数字电子技术-- 数制和码制

1、第一章第一章 数码和码制数码和码制 本章首先介绍有关数制和码制的一些基本概念本章首先介绍有关数制和码制的一些基本概念和术语，然后给出数字电路中常用的数制和编码。此和术语，然后给出数字电路中常用的数制和编码。此外，还将具体讲述不同数制之间的转化方法和二进制外，还将具体讲述不同数制之间的转化方法和二进制数算术运算的原理和方法。数算术运算的原理和方法。本章内容本章内容1.1几种常用的数制几种常用的数制1.2不同数制间的转换不同数制间的转换1.3 二进制算数运算二进制算数运算1.4几种常用的编码几种常用的编码数制：就是数的表示方法，把多位数码中每一位的构成数制：就是数的表示方法，把多位数码中每一位的构

2、成方法以及按从低位到高位的进位规则进行计数称为进位方法以及按从低位到高位的进位规则进行计数称为进位计数制，简称数制计数制，简称数制 最常用的是十进制，除此之外在数字电路和计算最常用的是十进制，除此之外在数字电路和计算机中常用的是二进制、八进制和十六进制机中常用的是二进制、八进制和十六进制一、一、 十进制十进制 进位规则是进位规则是。任意一个。任意一个n位整数、位整数、m位小数的十进制可表示为位小数的十进制可表示为1110111021101010101010)(nmiiimmonnmnnkkkkkkkkkkD称为数制的系数，表示第称为数制的系数，表示第i位的系数，十进制位的系数，十进制的取值为的

3、取值为0 9十个数，十个数， i 取值从取值从 （n1）0的所的所有正整数到有正整数到1m的所有负整数的所有负整数10 i表示第表示第i位的权值，位的权值，10为基数，即采用数码的为基数，即采用数码的个数个数n、m为正整数，为正整数， n为整数部分的位数，为整数部分的位数， m为小为小数部分的位数数部分的位数1110111021101010101010)(nmiiimmonnmnnkkkkkkkkkkD例如：例如：(249.56)102102 4101 9100 + 5101 2102其中其中n3，m2若用若用N表示任意进制（称为表示任意进制（称为N进制）的基数，则展成十进制）的基数，则展成十

4、进制数的通式为进制数的通式为1110111021nmiiimmonnmnnNNkNkNkNkNkkkkkkD)(如如N10为十进制，为十进制，N2为二进制，为二进制，N8为八进制，为八进制， N16为十六进制。其中为十六进制。其中N为基数，为基数， 为第为第i位的系数，位的系数， N i表示第表示第i位的权值位的权值二、二进制：二、二进制：其中其中2i为二进制的权，基数为为二进制的权，基数为2 n、m为正整数为正整数如（如（11011.101)2=124 +123 +022 +121 +120 +121+02-2 +123 =（27.625)101110111021222222nmiiimmo

5、nnmnnkkkkkkkkkkD)( 进位规则是进位规则是任意一个任意一个n位整数、位整数、m位小数的二进制可表示为位小数的二进制可表示为 一个数码的进制表示，可用下标，如（一个数码的进制表示，可用下标，如（N）2表示表示二进制；二进制； （N）10表示十进制；表示十进制； （N）8表示八进制，表示八进制， （N）16表示十六进制表示十六进制 有时也用字母做下标，如（有时也用字母做下标，如（N）B表示二进制，表示二进制，BBinary；（；（N）D表示十进制，表示十进制，DDecimal；（；（N）O表表示八进制，示八进制，OOctal；（；（N）H 表示十六进制，表示十六进制，HHexade

6、cimal；三、八进制三、八进制 进位规则是进位规则是任意一个任意一个n位整数、位整数、m位小数的八进制可表示为位小数的八进制可表示为1110111021888888nmiiimmonnmnnkkkkkkkkkkN)(8i为八进制的权，基数为为八进制的权，基数为8 n、m为正整数为正整数如（如（13.74)8=181+380 +781+48-2 =（11.9375)10其中其中1110111021888888nmiiimmonnmnnkkkkkkkkkkN)(四、十六进制四、十六进制 进位规则是进位规则是任意一任意一个个n位整数、位整数、m位小数的十六进制可表示为位小数的十六进制可表示为111

