物理竞赛复赛模拟卷及答案

1、物 理竞赛 复赛模拟卷7. 一平直的传送带以速度 v=2m/s 匀速运行，传送带把 A 点处的零件运送到 B 点处，A、B 两点之间相距 L=10m，从 A 点把零件轻轻地放到传送带上，经过时间 t=6s，能送到 B 点，如果提高传送带的运动速率，零件能较快地传送到 B 点，要让零件用最短的时间从 A1. 试证明：物体的相对论能量 E 与相对论动量 P 的量值之间有如下关系：1 72. 在用质子 (1P)轰击固定锂(3 Li) 靶的核反应中，（ 1）计算放出粒子的反应能。点传送到 B 点处，说明并计算传送带的运动速率至少应多大？如要把求得的速率再提高一倍，则零件传送时间为多少（2g / ）？1

2、0m s（2）如果质子能量为1 兆电子伏特，问在垂直质子束的方向观测到粒子的能量有多大？1 4 7有关原子核的质量如下： 1 H ，1.007825； 2 He，4.002603； Li3 ，7.015999.8. 一物体以某一初速度 v0 开始做匀减速直线运动直至停止，其总位移为s，当其位移为2/3s时，所用时间为t1；当其速度为1/3v0时，所用时间为t2，则t1、t2 有什么样的关系？3. 一个处于基态的氢原子与另一个静止的基态氢原子碰p29一根长为1m 具有小内截面的玻璃管，两端开口，一半埋在水中。在上端被覆盖后，把玻璃管提升起来并取出v撞。问可能发生非弹性碰撞的最小速度为多少？如 果

3、速度较大而产生光反射，且在原速度方向和反方向可以观察 到光。问这p1-27 kg ，电离能10p 3图51-21eV J 18E 13. 6 2 .18 10 。Dv0水面。问玻璃管内留下的水柱高度为多少。10 静止的原子核衰变成质量为m1,m2,m3 的三个裂1Bv03 O Ct 1片，它们的质量损为 m。若三裂片中每两片之间速度方向t2的夹角都是 120°，求每个裂片能量。图12-3111. 玻璃圆柱形容器的壁有一定的厚度，内装一种在紫外线照射下会发出绿色荧光的液t种光的频率与简正频率相差多少？氢原子的质量为1.67 ×A4. 如图11-136所示，光滑无底圆筒重 W，

4、内放两个重量均为G 的光滑球，圆筒半径 体，即液体中的每一点都可以成为绿色光源。已知玻璃对绿光的折射率为n1，液体对绿光为R，球半径为r，且 r<R<2r，试求圆筒发生倾倒的条件。的折射率为n2。当容器壁的内、外半径之比 r:R为多少时，在容器侧面能看到容器壁厚为5. 两个完全相同的木板，长均为L，重力均为G，彼此以零？光滑铰链A相连，并通过光滑铰链与竖直墙相连， 如图（甲）12. （1）用折射率为2 的透明物质做成内半径、外半径分别为 a、b 的空心球， b远大 rO所示。为使两木板达水平状态保持平衡，问应在何1O2于 a，内表面涂上能完全吸光的物质。问当一束平行光射向此球时被吸

5、收掉的光束 处施加外力？所施加的最小外力为多大？A B GL，G L，G横截面积为多大？（注意：被吸收掉的光束的横截面积，指的是原来光束的横截面6. 如图11-505所示，屋架由同在竖直面内的多A1 2积，不考虑透明物质的吸收和外表面的反射。）图33-114 所示是经过球心的截面 图11-136根无重杆绞接而成，各绞接点依次为1、2 9，其中绞接点 8、2、5、7、9 位于同一水平直线上，且 9 可以无摩擦地水平滑动。1（甲）F1图。（2）如果外半径 b趋于 a时，第（ 1）问中的答案还能成立？为什么？各绞接点间沿水平方向上的间距和沿竖直方向上的间距如图所示，绞接点 3 承受有竖直向下的压力

