第三章动量守恒定律能量守恒定律守恒律

1、第三章第三章 动量守恒定律动量守恒定律 能量守恒定律守恒律能量守恒定律守恒律3.2 动量守恒定律动量守恒定律3.3 动能定理动能定理3.4保守力与非保守力保守力与非保守力 势能势能3.5 功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律一、质点的动量定理一、质点的动量定理、动量的引入、动量的引入在牛顿力学中，物体的质量可视为常数在牛顿力学中，物体的质量可视为常数2112ttvmvmdtFdtvdmF故故 )( vmddtF即即力的瞬时效应力的瞬时效应力的积累效应力的积累效应动能定理力的空间积累动量定理力的时间积累加速度：牛顿定律加速度：牛顿定律dtvmd)(）式中）式中叫做动量，是物体运动量的量

2、度。叫做动量，是物体运动量的量度。vm）动量）动量 是矢量，方向与是矢量，方向与同；同；vmPv动量是相对量，与参照系的选择有关。动量是相对量，与参照系的选择有关。、冲量的概念、冲量的概念 ） 恒力的冲量恒力的冲量)(12ttFI ） 变力的冲量变力的冲量 dttFId 此时冲量的方向不能由某瞬时力的方向来决定。此时冲量的方向不能由某瞬时力的方向来决定。 指两个物体相互作用持续一段时间的过程中，在物体指两个物体相互作用持续一段时间的过程中，在物体间传递着的物理量。间传递着的物理量。力在某一段时间间隔内的冲量力在某一段时间间隔内的冲量 ttodtFI冲量的方向与力的方向相同。冲量的方向与力的方向

3、相同。 作用力作用力F F恒量，作用时间恒量，作用时间t t1 1t t2 2，力对质点的冲量，力对质点的冲量，1221vmvmdtFItt即即3 3、质点的动量定理、质点的动量定理在直角坐标系中的分量式在直角坐标系中的分量式zzttzzyyttyyxxttxxmvmvdtFImvmvdtFImvmvdtFI121212212121上式说明，“在给定的时间内，合外力作用在质点上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量”。这就是质点的动量定理。平均冲力概念平均冲力概念）峰值冲力的估算）峰值冲力的估算ff0tt + tt ） 当相互作用时间极短，相互间冲力极大，此时某些有限主当相互作用时间极短，相互间

4、冲力极大，此时某些有限主动外力（如重力等）可忽略不计。动外力（如重力等）可忽略不计。 、动量定理的应用、动量定理的应用tF1）当动量的变化是常量时，有）当动量的变化是常量时，有21121ttdtFttF1212ttvmvm 例例3.13.1：作用在质量为：作用在质量为1kg 1kg 的物体上的力的物体上的力 F=6t+3,F=6t+3,如果物体在如果物体在这一力的作用下，沿直线运动，则在这一力的作用下，沿直线运动，则在0 02.0s2.0s时间内，这个力作时间内，这个力作用在物体上的冲量用在物体上的冲量I=I= ； 2 2秒末物体的秒末物体的速度速度v=v= 。 21ttdtFI2036dti

5、tSNiitt.18023320vmI118118msiimIv知识点：冲量、动量的定义及动量定理。知识点：冲量、动量的定义及动量定理。tFIdvmppI过程量过程量状态量状态量冲量是动量的变化的原因及其量度。冲量是动量的变化的原因及其量度。选沿直线的单位矢量为：选沿直线的单位矢量为：i矢矢量量性性XYOBABvAv例例3.23.2：质量为：质量为m m的小球在向心力作用下，在水平面内做半径为的小球在向心力作用下，在水平面内做半径为R R、速率为速率为 v v 的匀速圆周运动，如图所示。小球自的匀速圆周运动，如图所示。小球自A A点逆时针运动点逆时针运动到到B B点的半圆内，动量的增量应为：点

6、的半圆内，动量的增量应为：（A A） （B B）（C C） （D D） jmv2jmv2imv2imv2答（答（B）动量的增量为动量的增量为12vmvmPjmvjmvABjmv2知识点：冲量、动量的定义、动量变化的概念及动量定理。知识点：冲量、动量的定义、动量变化的概念及动量定理。pI冲量是动量的变化的原因及其量度。冲量是动量的变化的原因及其量度。例例 3.3：一质量为一质量为0.05kg、速率为、速率为10ms-1的刚球的刚球,以与钢板法线呈以与钢板法线呈45角的方向撞击在钢板上角的方向撞击在钢板上,并以相同的速率和角度弹回来并以相同的速率和角度弹回来 .设碰撞设碰撞时间为时间为0.05s.