7、0111021161616161616nmiiimmonnmnnkkkkkkkkkkN)(1110111021161616161616nmiiimmonnmnnkkkkkkkkkkN)(16 i为十六进制的权，基数为为十六进制的权，基数为16 n、m为正整数为正整数如（如（F9.1A)16=15161+9160 +1161+1016-2 = （249.1015625)10其中其中目前在计算机上常用的是目前在计算机上常用的是8位、位、16位和位和32位二进制数表位二进制数表示和计算，由于示和计算，由于8位、位、16位和位和32位二进制数都可以用位二进制数都可以用2位、位、4位和位和8位十六进制数

8、表示，故在编程时用十六进制书写位十六进制数表示，故在编程时用十六进制书写非常方便非常方便DBOHDBOH000000008100010810001011910011192001002210101012A3001103311101113B4010004412110014C5010105513110115D6011006614111016E7011107715111117F表表1.1.1表表1.1.1为为015个数码的不同进制表示。个数码的不同进制表示。1.2 不同数制间的转换不同数制间的转换一、一、 二进制数、八进制数和十六进制数转换成十进制数二进制数、八进制数和十六进制数转换成十进制数数制转换

9、：不同进制的数码之间的转换叫做数制转换数制转换：不同进制的数码之间的转换叫做数制转换1110111021nmiiimmonnmnnNNkNkNkNkNkkkkkkD)(例如：例如：DB).(.).(752725050128162121212120212111110112101234 即将二进制数、八进制数和十六进制数转换成十即将二进制数、八进制数和十六进制数转换成十进制数，方法是将二进制数、八进制数和十六进制数进制数，方法是将二进制数、八进制数和十六进制数按下列公式进行展开即可按下列公式进行展开即可a. 十进制的整数转换：十进制的整数转换：DO).(.).(641260156250625065

10、66481858687815117621012二、十进制数转换成二进制数：二、十进制数转换成二进制数：D).(.)EC.AF(2H816880546875075015160512161416121615161016221012 将十进制的整数部分用基数将十进制的整数部分用基数2去除，保留余数，再去除，保留余数，再用商除用商除2，依次下去，直到商为，依次下去，直到商为0为止，其余数即为对为止，其余数即为对应的二进制数的整数部分应的二进制数的整数部分 即将十进制数转换成二进制数，原则是即将十进制数转换成二进制数，原则是“整数除整数除2，小数乘小数乘2”b. 十进制的小数转换十进制的小数转换 将小数

11、用基数将小数用基数2去乘，保留积的整数，再用积的小数去乘，保留积的整数，再用积的小数继续乘继续乘2，依次下去，直到乘积是，依次下去，直到乘积是0为或达到要求的精度，为或达到要求的精度，其积的整数部分即为对应的二进制数的小数部分其积的整数部分即为对应的二进制数的小数部分例例1.2.1 将（将（173.39)D转化成二进制数转化成二进制数,要求精度为要求精度为1%。a. 整数部分整数部分1731732 22 286861 10 02 243431 121211 12 210102 20 02 25 52 22 21 11 11 10 02 20 0)(0k)(1k)(2k)(3k)(4k)(5k)

12、(6k)(7k解：其过程如下解：其过程如下即即(173)D=(10101101) Bb. 小数部分小数部分由于精度要求为由于精度要求为1，故应该令，故应该令%12m取对数，可得取对数，可得210%12m1002m2100lg2lg1010m6 . 6m取取m7 满足精度要求，过程如下满足精度要求，过程如下0.392=0.780.392=0.780.782=1.560.782=1.56010.562=1.120.562=1.1210.122=0.240.122=0.2400.242=0.480.242=0.4800.482=0.960.482=0.9600.962=1.920.962=1.921

13、)(1k)(2k)(3k)(4k)(5k)(6k)(7k即即(0.39)D=(0.0110001) B故（故（173.39)D =(10101101.0110001)B三、三、 二进制转换成八进制和十六进制二进制转换成八进制和十六进制方法：由于方法：由于3位二进制数可以有位二进制数可以有8个状态，个状态，000111，正，正好是好是8进制，而进制，而4位二进制数可以有位二进制数可以有16个状态，个状态，00001111，正好是，正好是16进制，进制，依此类推，对于十进制转换成其它进制，只要把基数依此类推，对于十进制转换成其它进制，只要把基数2换成其它进制的基数即可。换成其它进制的基数即可。若将

