , )=03()2x yxyxyyxyxx yxyxyxyx yedxdyAedxe dyAeeAAx yF x yf x y dxdyedxdyedxe dyeeF x yP YXe （） 1=对（1）其它情况（ ）(2)00-0123xx yy xdxdydxedy二维均匀分布： 设G是xy平面上的区域，S是G的面积，若二维随机向量（X，

10、Y）具有概率密度则称（X，Y）在G上服从均匀分布。 若区域 是G内的面积为 的子区域，则有1,( ,),( ,)0,x yGf x yS=其它，1G1S1111(, )GSPX YGdxdySS=蝌二维正态分布二维正态分布：设对给定的常数,211,02rr及定义函数：222221212112221),()()(2)()1 (21exp121),(Ryxyyxrxrryxf可以证明 是一个概率密度函数。),(yxf, 0112( )( ,),( )(, )F xF xFyFy3.2 边缘分布边缘分布3.2.1 边缘分布函数边缘分布函数定义：设 是（X，Y）的联合分布函数，称 分别为（X,Y）关于

11、X，Y的边缘分布函数。),(yxF定理：定理：12( )( )( )( )( )( )XYXYFxFyXYF xFxF yFy设，分别为 ， 的分布函数，则，3.2.2. 边缘分布律边缘分布律命题：命题：设（设（X,Y）是二维离散型随机向量，其联）是二维离散型随机向量，其联合分布律为：合分布律为：(,),1,2,ijijP Xx Yypi j，.1.1()(1,2,)()(1,2,)iijijjijjiXP XxppiYP Yyppj则 的边缘分布律的边缘分布律例例1：在：在3-1例例1中，分别求出（中，分别求出（X，Y）关于）关于 X 和和 Y的边缘分布。的边缘分布。 (1) 有放回抽取时：

12、有放回抽取时：10YXpjpi5352535225925625625410（2）不放回抽取时：）不放回抽取时：10YXpjpi5352535220620620620210例例2、向一目标进行独立射击，每次击中目标的概率、向一目标进行独立射击，每次击中目标的概率为为 p，令，令 X 表示首次击中目标所需的射击次数，表示首次击中目标所需的射击次数，Y 表表示第二次击中目标所需的射击次数，求（示第二次击中目标所需的射击次数，求（X，Y）的）的联合分布律和边缘分布律。联合分布律和边缘分布律。显然，（显然，（X，Y）可能取的一切值为）可能取的一切值为( , )1,2,1;2,3,i j ijj设每次击中

13、目标记为事件设每次击中目标记为事件 A，由于射击是独立的，所以，由于射击是独立的，所以22(,)()(1)jP Xi YjP AAAAAApp第第 i 个个第第 j 个个1211iiqppqq11222211()(,)(1)jjjjiiP YjP Xi Yjpqjp q2211()(,)jj ij iP XiP Xi Yjpq （令（令 ）1qp 我们再求其边缘分布律：我们再求其边缘分布律：3.2.3 边缘概率密度函数边缘概率密度函数由式书上（由式书上（3.2.1）及定义）及定义3.4知：知：而而( ,)( , )xF xf x y dy dx 由分布函数的定义知：由分布函数的定义知：xXXd

14、xxfxF)()( )()( ,)( )()(,)XYFxP XxF xFyP YyFy=+ =+ 例例2：在：在 0 , 1 区间上任意取两点，令区间上任意取两点，令 X 和和 Y 分别表示这两点的坐标（设分别表示这两点的坐标（设 XY），求），求（X，Y）的联合概率密度及（）的联合概率密度及（X，Y）关于）关于X和和Y 的边缘概率密度。的边缘概率密度。 所以：所以：dyyxfxfX),()(dxyxfyfY),()(解：由题意可知，解：由题意可知， 其其面积为面积为 S，则，则 另一方面，另一方面，X、Y 是任取得两点，所以是任取得两点，所以（X，Y）在）在 G 上服从二维均上服从二维均匀