7、求在此时间内钢板所受到的平均冲力求在此时间内钢板所受到的平均冲力 .1vm2vmxy解解 建立如图坐标系建立如图坐标系, 由动量定理得由动量定理得cos2 vm0sinsinvvmmFN1 .14cos2tmFFxv方向沿方向沿 轴反向轴反向xxxxmmtF12vv)cos(cosvvmmyyymmtF12vv设第设第i 个质点受到系统外物体作用的合力为个质点受到系统外物体作用的合力为 ,受到系统内其它质点作用的合力为受到系统内其它质点作用的合力为 外iF内iF对每个质点应用动量定理：对每个质点应用动量定理： dtpdFF111内外dtpdFF222内外dtpdFFnnn内外累加各式得累加各式

8、得 dtpdFFiii内外二、质点系的动量定理二、质点系的动量定理 内力是成对出现的作用力与反作用力，所以内力是成对出现的作用力与反作用力，所以 0内iF1 1、质点系的动量定理、质点系的动量定理（微分形式）外 iiiPdtddtPdF系统所受外力的矢量和，等于系统总动量对时间的变化率。系统所受外力的矢量和，等于系统总动量对时间的变化率。 （积分形式）外 00 iittiPPdtF系统所受合外力的冲量，等于系统总动量的增量。系统所受合外力的冲量，等于系统总动量的增量。 内力可以改变一个质点的动量，但对系统总动量的改变无贡献。内力可以改变一个质点的动量，但对系统总动量的改变无贡献。系统所受合外力

9、的冲量在某一方向上的分量等于系统动量在该系统所受合外力的冲量在某一方向上的分量等于系统动量在该方向上分量的增量。方向上分量的增量。iiiiiiiiiiiiiiiiiiMrmtMmrmtmrmttrmppdddddddd质点系总动量：质点系总动量：xyz1r2rNr1m2mNmOcrC1、定义：质点系的质心位矢：、定义：质点系的质心位矢： iiicMrmr三、质点系的质心和质心运动定理三、质点系的质心和质心运动定理即：质心位矢是各质点位矢的即：质心位矢是各质点位矢的加权加权平均。平均。直角坐标系中，质心的位置：直角坐标系中，质心的位置：MzmzMymyMxmxNiiicNiiicNiiic 11

10、1;cciiVMrtMppdd质量连续分布的质点系质量连续分布的质点系oxzyM z ,y,xmdrVmdd Smdd lmdd 体分布体分布面分布面分布线分布线分布dm：宏观小，微观大宏观小，微观大MmzzMmyyMmxxccc dddMmrrc dcciiiiiiiiiiiMvdtrdMMrmtMrmttrmppdddddd由质点系的动量定理有：由质点系的动量定理有：cccaMtvMtvMtpFdddddd外2、质心运动定理、质心运动定理caMtpFdd外质心的运动等效于质心的运动等效于 质点质点位于位于质量质量受力受力crM外外F其运动与系统内质点之间的相互作用无关。其运动与系统内质点之

11、间的相互作用无关。说明说明 质心的运动只由质点系所受的合外力决定，内力对质心的质心的运动只由质点系所受的合外力决定，内力对质心的运动不产生影响。运动不产生影响。当当0合外合外F时，时，0ca常矢量常矢量cv内力不改变质心的运动状态。内力不改变质心的运动状态。质点系受的合外力在某个方向为零时，质点系受的合外力在某个方向为零时， 在该方向的投影等在该方向的投影等于恒矢量，该方向动量守恒。于恒矢量，该方向动量守恒。cv质心运动定理不能描述各质点的运动情况，每个质点的质心运动定理不能描述各质点的运动情况，每个质点的实际运动应是质心的运动和质点相对质心运动的叠加。实际运动应是质心的运动和质点相对质心运动

12、的叠加。质点系各质点由于内力和外力的作用，其运动情况可能质点系各质点由于内力和外力的作用，其运动情况可能很复杂，但质心的运动可能很简单。很复杂，但质心的运动可能很简单。 例例3.4： 人在跳跃时都本能地弯曲关节，以减轻与地面的撞击人在跳跃时都本能地弯曲关节，以减轻与地面的撞击力。力。 若有人双腿绷直地从高处跳向地面，将会发生什么情况？若有人双腿绷直地从高处跳向地面，将会发生什么情况？ 解解 设人的质量为设人的质量为M，从高，从高h 处跳向地面，落地的速率为处跳向地面，落地的速率为v0 ，与地面碰撞的时间为与地面碰撞的时间为t ，重心下移了，重心下移了s 。由由动量定理动量定理得：得：tpptt