14、八进制或十六进制转换成二进制，若将八进制或十六进制转换成二进制，即按三位或四位转成二进制数展开即可。即按三位或四位转成二进制数展开即可。解：解：（1011110.1011001) B（001 011 110.101 100 100) 2 (136.544) O（1011110.1011001) B(0101 1110.1011 0010) 2 (5E.B2)H例例1.2.2 将（将（1011110.1011001) 2转换成八进制和十六进转换成八进制和十六进制。制。解：解：例例1.2.3 将（将（703.65)O 和（和（9F12.04A)H 转换成二进制数转换成二进制数（703.65)O（1

15、11000011.110101)B（9F12.04A)H=(1001111100010010.00000100101)B例例1.2.4 将将(87)D 转换成八进制数和十六进制数转换成八进制数和十六进制数解：先将解：先将87转化成二进制，过程如图转化成二进制，过程如图,则则2 287871 12 243431 121211 12 210102 20 02 25 52 22 21 11 11 10 02 20 0)(0k)(1k)(2k)(3k)(4k)(5k)(6k(87)D（1010111)B=（001 010 111)B (0101 0111)B= (127) O =(57)H若要将十进制

16、转换成八进制或若要将十进制转换成八进制或16进制，可先转换成二进制，再分组，转换进制，可先转换成二进制，再分组，转换成八进制或十六进制。成八进制或十六进制。1.3.1. 二进制算术运算的特点二进制算术运算的特点 当两个二进制数码表示两个数量的大小，并且这两当两个二进制数码表示两个数量的大小，并且这两个数进行数值运算，这种运算称为个数进行数值运算，这种运算称为。其规则是。其规则是“逢二进一逢二进一”、“借一当二借一当二”。算术运算包括。算术运算包括“加减乘加减乘除除”，但减、乘、除最终都可以化为带符号的加法运算。，但减、乘、除最终都可以化为带符号的加法运算。如两个数如两个数1001和和0101的

17、算术运算如下的算术运算如下1001100101010101+ +111011101001100101010101- -010001001001100101010101100110010000000010011001000000000101101010110110011001010101011 10101010110001000. 1 1010101010110011001010101001000101 11.3.2 反码、补码和补码运算反码、补码和补码运算 在用二进制数码表示一个数值时，其正负是怎么区在用二进制数码表示一个数值时，其正负是怎么区别的呢？二进制数的正负数值的表述是在二进制数码别的

18、呢？二进制数的正负数值的表述是在二进制数码前加一位前加一位符号位符号位，用，用“0”表示正数，用表示正数，用“1”表示负数，表示负数，这种带符号位的二进制数码称为原码。这种带符号位的二进制数码称为原码。一、原码：一、原码：例如：例如：17的原码为的原码为010001，17的原码的原码为为110001二、反码二、反码反码是为了在求补码时不做减法运算。二进制的反码反码是为了在求补码时不做减法运算。二进制的反码求法是：求法是：正数的反码与原码相同，负数的原码除正数的反码与原码相同，负数的原码除了符号位外的数值部分按位取反，即了符号位外的数值部分按位取反，即“1”改为改为“0”，“0”改为改为“0”，

19、例如例如7和和7的原码和补码为：的原码和补码为：7的的原码为原码为0 111，反码为，反码为0 1117的的原码为原码为1 111，反码为，反码为1 000注：注：0的反码有两种表示，的反码有两种表示，0的反码为的反码为0 000，0的反码为的反码为1 111三、补码：三、补码：1.模（模数）的概念：模（模数）的概念： 把一个事物的循环周期的长度，叫做这个事件的把一个事物的循环周期的长度，叫做这个事件的模或模数。模或模数。 当做二进制减法时，可利用补码将减法运算转换成当做二进制减法时，可利用补码将减法运算转换成加法运算。在将补码之前先介绍模（或模数）的概念加法运算。在将补码之前先介绍模（或模数

