第14章LMI工具箱的应用

1、第第14章章LMI工具箱的应用工具箱的应用14.1 线性矩阵不等式的建立线性矩阵不等式的建立14.2 线性矩阵不等式求解器线性矩阵不等式求解器 LMI(linear matrix inequality)本来是指数学中的线性矩阵本来是指数学中的线性矩阵不等式，但近年来主要应用在控制理论中，广泛应用于解决系不等式，但近年来主要应用在控制理论中，广泛应用于解决系统与控制中的一系列问题。这些问题的解决一般是根据控制理统与控制中的一系列问题。这些问题的解决一般是根据控制理论建立线性矩阵不等式，然后再用论建立线性矩阵不等式，然后再用Matlab中的中的LMI工具箱求解工具箱求解（LMI工具箱中的函数一般只

2、能处理固定形式的线性矩阵不等工具箱中的函数一般只能处理固定形式的线性矩阵不等式）。因此，式）。因此，LMI既可以指线性矩阵不等式，更多是是指既可以指线性矩阵不等式，更多是是指Matlab中的中的LMI工具箱。工具箱。 随着解决线随着解决线LMI内点法的提出以及内点法的提出以及Matlab中中LMI控制工具控制工具箱的推广，箱的推广，LMI这一工具已经受到人重视。这一工具已经受到人重视。LMI控制工具箱已经控制工具箱已经成为了从控制工程到系统识别设计和结构设计等诸多领域的一成为了从控制工程到系统识别设计和结构设计等诸多领域的一个强大的设计工具。由于许多控制问题都可以转化为一个个强大的设计工具。由

3、于许多控制问题都可以转化为一个LMI系统的可行性问题，或者是一个具有系统的可行性问题，或者是一个具有LMI约束大的凸优化问题，约束大的凸优化问题，应用应用LMI来解决系统和控制问题已经成为这些领域中的一大研来解决系统和控制问题已经成为这些领域中的一大研究热点。究热点。 LMI控制工具箱，采用内点法的控制工具箱，采用内点法的LMI求解器，这些求解器比求解器，这些求解器比经典的凸优化算法速度有了显著提高。另方方面，它采用了有经典的凸优化算法速度有了显著提高。另方方面，它采用了有效的效的LMI结构化表示，在求解和计算领域做出了重大贡献。结构化表示，在求解和计算领域做出了重大贡献。 一个线性矩阵不等式

4、就是具有以下一般形式的矩阵不等式：一个线性矩阵不等式就是具有以下一般形式的矩阵不等式： （1）其中：其中： 是给定的对称常数矩阵。是给定的对称常数矩阵。 是未知的是未知的决策变量决策变量 。 但是，线性矩阵不等式更通常的一般形式为：但是，线性矩阵不等式更通常的一般形式为： 通过适当的代数运算，上式可变为（通过适当的代数运算，上式可变为（1）式。）式。0)(110NNLxLxLXLNLLL,10Nxx,1),(),(11nnxxRxxL 14.1 线性矩阵不等式的建立线性矩阵不等式的建立1）setlmis和和getlmis 一个线性矩阵不等式系统的描述以一个线性矩阵不等式系统的描述以setlmi

5、s开始，以开始，以getlmis结束。结束。 当要建立一个新系统时，输入：当要建立一个新系统时，输入： Setlmis 当一个线性矩阵不等式系统建好后，输入：当一个线性矩阵不等式系统建好后，输入： lmisys= getlmis2）lmivar 用来描述矩阵变量，主要是描述该变量的结构，形式如下：用来描述矩阵变量，主要是描述该变量的结构，形式如下： X=lmivar(type,struct) Type=1: 描述的描述的X变量具有对称结构。变量具有对称结构。 Type=2: 描述的描述的X变量具有长方结构。变量具有长方结构。 例如：例如： X1=lmivar(1,3 1)描述的是描述的是X1变