13、tFFtt121221d设人落地后作设人落地后作匀减速运动匀减速运动到静止，则：到静止，则：02vst sMvF220 ghv220 shMgF 设人从设人从 2m 处跳下，重心下移处跳下，重心下移 1cm，则：，则：MgshMgF200 可能发生骨折。可能发生骨折。讨论讨论tMvF0asvv ,atvv22020设人的体重为设人的体重为70 kg70 kg，此时平均冲力：，此时平均冲力： (N) 1037. 12008 . 9705 F 解解 选取车厢和车厢里的煤选取车厢和车厢里的煤 m 和即将和即将落入车厢的煤落入车厢的煤 d m 为研究的系统。取水平为研究的系统。取水平向右为正。向右为正

14、。 t 时刻系统的水平总动量：时刻系统的水平总动量：mvmmv 0dt + dt 时刻系统的水平总动量时刻系统的水平总动量: vmmmvmv)d(d dt 时间内水平总动量的增量：时间内水平总动量的增量： mvmvv )mm(pddd由动量定理得：由动量定理得：mvptFddd )N(15003500dd vtmF 例例3.5 一辆装煤车以一辆装煤车以v = 3m/s 的速率从煤斗下面通过，每秒落的速率从煤斗下面通过，每秒落入车厢的煤为入车厢的煤为m = 500kg。如果使车厢的速率保持不变，应用。如果使车厢的速率保持不变，应用多大的牵引力拉车厢？多大的牵引力拉车厢？ （摩擦忽略不计（摩擦忽略

15、不计)vFmmd 例例3.6 一长为一长为L，密度分布不均匀的细棒，其质量线密度，密度分布不均匀的细棒，其质量线密度=0 x/L .0为常量，为常量，x从轻端算起，求其质心。从轻端算起，求其质心。解解 取坐标原点与轻端相重合，取坐标原点与轻端相重合，x轴沿棒长方向，如图，取质元轴沿棒长方向，如图，取质元0 xmdxLxxmddd0 mMd总总质质量量Mmxxcd棒棒的的质质心心LxLx00d L021 L32MxLxL002d 对质点系，由对质点系，由tpFdd 知，当知，当0F时时0 tpdd恒恒矢矢量量p恒矢量恒矢量iNiiNiivmp11动量守恒定律动量守恒定律应用动量守恒定律时应注意应

16、用动量守恒定律时应注意 0F时时,系统的动量守恒系统的动量守恒.并不意味着每个质点的动量不变并不意味着每个质点的动量不变， 在内力的作用下，每个质点一般均不断改变着其动量。但总的在内力的作用下，每个质点一般均不断改变着其动量。但总的动量和保持不变，即内力不改变总动量，这一结论与内力的性动量和保持不变，即内力不改变总动量，这一结论与内力的性质无关。质无关。 若外力与内力相比较小得多时，可认为近似满足动量守恒若外力与内力相比较小得多时，可认为近似满足动量守恒条件。例如碰撞、打击、爆炸等现象中重力和摩擦力等可忽条件。例如碰撞、打击、爆炸等现象中重力和摩擦力等可忽略不计略不计。当质点系所受的合外力为零

17、时，质点系的总动量就保持不变。当质点系所受的合外力为零时，质点系的总动量就保持不变。 3.2 动量守恒定律动量守恒定律 动量守恒定律由牛顿定律导出，但它比牛顿定律应用的范动量守恒定律由牛顿定律导出，但它比牛顿定律应用的范围更广泛。不仅适用于宏观现象而且适用于微观现象。围更广泛。不仅适用于宏观现象而且适用于微观现象。 动量和力是矢量，可沿坐标轴分解，当沿某坐标方向所受合动量和力是矢量，可沿坐标轴分解，当沿某坐标方向所受合外力为零时，总动量沿该方向的分量守恒。外力为零时，总动量沿该方向的分量守恒。 动量守恒定律只适用于惯性系。动量守恒定律只适用于惯性系。时，时，当当0 xFNixixipvm1常量