15、分布匀分布 ，故其联合概率密度为，故其联合概率密度为 10),(xyyxG21S其它0102),(xyyxfGo11 yx101020200000 xdyxxdydydyxdyxx那么，边缘密度为：那么，边缘密度为：dyyxfxfX),()(1010)1 (202000)(11ydxyydxdxdxydxyfyyY定义：定义：设设 X、Y 是两个随机变量，若有是两个随机变量，若有 ， 对任意的对任意的 ，称，称0)( xXP为在为在 Xx 下，下，Y 的条件分布函数，记为：的条件分布函数，记为：)(xyFXY，同样可以定义：，同样可以定义：)(yxFYXRy)(),()(xXPyYxXPxXy

16、YP（3.3.1）3.3.1 条件分布函数条件分布函数3.3 条件分条件分布布但当但当 X 是连续型随机变量时，由于是连续型随机变量时，由于 式式(3.3.1)无意义，因此，在一般情况下，若下列无意义，因此，在一般情况下，若下列极限极限0)( xXP存在，则称此极限为在存在，则称此极限为在 Xx 下，下，Y 的条件分的条件分布函数，记为布函数，记为 。同理可定义。同理可定义 。0(,)lim,()xP xxXxYyP xxXxD -D -D y- y同理可得：同理可得：( , )()( )yY XXf x yFy xdyfx而：而：yXYXYdyxyfxyF)()(xYXYXdxyxfyxF)

17、()(由上可知：由上可知：)(),()( ;)(),()(yfyxfyxfxfyxfxyfYYXXXY例例2、设二维随机变量（、设二维随机变量（X，Y）在区域）在区域 上服从均匀分布，求条件概率密上服从均匀分布，求条件概率密度度 。122 yx)(yxfYX解：因为（解：因为（X，Y）服从均匀分布，且圆面积）服从均匀分布，且圆面积为为。所以，联合概率密度为：。所以，联合概率密度为：其它011),(22yxyxfdxyxfyfY),()(边缘密度函数为：边缘密度函数为：其它011120121122yydxyy)(),()(yfyxfyxfYYX所以，当所以，当 时，条件密度函数为：时，条件密度函

18、数为：11y其它01112101)2(12222yxyyy例例3、设（、设（X，Y）的联合密度为）的联合密度为其它00 , 103),(xyxxyxf求：求：4181XYP解：解：10 ,33),()(20 xxxdydyyxfxfxX即即其它0103)(2xxxfX从而从而101( , )()( )0 Y XXyxf x yfy xxfx其它18111()844Y XP YXfydy所以所以11( , )4014()414( )04Y XXfyyfyf其它214810dy定义定义3.7：设设 及及 分分别是二维随机变量（别是二维随机变量（X，Y）的联合分布和边）的联合分布和边缘分布函数，若对

19、一切的缘分布函数，若对一切的 ，有，有 ),(yxF)(),(yFxFYX)()(),(yFxFyxFYX2),(Ryx则称随机变量则称随机变量 X 和和 Y 是相互独立的。是相互独立的。3.4 随机变量的独立性随机变量的独立性例例1、一电子仪器由两部分构成，以、一电子仪器由两部分构成，以 X 和和Y 分分别表示两部件的寿命（单位：千小时），已知别表示两部件的寿命（单位：千小时），已知 X 和和 Y 的联合分布函数为的联合分布函数为其它00, 0,1),()(5 . 05 . 05 . 0yxeeeyxFyxyx（1）问）问 X 和和 Y 是否独立；是否独立；（2）求两部件的寿命都超过）求两部

20、件的寿命都超过100小时的概率。小时的概率。由由)()(),(yFxFyxFYX知，知，X 与与 Y 相互独立。相互独立。（2）1 . 01 . 01 . 0, 1 . 0YPXPYXP解（解（1）0001),()(5 . 0 xxexFxFxX0001),()(5 . 0yyeyFyFyY1 . 011 . 01 YPXP)1 . 0(1)1 . 0(1 YXFF1 . 005. 005. 0eee两个随机变量相互独立的判定定理：两个随机变量相互独立的判定定理：定理定理3.2：设（设（X，Y）是二维离散型随机变）是二维离散型随机变量，则：量，则：)()(),( YXjijiyYPxXPyYx