6、P/2，点 1 承受有竖直向下的压力 P，求绞接点3 和 4间杆的内力。8lp32P1 4 625 7lll9llG（乙）FxA'F1BG（丙）213. 真空中有一个半径为R 的均匀透明球，今有两束相距为2d(d R)对称地（即两光束与球的一条直径平行并且分别与其等距离）射到球上，试就球的折射率 n 的取值范围进行讨论ba图11-505（1）n 取何值时两束光一定在球内相交？（2）n 取何值时两束光一定在球外相交？4（2）设锂靶是静止的，根据动量守恒，可知，反应所产生的两个相同的粒子（ He2核），应沿入射质子的方向对称分开，如图51-21所示。（3）如果 n、d、R 均已给定，如何判

7、断此时两束光的交点是在球内还是在球外。14一点电荷 +q 和半径为a的接地导体的球心相距为h， 求空由动量守恒定律有间的电势分布。dO15电荷 q均匀分布在半球面 ACB上，球面的半径为R，CD为通矢量 p1 , p2 , p3 合成的三角形，两底角皆为，又因M 2 M ，因而有3d过半球顶点 C与球心 O的轴线，如图41-91。P、Q为CD轴线上 在 Oi点两侧，离 O点距离相等的两点，已知 P点的电势为Up，试求 Q 点的已知反应能 Q=17.35 兆电子伏特，且电势UQ。Q 其中 1E2 E E E 兆电子伏特，可得3 1 11. 试证明：物体的相对论能量 E 与相对论动量 P 的量值之

8、间有如下关系： =9.175（兆电子伏特）证明：E22 p c mc m c2 2 22即反应所生成的粒子其能量为9.175兆电子伏特。2 p c E2 2 2E读者可试为之，从02 E2E 入手证明它等于0p 。 2 c2 c2粒子飞出方向与入射质子的方向之间的夹角为，因此1 72. 在用质子 (1P)轰击固定锂(3 Li) 靶的核反应中，（ 1）计算放出粒子的反应能。2由于 P 2ME，得：（2）如果质子能量为1 兆电子伏特，问在垂直质子束的方向观测到粒子的能量有多大？代入反应能 Q 的定义式：1 4有关原子核的质量如下： 1 H ，1.007825； He 2 ，4.002603；将上式

9、中质量数改为质量比得7Li3 ，7.015999.解： （1）核反应方程如下：p2其中 A 1， A 4，代入上式：2 A1 3静质量 M 0动能 E0M M 3 M 21E E3 E21p3p1342E Q2cosE E所以 1 2E1由总质量和总能量守恒：图51-21所以 85 16由反应能 Q 的定义得：其中：17.35 （兆电子伏特）2 (1. 66 10 ) ( 2.997925 10 / )27 81u c 千克 米 秒24由此可知，在垂直于质子束的方向上观察到 He2 的能量近似就是 9.175 兆电子伏特。6931.5 10 兆电子伏特 =931.5 兆电子伏特 3. 一个处于

10、基态的氢原子与另一个静止的基态氢原子碰撞。问可能发生非弹性碰撞的选择两个小球作为研究对象，则在竖直方向上有最小速度为多少？如果速度较大而产生光反射，且在原速度方向和反方向可以观察到光。 N-2G=0 (1)问这种光的频率与简正频率相差多少？氢原子的质量为1.67 ×10-27kg，电离能以整体为研究对象，若翻倒必以 A为轴逆时针方向旋转，在临界态下对A 的力矩和为E 13. 6 2 .18 10 18 。eV J零。此时，系统受力情况为：两物体的重力，桌面对球支持力 N，筒的重力 W，它们对A1 1E1 E 2 ，第二激发能量为E2 E 2 .被氢原子吸解：处于基态的氢原子能量为1