18、常量时，时，当当0yFNiyiyipvm1常量常量Nizizipvm1常量常量时，时，当当0zFu例例3.7：如图，在光滑水平面上停有质量为：如图，在光滑水平面上停有质量为M、长为、长为L的的平板车，一质量为平板车，一质量为m 的小孩从车上的一端由静止开始的小孩从车上的一端由静止开始走到车的另一端，求平板车在路面上移动的距离。走到车的另一端，求平板车在路面上移动的距离。解：以人和车为研究解：以人和车为研究系统，取地面为参照系统，取地面为参照系。水平方向系统动系。水平方向系统动量守恒。量守恒。xo Lx 设小孩相对于车的速度为设小孩相对于车的速度为 ，车相对于地面，车相对于地面的速度为的速度为

19、uumMmttudtmMmdt000)(umM0)(umMuxo Lx解之得解之得LmMmx与人的具体运动无关！设设t 时刻火箭的情况如图时刻火箭的情况如图(a)，t+ t 时刻火箭的情况如图时刻火箭的情况如图(b)，vMt则其动量为则其动量为 vM则其动量为则其动量为 )()(rvvmvvmMddd设外力为设外力为 （重力和阻力）（重力和阻力） 研究系统：火箭体研究系统：火箭体 + 燃料燃料 (a)(b)mdrvttd mM dvvd vr 是喷出的气体相对火箭的速度是喷出的气体相对火箭的速度. 外力F关于火箭运动问题的讨论（关于火箭运动问题的讨论（P5962)略去二阶无限小量略去二阶无限小

20、量 dmdv 得得 燃料火箭0M火箭自身质量M由动量定理由动量定理MvvvdmdvvdmMdtFr)()(外力dmvMdvdtFr外力)(dtdMvdtdvMdtdmvdtdvMFrr外力或或dtdvMdtdMvFr)(外力)(dtdMvr火箭的推力火箭的推力dtdMdtdm单位时间内的排气量单位时间内的排气量MgF外力)(MdMvgdtdvrMMrtvMMvtgv0ddd00gtMMr0lnvv（火箭的速度方程）（火箭的速度方程）讨论讨论(1) 若不考虑重力若不考虑重力MMr0lnvv 火箭的质量比火箭的质量比 NMM0MtvMM02 增大)(增大单级火箭的末速度有两种方法增大单级火箭的末速

21、度有两种方法: r)1(v增大增大考虑本身结构和必要的载荷，质量比增大有限制，通常考虑本身结构和必要的载荷，质量比增大有限制，通常单级之间在20100MM目前单级火箭从静止开始可获得的末速度目前单级火箭从静止开始可获得的末速度 最好情况最好情况km/s 11 v由于引力阻力等，由于引力阻力等，v v只有只有7 km/s7 km/s左右，小于第一宇宙速度左右，小于第一宇宙速度7.9km/s7.9km/s，所以单级火箭不能把人造地球卫星或其他航天器送入轨道所以单级火箭不能把人造地球卫星或其他航天器送入轨道. .(2) 多级火箭问题多级火箭问题11lnNrvv 212lnNrvvv)ln(21.NN

22、rvv 增大未速度必须用多级火箭增大未速度必须用多级火箭. . 多级火箭多级火箭由若干单级火箭串联形成由若干单级火箭串联形成. . ./大以很大，所以末速度很可不能很大，但其乘积却即每一次MM0由于技术上的原因，多级火箭一般是三级由于技术上的原因，多级火箭一般是三级. 资料：资料：长征三号（三级大型运载火箭）长征三号（三级大型运载火箭） 全长：全长：43.25m43.25m， 最大直径：最大直径：3.35m3.35m， 起飞质量：起飞质量：202202吨，起飞推力：吨，起飞推力：280280吨力。吨力。 3.3 动能定理动能定理cosdddsFrFA一、功（一、功（work）由由 所作的功所作

23、的功 ba babasFrFAAdcosdd1、外力对质点的功外力对质点的功元功元功： bababazzzyyyxxxzFyFxFAddd直角坐标系下：直角坐标系下：zFyFxFrFAzyxdddddOrrrd MrdabMFLbadsFA自然坐标系下：自然坐标系下：dsFdsnFFrdFAdn2、多个力作用时的功（对质点）、多个力作用时的功（对质点）rFFFrFAnd).(d 21 rFrFrFnd.dd21nAAA 21合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和。代数和。（1）功是功是标量标量（可正、可负、可为零）（可正、可负、可为零）（2）