21、XP相互独立、例1、盒中有2个黑球，3个白球，从中分不放回和有放回两种方式抽取2个球，令X表示第一次取到的白球个数，Y表示第二次取到的白球个数，判断X，Y的独立性。(), ,0,124(0,0)(0) (0)2025P XiYjP XiP Yj i jXYP XYP XP YXY有放回时：可验证（，） （）， 独立无放回时：， 不独立 (1) 有放回抽取时：有放回抽取时：10YXpjpi5352535225925625625410（2）不放回抽取时：）不放回抽取时：10YXpjpi5352535220620620620210定理定理3.3：设（设（X，Y）是二维连续型随机变）是二维连续型随机变

22、量，则：量，则：2),(),()(),( YXRyxyfxfyxfYX相互独立、2( , )( ) ( )( , ),f x yg x h yx yRX Y注1：若，对则就相互独立。|,( , )( )X YXX YFx yFx注2：独立，则例2、设（X，Y）服从二维正态分布 讨论X，Y的独立性。221212(, )Nrm mss0XYr与 相互独立3.53.5 n维随机维随机向向量简介量简介一、一、 n维联合分布维联合分布定义定义1 设设(X1, Xn)为为n维随机向量，对任意的维随机向量，对任意的n个实数个实数x1, x2, xn，称称n元函数元函数),(),(111nnnxXxXPxxF

23、为为n维随机变量维随机变量(X1, Xn)的的联合分布函数联合分布函数。定义定义2 如果如果(X1,Xn)只取有限多组或可列无穷只取有限多组或可列无穷多组数值，则称多组数值，则称(X1,Xn)为为n维离散型随机变量，维离散型随机变量，(1)( )1(,) ( ,1,2,)ninjijP XxXxpij称为称为(X1,Xn)的的联合分布律联合分布律。联合分布律具有如下性质：（1）（2）.0,ijp,1,2,ij.1ijijp=定义定义3 如果存在非负可积函数如果存在非负可积函数 f(x1,xn) , 使使 得得 (X1,Xn) 的的 分分 布布 函函 数数1111),(),(xnxnndxdxx

24、xfxxFn对一切实数对一切实数 x1,xn成立成立,则称则称(X1,Xn)为为n维维连续型变量。称连续型变量。称f(x1,xn)为为(X1,Xn)的的联合联合概率密度。概率密度。1),()2( 0),() 1 ( 111nnndxdxxxfxxf概率密度性质：（3）对）对n维连续型变量维连续型变量(X1,Xn)，落在，落在n维维空间某区域空间某区域G内的概率为内的概率为nnGndxdxxxfGXXP111),(),(二、二、 k维边缘分布维边缘分布及条件分布及条件分布定义定义4 称称(X1,Xn)中任意中任意k个分量所构成的个分量所构成的k维随机向量的分布为维随机向量的分布为(X1,Xn)的

25、的k维边缘分布维边缘分布。例如，称例如，称 (X1,X2,X3)的分布函数的分布函数),(),(),(),(3214332211332211321321xxxFXXxXxXxXPxXxXxXPxxxFnXXX为为(X1,Xn)关于关于(X1,X2,X3)的三维边缘分布函数的三维边缘分布函数.三、三、 n维随机向量的独立性维随机向量的独立性1. 定义定义5 设设(X1,Xn)的分布函数为的分布函数为F(x1, xn),一维边缘分布函数为一维边缘分布函数为 FXi(xi)(i=1,2,n),若对所若对所有实数有实数x1,xn, 有有 )()()(),(21121nXXXnxFxFxFxxFn则称则

26、称X1,Xn相互独立。相互独立。2. 性质：（1）若n个随机变量X1,Xn相互独立，则其中任意k( )个随机变量 也相互独立。（2）21kn-12,.,kiiiXXX1111111111112111( ,)(,;,)(,) (,)( ,)(,)(,)6( ,)mnmmnnmmnnmnmnF xxyyP XxXx YyYyP XxXxP YyYyF xxF yyXXYY如定义果则称与相、互独立。111121(,)( ,)(,),( ,)mnmnXXYYZg XXZh YY结论：如果与相互独立，则相互独立。3.6 3.6 随机向量函数的分布随机向量函数的分布问题：已知问题：已知 Z = g(X,Y