11、2的力矩不为零，桌面对筒的支持力过A 点，力矩为零，故有M A 2R r Gr G 2R r WR 0 (2)N收的最小能量子为将 1 式代入 2 式有我们必须求出在碰撞中能量损失为以上数值的最小速度。如果碰撞是完全非弹性的，G R则碰撞中能量损失最大，碰撞后的速度将是.2 初动能和末动能之差为若该圆筒倾倒必须有 W 2 R r 。讨论：（1）从答案中可以看出，当 G 大 W 小， r 与 R 很接近，就容易倾倒，这也符合这个值应等于最小的能量子 重心高、支面小稳度就小的结论。因此（2）如果是一个有底圆筒，则在没有其他力推它的情况下，就绝不会倾倒。请同学们在非弹性碰撞后，两个原子的速度为想一想

12、，这是为什么？本题第二间的解答与多普勒效应有联系。对于比光速小很多的速度，相对速度之比给5. 两个完全相同的木板，长均为L，重力均为G，彼此以光滑铰链A相连，并通过光滑出频率相对变化的极好近似。故有铰链与竖直墙相连，如图11-245（甲）所示。为使两木板达水平状态保持平衡，问应在何两束光的频率按此比率稍小于或稍大于简正频率处施加外力？所施加的最小外力为多大？4. 如图11-136 所示，光滑无底圆筒重 W，内放两个重量均为G 的光滑球，圆筒半径为R，球半径为r，且 r<R<2r，试求圆筒发生倾倒的条件。rO1O2分析： 要使两板均处于平衡状态，外力只能作用在板 2 上，作用点应位于

13、铰链A与板 2的重心之间，以便使板 1的右端受到向上的作用力，方可使板 1也处于平衡状态。为使作用A B G力最小，外力应与木板垂直。分析： 如果对两个小球和无底圆筒分别隔离分析受力再图11-136解： 如图11-245（乙）、（丙）所示。为使板 1 达水平平衡状态，其右端 A应受到向列方程组，较复杂，采取整体法较好。解： 根据物体平衡条件，列出以下方程：上的 F1 作用， F1的施力物体是板 2 左端。根据力矩平衡条件有F L1G12L解之得F112GL，G L，G以整个屋架为对象，列各外力对支点 8 的力矩平衡方程，有1 2A（甲）PN9所以 2N9T F ' F隔离木板 2 ，其

14、左端受到 （与为作用力的反作用力）及重 1 1力 mg作用，为使板 2 呈水平且平衡，外力 F 的作用点应在 F1'和 G1F1N9 的方向竖直向上。又由整个屋架的受力平衡关系应有45T25图11-506的作用点之间。设F 作用点距 A为x，选F作用点 B为转轴，根据力G（乙）所以PN8 P N9 2P矩平衡条件有1F12将G代入上式得12G x G12LxFxBA'FG12N8 的方向竖直向上。假设将绞接点 5 6 7 9 15 47 、 、 、这部分从整个屋架中隔离出来，则这部分受到杆 、杆 、（丙）x解之得13L图11-245杆 36 的作用力，这几个作用力均沿与杆 15

15、平行的方向，设其以一个力 T 表示，则这个力 T也必与杆 15 方向平行。此外，这部分还受到杆 25的作用，设其为T25，显然 T25 的方向应板 2 所受合力应为0，有FF G132G沿水平方向；这部分还受到支持力 N9 的作用。这样，这部分就等效为受 T、T25 和 N9 三个力的作用而平衡。则表示此三力的矢量构成一个封闭三角形，由前述此三力的方向关系可点评： 本题着重领会由结果或效果反推原因的思想方法， F1和 F 的方向及作用点均由以确定，这一三角形只能是如图11-506所示的三角形，由此三角形可见，此方法推出。本题两次使用隔离法。杆 25对点 5 的作用力方向水平向左，可见杆 25