24、功与路径有关，是过程的函数（功与路径有关，是过程的函数（过程量过程量）（3）功是力对空间的积累功是力对空间的积累（4）功的单位为焦耳功的单位为焦耳（J）说明说明barrdFdrFA极坐标系下：极坐标系下： rdFdrFerdedreFeFrdFAdrrrrOrrrdMrdabM F 1v2vds二、质点的动能定理二、质点的动能定理rFAdddsdd tvmvmvd sF d)(221dmv21222212121dd21mvmvmvAAvvba)(末态的状态量末态的状态量初态的状态量初态的状态量导致状态量导致状态量变化变化221mv1. 质点的动质点的动 能能标量标量 由于运动而具有的能量由于运

25、动而具有的能量 状态量状态量221mvEkkdE21222212121dd21mvmvmvAAvvba)(kakbEEA 2. 质点的质点的动能定理动能定理合外力对质点做的功等于该质点动能的增量合外力对质点做的功等于该质点动能的增量-质点的动能定理质点的动能定理功是动能变化的量度功是动能变化的量度外力作正功，质点动能增加外力作正功，质点动能增加 外力作负功，质点动能减少外力作负功，质点动能减少A为过程量，与过程有关，而为过程量，与过程有关，而Ek为状态量为状态量A与与v应对应同一惯性系应对应同一惯性系说明说明kEA d dd d kEA 动能定理的微分形式动能定理的微分形式动能定理的积分形式动

26、能定理的积分形式m0v证明：由证明：由牛顿第二定律牛顿第二定律：tvmfdd RvmN2 又由于又由于,Nf 故有：故有：tvmRvmdd2 即：即：tssvvRdddd21 svvdd 亦即：亦即：vvsRdd fN例例3.8、在光滑的水平桌面上平放有半圆在光滑的水平桌面上平放有半圆形屏障。质量为形屏障。质量为m的滑块以速度的滑块以速度v0 沿切线沿切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为数为，试证明：当滑块从屏障的另一端，试证明：当滑块从屏障的另一端滑出时，摩擦力所作的功为：滑出时，摩擦力所作的功为：)(121220 emv作定积分，得：作定积分，得

27、：vvRvvsR0d)d(0RRvv0ln即：即： evv0故：故： evv0由质点的由质点的动能定理动能定理得：得：2022121mvmvA )(2120220vevm )1(21220 emv13f12f3F2F1F3m2m1m21f31f23f32f质点系所有内力之和为零质点系所有内力之和为零321,FFF322331132112,ffffff 0内内f1、质点系、质点系 内力和外力：内力和外力：外力：外力：质点系以外的物体对系统的作用力称为外力。质点系以外的物体对系统的作用力称为外力。内力：内力：质点系内各质点之间的相互作用力称为内力。质点系内各质点之间的相互作用力称为内力。注意注意:

28、质点系中任意一个质点，例如第质点系中任意一个质点，例如第i个质点受的个质点受的系统内其它质点作用力的矢量和不一定为零系统内其它质点作用力的矢量和不一定为零 。 外外外外FfNii 1质点系内各质点受的外力的矢量和称为质点系质点系内各质点受的外力的矢量和称为质点系受的合外力，即受的合外力，即 三、质点系的动能定理：三、质点系的动能定理：含两个或两个以上的含两个或两个以上的质点质点的力学系统。的力学系统。 11111111BABArfrFdd12121112121kABEvmvm对对m1:2222222222222222121ddkABABABEvmvmrfrF对对m2:对各质点应用动能定理：对各

29、质点应用动能定理：两式相加，得：两式相加，得：112222112122112211BAkkBABABAEErfrfrFrFdddd2F1F1f2f1dr2dr1Bv2Bv1m2m1S2S1A2A2B1B1Av2Av即即kEAA内外2、质点系的动能定理：、质点系的动能定理：、2 个质点的系统：个质点的系统：分别对系统内的每个质点应用动能定理分别对系统内的每个质点应用动能定理 ：210121112121mmA220222222121mmA2022121nnnnnmmA 累加得累加得2022121iiiiimmA、n 个质点的系统：个质点的系统：kEAA内外 niiiniiivmvm12012212