20、）的概念如一年如一年365天，其模数为天，其模数为365；钟表是以；钟表是以12为一循环计为一循环计数的，故模数为数的，故模数为12。十进制计数就是。十进制计数就是10个数码个数码09，的循环，故模为的循环，故模为10。以表为例来介绍补码运算的原理：对于图以表为例来介绍补码运算的原理：对于图1.4.1所示的所示的钟表钟表12126 63 39 91 12 24 45 57 78 81010111110+7-12=510+7-12=510-5=510-5=5图1.4.1 补码的原理图1.4.1 补码的原理 当在当在5点时发现表停在点时发现表停在10点，若想拨回有两种方法：点，若想拨回有两种方法：

21、a.逆时针拨逆时针拨5个格，即个格，即 1055，这是做减法。，这是做减法。b.顺时针拨七个格，即顺时针拨七个格，即 10717，由于模是，由于模是12，故故1相当于进位相当于进位12，1溢出，溢出，故为故为7格，也是格，也是17125，这是做加法。这是做加法。 由此可见由此可见107和和105的效果是一样的，而的效果是一样的，而5712，将故，将故7称为称为5的补数，的补数，即补码，也可以说减法可以即补码，也可以说减法可以由补码的加法来代替由补码的加法来代替12126 63 39 91 12 24 45 57 78 81010111110+7-12=510+7-12=510-5=510-5=

22、5图1.4.1 补码的原理图1.4.1 补码的原理2.补码的表示补码的表示正数的补码和原码相同，正数的补码和原码相同，负数的补码是符号位为负数的补码是符号位为“1”，数值位按位取反，数值位按位取反加加“1”，即，即“反码加反码加1”例如：例如：+7-7原码原码0 1111 111反码反码0 1111 000补码补码0 1111 001注意：注意：1.采用补码后，可以方便地将减法运算转换成加法运采用补码后，可以方便地将减法运算转换成加法运算，而乘法和除法通过移位和相加也可实现，这样可算，而乘法和除法通过移位和相加也可实现，这样可以使运算电路结构得到简化；以使运算电路结构得到简化；2.正数的补码既

23、是它所表示的数的真值，负数的补码部正数的补码既是它所表示的数的真值，负数的补码部分不是它所示的数的真值。分不是它所示的数的真值。3.与原码和反码不同，与原码和反码不同，“0”的补码只有一个，即的补码只有一个，即（00000000）B4.已知原码，求补码和反码：正数的原码和补码、反码已知原码，求补码和反码：正数的原码和补码、反码相同；负数的反码是符号位不变，数值位取反，而补相同；负数的反码是符号位不变，数值位取反，而补码是符号位不变，数值位取反加码是符号位不变，数值位取反加“1”。如：原码为如：原码为10110100，其反码为，其反码为11001011，补码为，补码为1100100。5.已知补码

24、，求原码：正数的补码和原码相同；负数的已知补码，求原码：正数的补码和原码相同；负数的补码应该是数值位减补码应该是数值位减“1”再取反，但对于二进制数来说，再取反，但对于二进制数来说，先减先减“1”取反和先取反再加取反和先取反再加“1”的结果是一样的。故由的结果是一样的。故由负数的补码求原码就是数值位取反加负数的补码求原码就是数值位取反加“1”。如已知某数的补码为（如已知某数的补码为（11101110）B，其原码为，其原码为（10010010）B6.如果二进制的位数为如果二进制的位数为n，则可表示的有符号位数的范，则可表示的有符号位数的范围为（围为（2n 2n11），如），如n8，则可表示，则可

25、表示(128127)，故在做加法时，注意两个数的绝对值不要超出它，故在做加法时，注意两个数的绝对值不要超出它所表示数的范围。所表示数的范围。例例1.3.1 用二进制补码计算用二进制补码计算 ：7528 、7528 、 7528、 7528 （75）D（01001011）B （28）D（00011100）B （75）D（11001011）B （28）D（10011100）B 原码原码7 52 81 0 30 10010110 0011100 0 1100111（75）D（10110101） B ; （28）D（11100100） B ;解：先求两个数的二进制原码和补码（用解：先求两个数的二进制原