16、中的内力为张力。6. 如图11-505所示，屋架由同在竖直面内的多根无重杆绞接而成，各绞接点依次为 又假设取绞接点 8为研究对象，它受到支持力 N8 和杆 82对它的作用力 T82 和杆 81对它1、2 9，其中绞接点 8、2、5、7、9 位于同一水平直线上，且 9 可以无摩擦地水平滑 的作用力 T81，由于此三力平衡，则N8 与 T82 的合力必沿杆 81 的方向，可见应有动。各绞接点间沿水平方向上的间距和沿竖直方向上的间距如图所示，绞接点 3 承受有竖 且 T82 的方向应水平向右，即杆 82 的内力为张力。直向下的压力 P/2，点 1 承受有竖直向下的压力 P，求绞接点 3 和 4间杆的

17、内力。再假设取绞接点 2为研究对象，由以上分析知，其左、右两水平杆对它的作用力均为解： 由于点 9可沿水平方向无摩擦滑 p动，故屋架32在点 9处所受外力只可能沿竖直方向，设为N9。由于Pl1 4 6屋架所受外力 N9、P/2 和 P 均沿竖直方 向，则屋架拉力，其大小分别为P和 P/2。而另外只有杆 24能对点 2 提供水平方向的分力，则为使点 2在水平方向受力平衡，杆 24 作用于点 2 的力必沿由 2 指向点 4 的方向，进而为使点 2 在竖l在点 8 所受的外力也只可能沿竖直方向， 2设其为N9。98ll5 7llP245T24p2图11-505T12图11-507直方向上受力平衡，则

18、杆 12对点 2 的作用力必沿竖直向下的方向。零件在这有限的长度内一直是加速的，在此加速过程中得到的最大速度也就是传送带要使综合上述可得点 2 的受力如图11-507所示。由图知零件一直加速具有的最小速度，若传送带的速度再加大，也不能使零件运送的时间变短。故得T2422P反过来看，若是零件以一定的初速度滑上传送带，它在传送带上运动的时间有一个最大值和最小值，显然，最小值就是它在传送带一直是加速的，而最大值就是零件在传送带上一即杆 24 中的内力为张力，其大小为22P直是减速的，同样地，减速过程中对于传送带的速度也有一个临界值，当传送带小于这个临界值时，零件到达传送带另一端的时间不会变。这两个临

19、界值是值得注意的。最后以点 4为研究对象，它受到与之相连的三根杆的三个力的作用。此三力应互相平解： 零件的初速度为零，放在传送带上，受到传送带对它的滑动摩擦力，提供它作加衡。现以 T42、T47、T43 表示这三个力，由于 T42 的方向是确定的（杆 42的内力为张力，则速运动所需要的外力，即 f mg ma, a g 。若零件一直是加速，到达 B 点的速度为 T42 必沿由点 4 指向点 2 的方向），而 T47、T43 又只能沿对应杆的方向，则此三力只可能取如图11-508所示的方向。由点 4 在水平方向的受力平衡，应有T13v ttLv ，由题意可知 2t，所以 T47 T42由点 4

20、在竖直方向的平衡，应有45 4452L 2 10vt m / s 3.6m / s 2m / t 6s。=PT T4742显然这是不可能的，当零件与传送带的速度相等时，它们之间的滑动摩擦力消失，零图11-508即杆 43 P 中的内力为张力，大小为。7. 一平直的传送带以速度 v=2m/s 匀速运行，传送带把 A 点处的零件运送到 B 点处，2vLv 2 ata v件与传送带一起作匀速运动，由题意可知 ，代入数据后解得2a 1m / s 。 要使零件能较快地从 A 点到达 B 点，则零件在 A、B 之间应该一直加速，也就是零件A、B 两点之间相距 L=10m，从 A 点把零件轻轻地放到传送带上