30、1 所有外力对系统做的功与内力对系统做的功之和等所有外力对系统做的功与内力对系统做的功之和等于质点系总动能的增量。于质点系总动能的增量。4、内力内力能能改变改变系统的系统的总动能总动能， 但但不改变不改变系统的系统的总动量总动量。1、功是动能变化的量度。功为过程量，动能为状态量。、功是动能变化的量度。功为过程量，动能为状态量。2、动能是质点因运动而具有的做功本领。、动能是质点因运动而具有的做功本领。3、功与动能必须对应同一惯性系。、功与动能必须对应同一惯性系。说明说明kEAAddd内外kEAA内外质点系动能定理的微分形式质点系动能定理的微分形式质点系动能定理的积分形式质点系动能定理的积分形式讨

31、论：讨论：22121121rdfAdrdfAd212112122112221112rdfrdfrrdfrdfrdfAd)(设设f12与与f21是一对作用力反作用力是一对作用力反作用力、一对作用力所做功的代数和，等于一个质点所受力点乘其、一对作用力所做功的代数和，等于一个质点所受力点乘其相对于另一个质点的相对位移，可正可负。相对于另一个质点的相对位移，可正可负。、由于一对作用力的功只取决于两质点间的相对位移，因而、由于一对作用力的功只取决于两质点间的相对位移，因而与参考系的选择无关。与参考系的选择无关。，当组成质点系的各质点间可以有相对位移时，质点系内力，当组成质点系的各质点间可以有相对位移时，

32、质点系内力的总功一般不为零，且可正可负。的总功一般不为零，且可正可负。、当组成质点系的各质点间没有相对位移时，质点系内力的、当组成质点系的各质点间没有相对位移时，质点系内力的总功为零。总功为零。一对作用力反作用力的功一对作用力反作用力的功、两质点间的一对作用力和反作用力所做功之和等于其中一个两质点间的一对作用力和反作用力所做功之和等于其中一个质点受的力沿着该质点相对于另一质点所移动的路径所做的功。质点受的力沿着该质点相对于另一质点所移动的路径所做的功。例例3.9 3.9 一质量为一质量为m=1kgm=1kg的质点，在力的质点，在力 的作用下，由静止开始沿一轨迹方程为的作用下，由静止开始沿一轨迹

33、方程为 x x2 29y9y 的曲线从原的曲线从原点点o o（，）（，）运动到运动到（，）（，）点。试求质点运动到点。试求质点运动到点时点时的速度。的速度。jxixyF232解：根据功的定义解：根据功的定义将将x x2 29y9y 代入上式得代入上式得 )2792(30ydydxxAQ根据动能定理：根据动能定理： 21222121mvmvA01vmAv22JydydxrdFA0)(0dyFdxFyxQ)32(20dyxxydxQ16sm 1 弹簧弹力的功。弹簧弹力的功。解解 当物体处于当物体处于 x 处时所受的弹力为：处时所受的弹力为：kxF 物体由物体由 x a 移

34、动到移动到 x b 处处时弹性力所作的功为：时弹性力所作的功为： 21dxxxkxA22212121kxkx 由此可见由此可见：弹簧伸长时，弹力作负功；：弹簧伸长时，弹力作负功； 弹簧收缩时，弹力作正功。弹簧收缩时，弹力作正功。弹性力的功弹性力的功A的大小仅与始末状态有关，而与路径无关。的大小仅与始末状态有关，而与路径无关。一、几种常见力的功一、几种常见力的功mxFFxO3 3. .4 4保守力与非保守力保守力与非保守力 势能势能xFdxdWx2x1O2 2 重力的功重力的功 )(12 2121ddzzmgzmgAAzzPPyzOxgm1P2Pz1z2z作用于质点上的重力作用于质点上的重力 k

35、mgP 位移元位移元 kdzjdyidxrd mdzkdzjdyidxkmgrdPA)()(d在由在由P P1 1到到P P2 2的过程中重力做功为的过程中重力做功为: : 重力的功只与始、末位置有关，与具体路径无关。质点下降时重重力的功只与始、末位置有关，与具体路径无关。质点下降时重力作正功，质点上升时重力作负功。力作正功，质点上升时重力作负功。 3 万有引力的功。万有引力的功。 m m1 1 在在m m2 2的引力场沿其椭圆轨道的引力场沿其椭圆轨道由由ra移到移到r b 。求求引力对引力对m1 所作的功。所作的功。)(ddabrrrrrrmmGrrmmGAAbaba112102210解：解