6、量为变量为3X3的对称矩阵。的对称矩阵。 X2=lmivar(2,2 1)描述的是描述的是X2变量为变量为2X1的长方矩阵。的长方矩阵。3）lmiterm 当定义好矩阵变量的结构之后，用当定义好矩阵变量的结构之后，用lmiterm定义一个线性矩定义一个线性矩阵不等式的内容。阵不等式的内容。 考虑以下实例：假设考虑以下实例：假设X是对称变量，是对称变量，G、S是对称正定矩阵是对称正定矩阵变量，变量，Y适当维数的变量矩阵，其余均为给定的常量。适当维数的变量矩阵，其余均为给定的常量。ISICGYXBCYBXXAXA000lmiterm(1 1 1 X,1,A,s)lmiterm(1 1 2 X,B,

7、1)lmiterm(1 1 2 -Y,1,1)lmiterm(1 1 3 0,C)lmiterm(1 2 2 G,-1,1)lmiterm(1 2 3 0,0)lmiterm(1 3 2 0,1)lmiterm(2 1 1 0,1)lmiterm(-2 1 1 S,1,1)或者采取以下方法：或者采取以下方法：ISICGYXBCYBXXAXA000FF=newlmilmiterm(FF 1 1 X,1,A,s)lmiterm(FF 1 2 X,B,1)lmiterm(FF 1 2 -Y,1,1)lmiterm(FF 1 3 0,C)lmiterm(FF 2 2 G,-1,1)lmiterm(FF

8、 2 3 0,0)lmiterm(FF 3 2 0,1)Fg=newlmilmiterm(Fg 1 1 0,1)lmiterm(-Fg 1 1 S,1,1)ISICGYXBCYBXXAXA000 14.2 线性矩阵不等式求解器线性矩阵不等式求解器1）可行性问题）可行性问题 寻找变量矩阵寻找变量矩阵 ，使得满足线性矩阵不等式系，使得满足线性矩阵不等式系统：统： 采用求解器采用求解器feasp。其一般的表达式为：。其一般的表达式为： tmin,xfeas=feasp(lmisys,option,target) 该求解器实际上是通过求解如下的一个辅助凸优化问题的可该求解器实际上是通过求解如下的一个辅

9、助凸优化问题的可行解：行解： 如果在求解过程中，存在如果在求解过程中，存在tmin0，则系统，则系统lmisys是可行的。是可行的。当系统是可行的，求解器当系统是可行的，求解器feasp输出的第二个分量输出的第二个分量xfeas给出了给出了该矩阵不等式系统变量的解。该解可用该矩阵不等式系统变量的解。该解可用dec2mat提取得到。提取得到。,1nXXx)()(xBxAtIxBxAtst)()(. .min 求解器输入量求解器输入量options是一个是一个5维的向量，控制迭代过程的维的向量，控制迭代过程的迭代次数、可行域的半径、精度等。一般可不写，取默认值。迭代次数、可行域的半径、精度等。一般

10、可不写，取默认值。 输入量输入量target为为tmin设置了目标值，只要设置了目标值，只要tmintarget，则，则迭代计算结束。迭代计算结束。例：求满足例：求满足 的对称矩阵的对称矩阵 ，使得：，使得：IP P,0 . 27 . 09 . 04 . 1,7 . 23 . 15 . 18 . 0,3121000321332211AAAPAPAPAPAPAPA其中：clcclearA1=-1 2;1 -3;A2=-0.8 1.5;1.3 -2.7;A3=-1.4 0.9;0.7 -2.0;setlmis();P=lmivar(1,2,1);BR=newlmi;lmiterm(BR 1 1 P

11、,1,A1,s);BR=newlmi;lmiterm(BR 1 1 P,1,A2,s);BR=newlmi;lmiterm(BR 1 1 P,1,A3,s);BR=newlmi;lmiterm(BR 1 1 0,1);lmiterm(-BR 1 1 P,1,1);lmisys=getlmis;tmin,xfeas=feasp(lmisys);P=dec2mat(lmisys,xfeas,P) 结果：结果： Solver for LMI feasibility problems L(x) R(x) This solver minimizes t subject to L(x) R(x) + t*