21、，经过时间 t=6s，能送到 B点，如果提高传送带的运动速率，零件能较快地传送到 B 点，要让零件用最短的时间从 A到达 B 点时的速度 v v带Bm ，而点传送到 B 点处，说明并计算传送带的运动速率至少应多大？如要把求得的速率再提高一vBm 2 2 1 10 / 2 5 / ， v vBm 2 5m/ s aL m s m svBm 2 2 1 10 / 2 5 / ， v vBm 2 5m/ s带 。 2 10m / sg ）？倍，则零件传送时间为多少（分析： 零件在传递带上加速运动，当零件与传送带的速度相等时，就与传送带一起作tmin故最短的时间2LvBm2 5s匀速运动，这就说明了传

22、送带的速度大，它加速的时间长，由于传送带的长度一定，只要若传送带的速率提高一倍，则零件传送的时间不变，这是因为零件一直是加速的，由于物体在 t2时间内的位移为加速度和加速的距离一定，故运行的时间也就一定了，还是 2 5 s。8. 一物体以某一初速度 v0 开始做匀减速直线运动直至停止，其总位移为s，当其位移为s2 20v132av0224v09a89s（9）2/3s时，所用时间为t1；当其速度为1/3v0时，所用时间为t2，则t1、t2 有什么样的关系？ 解法一：设物体的加速度为a（大小），由速度公式得比较（ 3）、（ 4）式可知 S1 S2 ，因而其对应的时间应满足t1 t 。22v0t2有

23、 3a根据位移公式得（1）vv0Dt时，发生解法三： 根据题意作出物体的 v -t图像如图12-31所示，显然，当经过时间22 s3 。原因是，根据图中 ABC ADO，由此可知， ABC表示的位移的位移早已超过2v0s且 2a1v03Ot2BCt1At1 s9为8，即在 t2时间内发生的位移为9s，所以， t1 t2 。9一根长为1m具有小内截面的玻璃管，两端开口，一半埋在水中。在上端被覆盖后， 此两式联立得把玻璃管提升起来并取出水面。问玻璃管内留下的水柱高度为多少。2v0v0t 31解之得 a解： 埋入水中后，玻璃管中水柱为0.5m。取出水面时，有一小部分水流出。如留下的水柱高度为h，水管

24、内的空气压强可用玻意耳 -马略特定律算出：v0T因为该物体运动的总时间a，因此有 t1 T ，由此知 t1 只能取PP V0V1P0LL/ 2 A P0 h A 2 LLh（1）2v0v0 33t1 3a3v0a（2）式中 L=1m，A为玻璃管的截面。玻璃管外的压强等于玻璃管内水柱和空气的压强之和。比较（ 1）、（ 2）式可知 t1 t 2P02P L0Lhh g（2）解法二： 物体在 t1时间内的位移为其中3 / 310 kg m为水的密度。解此方程，得出 h 0.475m 47.5cm.这从物理上看是s123s可接受的数值。（3）10静止的原子核衰变成质量为m1,m2,m3 的三个裂片，它

25、们的质量损为 m。若三裂片 的折射率为n2。当容器壁的内、外半径之比 r:R为多少时，在容器侧面能看到容器壁厚为中每两片之间速度方向的夹角都是 120°，求每个裂片能量。零？解： 由题建立如下坐标系图（ 51-1）分析： 所谓“从容器侧面能看到容器壁厚为零”，是指眼在容器截面位置看到绿光从C 点处沿容器外壁的切线方向射出，即本题所描述为折射角为90°的临界折射，因为题中 2E mc 原子核衰变释放能量：由轴方向动量守恒得： P2 P3E121 12 2m m1 21 2 22m323ym 1 1 n n未给出 、 的大小关系，故需要分别讨论。 12 n n解： （1 ）当

26、时 1 2因为是要求 r : R的最小值，所以当 n1<n时，应考虑的是图233-104 中 ABCD这样一种临界情况，其中 BC 光线与容器内壁相i1AOn2n1图33-104DCB由能量守恒知：i2又由 y轴方向动量守恒得： P2 P3 2 P1120 120Ox切，CD 光线和容器外壁相切，即两次都是临界折射，此时应该有120设此时容器内壁半径为r0 ，在直角三角形 BCO 中， sin i2 r / R 。当 r r0时，C处不0 P1 P2 P32PEk又 2mm 3 3m 2 2可能发生临界折射，即不可能看到壁厚为零；当 r r0时，荧光液体中很多点发出的光都能在 C处发生临