36、：rermmGF2210Frrrd rdbr2m1marabrd讨论讨论 万有引力的功万有引力的功A的大小仅与始末状态有关的大小仅与始末状态有关,而与路径无关。而与路径无关。在不同的位置，其功的正负和数值不同，在在不同的位置，其功的正负和数值不同，在c,d点点A=0,在在f点附近作正功，在点附近作正功，在e点附近作负功。点附近作负功。轨道为圆形时，轨道为圆形时，A=0.cdferrmmGerderermmGrFArrdddd221022104 4 摩擦力的功摩擦力的功 vf 1P2P1L2L质量为质量为m m的质点，在固定的粗糙水平的质点，在固定的粗糙水平面上由初始位置面上由初始位置P P1

37、1沿某一路径沿某一路径L L1 1运动到运动到末位置末位置P P2 2，路径长度为，路径长度为s s，如图所示。，如图所示。由于摩擦力的方向总是与速度的由于摩擦力的方向总是与速度的方向相反。所以元功方向相反。所以元功sFdsFANNddddrFrFsFsFAANsNPP 0 dd21质点由质点由P P1 1点沿点沿L L1 1运动到运动到P P2 2点的过程中，摩擦力所做的功为点的过程中，摩擦力所做的功为: :摩擦力的功不仅与始、末位置有关，而且与具体的路径有关。摩擦力的功不仅与始、末位置有关，而且与具体的路径有关。 相对相对dsFdsFrdfAdNN2121一对滑动摩擦力的总功：一对滑动摩擦

38、力的总功：摩热Qd二、保守力与非保守力二、保守力与非保守力OxkFaxbxFrrrd rdbrMmarabrdOxyz),(zyxM)0 ,(000yxMgmrdm222121bakxkxA )11(0abrrMmGA mgzA 特点：功只与初、末位置有关，而与质点的具体路径无关特点：功只与初、末位置有关，而与质点的具体路径无关1、保守力：、保守力：作功只与物体的始末位置有关，而与路径无关作功只与物体的始末位置有关，而与路径无关 的力。例：重力、万有引力、弹性力、静电力等的力。例：重力、万有引力、弹性力、静电力等保守力的环流等于零。保守力的环流等于零。3、非保守力：力所做的功与路径有关，或力沿

39、闭合路径的、非保守力：力所做的功与路径有关，或力沿闭合路径的 功不为零。这种力为功不为零。这种力为非保守力非保守力。 如摩擦力、冲力、火箭的推动力等如摩擦力、冲力、火箭的推动力等2、保守力沿任何一闭合路径所作的功为零。保守力沿任何一闭合路径所作的功为零。0LrFd BDAACBLrFrFrFddd ADBACBrFrFdd0 ADCB BDAADBrFrFdd三、三、 势能势能从从上面的讨论上面的讨论得到，有关重力、万有引力、弹性力做功的公式分别为得到，有关重力、万有引力、弹性力做功的公式分别为21()Amgzmgz 121200bam mm mAGGrr )2121(2122kxkxA与始末

40、的位置坐标变化有关，而与路径无关与始末的位置坐标变化有关，而与路径无关 。保守力做功必然伴保守力做功必然伴随着能量的变化，而这种能量仅与位置坐标有关。我们把这种与随着能量的变化，而这种能量仅与位置坐标有关。我们把这种与位置坐标有关的能量称为势能：位置坐标有关的能量称为势能： pE积分路径是任意的。积分路径是任意的。质点从质点从 a点移到零势能点点移到零势能点 的过程中，保守力作的功。的过程中，保守力作的功。势能零点 aPrdFE重力势能为重力势能为 0pdzEmg zmgz万有引力势能为万有引力势能为 1212p002drm mm mEGrGrr 弹性势能为弹性势能为 02p1d2xEkx x

41、kx 只有保守力场才能引入势能的概念。只有保守力场才能引入势能的概念。 势能是属于整个系统的。势能是属于整个系统的。 势能只有相对的意义，在零势能点确定之后，势能只有相对的意义，在零势能点确定之后， 各点的势能才具有唯一的确定值。各点的势能才具有唯一的确定值。说明说明z势能曲线即：在保守力场中，质点即：在保守力场中，质点,的势能的减少等于质点保守力的势能的减少等于质点保守力F对对质点质点所做的功。所做的功。重力势能差、万有引力势能差和弹性势能差分别为重力势能差、万有引力势能差和弹性势能差分别为 2121p2p1d =()()zzAmg zmgzmgzEE 121212000p2p12d()ba