26、码和补码（用8位代码）位代码）补码补码7 52 8 4 70 10010111 11001001 0 0101111 7 52 810 31 01101011 11001001 1 0011001溢出溢出 7 52 8 4 71 01101010 0011100 1 1010001溢出溢出补码补码补码补码表表31为为4位带符号位二进制代码的原码、反码和补位带符号位二进制代码的原码、反码和补码对照表码对照表十进十进制数制数原码原码反码反码补码补码十进十进制数制数原码原码反码反码补码补码70111011101111100111101111601100110011021010110111105010

27、101010101310111100110140100010001004110010111100300110011001151101101010112001000100010611101001101010001000100017111110001001000000000000081000111110001.4 二进制编码二进制编码1.4.1三个术语三个术语数码数码：代表一个确切的数字，如二进制数，八进制：代表一个确切的数字，如二进制数，八进制数等。数等。代码代码：特定的二进制数码组，是不同信号的代号，不：特定的二进制数码组，是不同信号的代号，不一定有数的意义一定有数的意义编码编码：n 位二进制

28、数可以组合成位二进制数可以组合成2n 个不同的信息，给每个不同的信息，给每个信息规定一个具体码组，这种过程叫编码。个信息规定一个具体码组，这种过程叫编码。 数字系数字系统中常用的编码有两类，一类是二进制编码，另一类统中常用的编码有两类，一类是二进制编码，另一类是是 二二-十进制编码。另外无论二进制编码还是二十进十进制编码。另外无论二进制编码还是二十进制编码，都可分成有权码（每位数码代表的权值固定）制编码，都可分成有权码（每位数码代表的权值固定）和无权码和无权码 用用4位二进制代码表示十进制的位二进制代码表示十进制的09个数码，即二个数码，即二十进制的编码。十进制的编码。 4位二进制代码可以有位

29、二进制代码可以有00001111十十六个状态，则表示六个状态，则表示09十个状态可以有多种编码形式，十个状态可以有多种编码形式，其中常用的有其中常用的有8421码、余码、余3码、码、2421码、码、5211码、余码、余3循环码等，其中循环码等，其中8421码、码、2421码、码、5211码为有权码，码为有权码，即每一位的即每一位的1都代表固定的值。都代表固定的值。表表1.4.1为几种编码形式为几种编码形式表表1.4.1编码种类编码种类十进制数十进制数8421码8421码（BCD代码）（BCD代码）余3码余3码2421码2421码5211码5211码余3循环码余3循环码0 01 12 23 34

30、 45 56 67 78 89 9权权00000000000100010010001000110011010001000101010101100110011101111000100010011001842184210011001101000100010101010110011001110111100010001001100110101010101110111100110000000000000100010010001000110011010001001011101111001100110111011110111011111111242124210000000000010001010001000

31、10101010111011110011001100010001100110011011101111111115211521100100010011001100111011101010101010001001100110011011101111111111110111010101010说明：说明：1. 8421码码:又称又称BCD码，是最常用的十进制编码。其每码，是最常用的十进制编码。其每位的权为位的权为8、4、2、1，按公式，按公式 展开，即可得展开，即可得对应的十进制数，如（对应的十进制数，如（0101）21241 205iikD22. 余余3码不是有权码，由于它按二进制展开后十进制数码不

32、是有权码，由于它按二进制展开后十进制数比所表示的对应的十进制数大比所表示的对应的十进制数大3。如。如0101表示的是表示的是2，其，其展开十进制数为展开十进制数为5，故称为余，故称为余3码。采用余码。采用余3码的好处是：码的好处是：利用余利用余3码做加法时，如果所得之和为码做加法时，如果所得之和为10，恰好对应二，恰好对应二进制进制16，可以自动产生进位信号。如，可以自动产生进位信号。如0110（3）1010（7）1111（10）；另外）；另外0和和9、1和和8、2和和7是互为是互为反码，这对于求补很方便。反码，这对于求补很方便。3. 2421码是有权码，其每位的权为码是有权码，其每位的权为2、4、2、1，如，如(1100)2=12146，与余，与余3码相同码相同0和和9、1和和8、2和和7是互