27、界折射，所以只要满足图51-12 2 2P P P2 1 2 3mc2m 2m 2m 31 2即可看到壁厚为零。（2）当 n1=n 时222 mc m m m21 2 3P1m m m m m m 1 2 2 3 1 32 2P mc m m1 2 3Ek1 2 m m m m m mm 1 1 2 2 3 1 3此时荧光液体发出的光线将直线穿过容器内壁，只要在 CB 及其延长线上有发光体，即可看到壁厚为零，因此此时应满足的条件仍然是 r /R 1/ n1A BrE r10Oi2CD11. 玻璃圆柱形容器的壁有一定的厚度，内装一种在紫外线照射下会发出绿色荧光的液（3）当 n1>n 时2图

28、33-105体，即液体中的每一点都可以成为绿色光源。已知玻璃对绿光的折射率为n1，液体对绿光因为n1 >n ，所以荧光液体发出的光在容器内壁上不可能发生折射角为90 的临界折2分析：（1）如图33-115所示，不被 a球吸收的极限光线是与 a 球相切的光线AB，因此射，因此当 r r0时，所看到的壁厚不可能为零了，当r r时，应考虑的是图33-105 中02S R 。利用折射定律和被吸收掉的光束横截面积应该是以 R为半径的一个圆盘，面积为ABCD这样一种临界情况，其中 AB 光线的入射角为90°， BC光线的折射角为r1 ，此时应该有在直角三角形 OBE 中有 sin r OE

29、/ OB1相关几何关系式不难求出 R 而得解。（2）在 b趋于 a 的过程中，当 b 减小到一定程度时，入射到 b 球面上的所有光线折射后可能都会与 a 球面相交，此时如果 b 1 再度减小，则依据第（ ）问计算出的结果就不能成立。iCEA BrDR b a RiOF因为图33-104和图33-105 中的 i2 角是相同的，所以OE r ，即0解： （1）如图33-115所示， CO为穿过球心的光线，与图33-115 Rr0 n将 1代入，可得当 r / R 1/ n2CO 相距为R 的光线在 b 球面折射后折射光线AB 恰好与 a 球相切，则有由折射定律 sin i nsin r 时，可看

30、到容器壁厚为零。所以 R nbsin r 上面的讨论，图33-104和图33-105中 B 点和 C 点的位置都是任意的。故所得条件对眼的asin r又因为b， n 2i90bArB12. （1）用折射率为2 的透明物质做成内半径、外半径分别为 a、b 的空心球， b远大于 a，内表面涂上能完全吸光的物质。问当一束平行光射向所以 R na 2a22 a 。即被吸收掉的光束横截面积为Oa此球时被吸收掉的光束横截面积为多大？ （注意：被吸收掉的b（2）在 b趋于 a 达到一定程度时，从第（ 1）问的结果图33-116光束的横截面积，指的是原来光束的横截面积，不考虑透明a可知，当 b 减小到 b n

31、a 2a时，2 2 a 2b ，即入射到此空心球上的全部光线都将被吸物质的吸收和外表面的反射。）图33-114所示是经过球心的图33-114收掉，此时极限光线的入射角 i 90 ，而 R=b，如图33-116 所示。如果 b 再减小，则入射 截面图。到此空心球上的全部光线仍将被吸收掉，此时极限入射光线（即入 i 90（2）如果外半径 b趋于 a时，第（ 1）问中的答案还能成立？为什么？rb射角 i 90 ）的折射线并不与内球表面相切，所以被吸收光束截面积a图33-11722 a 的结论不再成立。被吸收光束截面积此时为为2 2 a 2b ，参见图33-117所示。13. 真空中有一个半径为R 的