27、) 以及以及 (X,Y) 的联合分布，的联合分布，如何求出如何求出Z的分布？的分布？1、 (X,Y)为二维离散型随机为二维离散型随机向向量量 设（X，Y）是二维离散型随机向量，已知其联合分布律为 求 的分布律，根据离散型随机变量分布律的定义，首先找出 可能取的一(,),ijijP Xx Yyp=,1,2,.i j =( , )Zg X Y=( , )Zg X Y=切值，若Z可能取的一切值为 （ ），则kz1,2,.k=,() ()()( ( , )(,),1,2,.ijijkkkijx y g x yzPZzPg XYzPX x Yyk=1212 ,(),()().X YXPYPZXYP例1

28、设随机变量相互独立， 且求证：1212k000()12120()()() (|)() (|)() ()!()!ikkiiik ikkiP ZkP XYkP Xi P XYk XiP Xi P Yki XiP Xi P Ykieeeikik（）2、 二维连续型随机变量的函数的分布二维连续型随机变量的函数的分布思路：思路：设二维连续型随机变量的函数为设二维连续型随机变量的函数为Z=g(X,Y),显然显然Z是一维随机变量，其分布函数为是一维随机变量，其分布函数为),()()(zYXgPzZPzFZ如果设如果设(X,Y)的联合概率密度为的联合概率密度为f(x,y),则则( , )( )( (, )(

29、, )Zg x yzFzP g X Yzf x y dxdy利用利用Z的分布函数与的分布函数与Z概率密度之间的关系，概率密度之间的关系，可 以 最 终 求 出可 以 最 终 求 出 Z = g ( X , Y ) 的 概 率 密 度 。的 概 率 密 度 。( )( )ZZfzF z例2、设(X,Y)的联合概率密度函数为 求 的概率密度。 ),(yxfYXZ设设 是是 的分布函数，记区域：的分布函数，记区域： 根据连续型随机变量在平根据连续型随机变量在平面上的一个区域内取值得概率等于其联合概率面上的一个区域内取值得概率等于其联合概率密度在这个区域上的二重积分。有密度在这个区域上的二重积分。有)

30、(zFZYXZ),(zyxyxG)()()(zYXPzZPzFZdxdyyxfG),(xyoGyzdydxyxf),(zdyduyyuf),()(yux令G*uyz（此时的积分区域就是右图的（此时的积分区域就是右图的G*）交换积分次序有交换积分次序有dudyyyufzFzZ),()(两边对两边对 z 求导得求导得dyyyzfzfZ),()(显然，由对称性也可写成显然，由对称性也可写成dxxzxfzfZ),()(特别，若特别，若X、Y 相互独立，其概率密度分别为相互独立，其概率密度分别为)(),(yfxfYXdyyfyzfzfdxxzfxfzfYXZYXZ)()()()()()(YXff，所以有

31、卷积公式，所以有卷积公式例例3、设、设 X、Y 是两个相互独立同服从标准正是两个相互独立同服从标准正态分布的随机变量，求态分布的随机变量，求 的概率密度的概率密度函数。函数。YXZ解：解：X、Y 的密度为的密度为yyyfxxxfYX2exp21)(2exp21)(22zez422212222()()224211( )22zyyzzyZfzeedyeedy由卷积公式得：由卷积公式得：由由 的密度可见，的密度可见，YX )11 , 0(22NYX更一般的结论，见教材更一般的结论，见教材P109 。定义：X ，即X的概率密度函数为( , )a bG1,0( ),( )0,0 xXx exf xxaabba-= G 0,0ab101111.( ),0 ;1(1)( ), ( ), (1)!, (1)1;22.,(1),0,0( ) ( ),()xpqxe dxnnp qxxdx pqpqp qpq 0补充：函数：性质：函数：（）=与 函数关系：（）=1,03,( )(1)!0,0( , )nnxxexnf xnxnn 当则称为 相爱尔兰分布。122221,012,( )2( )2220,01( , )( )2 2nxnxexnnf xxnn 当则即；,011,( )0 ,0(1, )( )xexf xxe 当则即；11112112,(,),0(,)( )()000,0,0 xXX Y