42、rrbam mm mm mAGrGGEErrr 212221p2p111d()()22xxAkx xkxkxEE 表述为表述为 p1p2pEEEA)(pddEAbaabaPbPardFrdFrdFrdFrdFEE b 势能零点势能零点势能零点势能零点rdFrdEP)()(),(dzFdyFdxFzyxdEzyxP若保持若保持y y，z z 不变，不变， 则则dydydzdz0 0同理同理yEFpyzEFpzxEFpx则则dxFdExpzypxdxdEF,)(四、保守力与势能梯度四、保守力与势能梯度kzEjyEixEkFjFiFFpppzyxppEEkzjyixF)(221)(kxkzjyixF

43、ikxF称作拉普拉斯算符式中kzjyix例：例：221kxEp弹求保守力函数求保守力函数 在保守力场中，质点在某点所受的保守力等于该点在保守力场中，质点在某点所受的保守力等于该点势能梯度矢量的负值。势能梯度矢量的负值。 3.5 功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律一、质点系的功能原理一、质点系的功能原理质点系的动能定理的微分形式和积分形式分别为质点系的动能定理的微分形式和积分形式分别为 kdddEAA内外kEAA 内内外外内力做的功包含保守内力所做的功和非保守内力所做的功，则内力做的功包含保守内力所做的功和非保守内力所做的功，则 kddddEAAA保守内非保守内外kEAAA 保保守守

44、内内非非保保守守内内外外而而 pddEA保守内pEA 保保守守内内则质点系的功能原理的微分形式和积分形式可以写成：则质点系的功能原理的微分形式和积分形式可以写成： EEEAAddddd非保守内外pkEEEAA非保守内外pkE表示动能和势能之和称为表示动能和势能之和称为机械能机械能。 系统机械能的增量等于外力和非保守内力对它做的功。系统机械能的增量等于外力和非保守内力对它做的功。 质点系的功能原理质点系的功能原理 质点系的功能原理与质点系的动能定理所含的物理内容一样，质点系的功能原理与质点系的动能定理所含的物理内容一样，但表达方式不同。它对于不同的惯性系也保持其形式不变。需但表达方式不同。它对于

45、不同的惯性系也保持其形式不变。需要指出的是要指出的是: :在动能定理中在动能定理中, ,功包括所有外力功和内力功。在功功包括所有外力功和内力功。在功能原理中的功能原理中的功, ,包括外力功和非保守内力功。决不能把保守内力包括外力功和非保守内力功。决不能把保守内力的功的功, ,在功能原理中计算在内在功能原理中计算在内, ,因为它已用势能的形式考虑在内。因为它已用势能的形式考虑在内。 说明说明二、机械能守恒定律二、机械能守恒定律0 pkEEEd dd dd d常常量量或或pkEEE只有只有每一微小过程中每一微小过程中外力作的功和非保守内力作的功之和为外力作的功和非保守内力作的功之和为零时，则此过程

46、中的机械能守恒。零时，则此过程中的机械能守恒。语言表述：如果一个系统所受的外力和非保守内力对它所作的总语言表述：如果一个系统所受的外力和非保守内力对它所作的总功功始终始终为零，或只有保守内力作功而其它内力和外力都不作功，为零，或只有保守内力作功而其它内力和外力都不作功，则系统各物体的动能和势能可以相互转换，但其和为一恒量。则系统各物体的动能和势能可以相互转换，但其和为一恒量。0dd非保内外当AApkEEd dd d或或 例例3.10、目前，天体物理学家预言有一类天体，其特征是目前，天体物理学家预言有一类天体，其特征是它的引力非常之大，以至包括光在内的任何物质都不能从它上它的引力非常之大，以至包

47、括光在内的任何物质都不能从它上面发射出来，这种天体被称为黑洞（面发射出来，这种天体被称为黑洞（black hole) )。若由于某种。若由于某种原因，太阳变成了一个黑洞，它的半径必须小于何值？原因，太阳变成了一个黑洞，它的半径必须小于何值？ 解解 由机械能守恒定律由机械能守恒定律22001122m Mm Mm vGm vGRr 02102 RmMGmvr0 v当当时时m要从要从M上逃逸，有：上逃逸，有：RMGv022 逃逸速度为逃逸速度为v与与m无关，与无关，与R,M有关有关.202cRMG 光也不能从此天体上逃逸出来，成为黑洞光也不能从此天体上逃逸出来，成为黑洞若一个质量若一个质量M的天体，只要半径的天体，只要半径R