12、I The best value of t should be negative for feasibility Iteration : Best value of t so far 1 0.972718 2 0.870460 3 -3.136305 Result: best value of t: -3.136305 f-radius saturation: 0.000% of R = 1.00e+009 P = 270.8553 126.3999 126.3999 155.1336 2）具有线性矩阵不等式约束的线性目标函数的最小化问题）具有线性矩阵不等式约束的线性目标函数的最小化问题 相应

13、的求解器是相应的求解器是mincx，其一般形式为：，其一般形式为： copt,xopt=mincx(lmisys,c,options,xinit,target) 返回目标函数返回目标函数cTx的最优解的最优解copt和决策变量的最优解和决策变量的最优解xopt。而最优解而最优解xopt可以从可以从dec2mat中得到。中得到。 cTxbcdef。求求Trace(X)相当于相当于a+c+f，因此，因此c=1 0 1 0 0 1。fecdbaX*lmisys=getlmis;options=1e-5,0,0,0,0;copt,xopt=mincx(lmisys,c,options);X=dec2m

14、at(lmisys,xopt,X)coptxoptX = -6.3542 -5.8895 2.2046 -5.8895 -6.2855 2.2201 2.2046 2.2201 -6.0771 copt = -18.7167xopt = -6.3542 -5.8895 -6.2855 2.2046 2.2201 -6.0771 3)广义特征值的最小化问题广义特征值的最小化问题 相应的求解器为相应的求解器为gevp。其一般表达式如下：。其一般表达式如下：Lopt,xopt=gevp(lmisys,nlfc,options,linit,xinit,target) nlcf表示含表示含 不等式的个数

15、，必须写正确。不等式的个数，必须写正确。 target时，迭代结束。时，迭代结束。)()()(0)()(. .minxBxAxBxDxCtsx 在调用在调用gevp时，必须遵循：时，必须遵循：（1）确定包含）确定包含 的线性矩阵不等式：的线性矩阵不等式： （注意没有（注意没有 ）（2）总是把）总是把 放在线性矩阵不等式系统的最后。放在线性矩阵不等式系统的最后。（3）要求）要求 。)()(xBxA)()(xBxA)(0 xB 例：例：,0 . 27 . 09 . 04 . 1,7 . 23 . 15 . 18 . 0,3121. .min321332211AAAPPAPAPPAPAPPAPAPI

16、ts其中：clcclearA1=-1 2;1 -3;A2=-0.8 1.5;1.3 -2.7;A3=-1.4 0.9;0.7 -2.0;setlmis();P=lmivar(1,2,1);BR=newlmi;lmiterm(BR 1 1 0,1);lmiterm(-BR 1 1 P,1,1); BR=newlmi;lmiterm(BR 1 1 P,1,A1,s);lmiterm(-BR 1 1 P,1,1);BR=newlmi;lmiterm(BR 1 1 P,1,A2,s);lmiterm(-BR 1 1 P,1,1);BR=newlmi;lmiterm(BR 1 1 P,1,A3,s);l

17、miterm(-BR 1 1 P,1,1);lmisys=getlmis;alpha,xopt=gevp(lmisys,3);alphaP=dec2mat(lmisys,xopt,P)结果：结果：Result: feasible solution of required accuracy best value of t: -0.122107 guaranteed absolute accuracy: 9.90e-004 f-radius saturation: 0.000% of R = 1.00e+008 alpha = -0.1221P = 5.5789 -8.3503 -8.3503 1

18、8.6443例：求解系列各参数矩阵以及参数的最小值：例：求解系列各参数矩阵以及参数的最小值：1 . 0001 . 0,1 . 00,1 . 001000)(0)()2(0, 0, 0,. .minCBARBMCXAXBMRXBMXCQXCXAXBMCXRXQAXXARQXMtsclcclearA=0 1;0 -0.1;B=0;0.1;C=-0.1 0;0 -0.1;setlmis();X=lmivar(1,2,1);Q=lmivar(1,2,1);R=lmivar(1,2,1);M=lmivar(2,1,2);lmiterm(-1 1 1 X,1,1);lmiterm(-2 1 1 Q,1,1);lmiterm(-3 1 1 R,1,1);lmiterm(-4 1 1 X,-1,A,s);lmiter