32、均匀透明球，今有两束相距为2d(d R)对称地（即两光束 与球的一条直径平行并且分别与其等距离） 射到球上，试就球的折射率 n 的取值范围进行讨讨论：（1）本题第（ 1）问可以改为求经过空心球折射后的光束在球右边形成的出射光论 束的截面积大小是多少的问题。从左边平行入射到空心球的光束只有 AE 区域间的光线经外（1）n 取何值时两束光一定在球内相交？ 球面折射后能够从右半球折射出来，如图33-115所示。与 a球相切的光线AB 光 b 球于 D，dO过E点的光线入射角为90 ，因折射率为2 ，所以该折射光线的折射角为45 ，即折射光线（2）n 取何值时两束光一定在球外相交？di（3）如果 n、

33、d、R 均已给定，如何判断此时两束光的交点是 刚好交于 b 球于 F 点。设DOF ，D 到直线OF 的距离为R ，且 R b sin ，图33-1232S R 。由几何关系易知 2r r ，而出射光束截面积在球内还是在球外。分析：设当球的折射率为n0时，两束光刚好交于球面上，如图33-123 所示。令光线射即 a a2 arcsin arcsin( n) b b，所以可求出 S 。入球中时的入射角为i，折射角为r，则由图中的几何关系有又由折射定律有 （2）如果把问题改为空心球的内表面没有涂上吸光物质，而要求进入球内空心部分的由上两式解得 光束在球壳外的截面积大小是多少。因为距中心光线CO 越

34、远的光线，在两球面上的入射角又由图中的几何关系可以得到 越大，因此抓住经外球面折射后的光线在内球面上的入射角刚好等于光从介质进入空气的d临界角这条特殊光线来考虑，如图33-118 所示。设角为光由 R由上式可见，对于某一个确定的比值，为使两光线刚好交于球面，球的折射率有一AiB介质射入空气的临界角，在 ABO 中，有r个确定的值n n n 0 0 与之对应。这样，我们可以假想，若球的实际折射率 不等于时，则两光isin r sin( ) 1C D O， n n线进入球内时的情况与前面图示的情况有所不同，即两光线不是交于球面上。当 0a b nb又由 sini nsin r ，由图可知 AD b

35、sin i 。利用以上几个关时，两光线将比图示情况偏折得更厉害（图中角 r 将更小），两光线的交点必在球内；当图33-118系式可得 AD a，故所求射入球内空心部分的光束在球外的截面积S AD2 a2n n时，两光线将比图示情况偏折得少一些（图中的角 r 将大一些），两光线的交点必在0点评： 从本例的解答中可看出，正确分析和作出边界光线是解决问题的关键。边界光线球外。是随着具体问题的不同而改变的，要注意针对具体问题灵活把握。d若以 R作为一个变量来讨论上述问题，由于0dR1，故由此确定的 n0 的范围是点电荷 +q 与像电荷 q 在 P点的电势为由球面上 U=0，即 r=a处。 U=0，有2

36、 n0 。2上式含有参量 q 与 h ，因而问题化成能否找到两个参量 q 和 h ，使上式对于任意的d解： （1）当 n 2时，对于任何 R来说，都有 n n0 ，即不管球的半径和两光线间的距都能满足。两边平方离如何，两光线都必定在球内相交。q2 a h2 q ah h q a h q ah2 2 2 2 2 22 cos 2cosd（2）当 n 2时，对于任何 R来说，都有 n n0 ，即不管球的半径和两光线间的距离要使此式对任意 都成立，必须得出 q 和 hq如何，两光线都必定在球外相交。（3）对于任意给定的 n、R 和 d，则只需比较n 与 n0n0 2 2 12d2R的大小即可其中第一组解像电荷在球内，其对球外空间作用与感应电荷相同。第二组解像电荷就在 q处，其对球内空间作用与感应电荷相同（第二组解并非其他书上所说的毫无意义，这一