工程光学郁道银版习题解答(一题不落)第十二章_光的衍射

1、第十二章光的衍射1 波长为 500nm 的平行光垂直照射在宽度为0.025mm 的单缝上，以焦距为50cm的会聚透镜将衍射光聚焦于焦面上进行观察，求（1 ）衍射图样中央亮纹的半宽度；（ 2）第一亮纹和第二亮纹到中央亮纹的距离；（ 3）第一亮纹和第二亮纹的强度。解： （ 1）零强度点有asin n （n 1, 2, 3）r0 f 02950 10 2 500 10 93a 0.025 10 30.01m2）第一亮纹，有a sin 14.49394.4934.493 500 10 93a3.14 0.025 10 30.0286radr1 f 1 50 10 2 0.0286 0.0143m 14

2、.3mmr2 24.6mm3）衍射光强I I 0sin 2，其中a sinasin n 时为暗纹，tg 为亮纹II000.047180.016944.4937.7252 平 行 光 斜 入 射 到 单 缝 上 ， 证 明 ： （1 ） 单 缝 夫 琅 和 费 衍 射 强 度 公 式 为2asin （sin sin i）I I 0式中， I 0 是中央亮纹中心强度；a 是缝宽；是a（sin sin i）衍射角，i 是入射角（见图12-50 ）（ 2）中央亮纹的角半宽度为acosi证明：（1） 与垂直入射相比（2） 令 a sinsin sin isin i 即可3 在不透明细丝的夫琅和费衍射图样

3、中，测得暗条纹的间距为1.5mm， 所用透镜的焦距为 30mm ，光波波长为632.8nm。问细丝直径是多少？解：设直径为a ，则有f da632.8 109 0.031.5 1030.0126mm4 利用第三节的结果导出外径和内径分别为a 和 b 的圆环（见图12-51 ）的夫琅和费衍射强a度公式，并求出当b a 时， （ 1 ） 圆环衍射与半径为a 的圆孔衍射图样的中心强度之比；（ 2）2圆环衍射图样第一个暗环的角半径。图 12-51 P点振幅减小习题6图Eb pb2c2J1 kbkbP 点产生的振幅为P 点强度为E EaE 2 c a2J1 kab2J1 kbbkakbI E24 2c2

4、 a2J1 kaka22 b2J1 kbkb对于衍射场中心，0 有2I0 4 c2222ab44ab4422ab2222ca bab 时，21) I 04 2cb2 22842 a494 ca16I0 9Ia 01642）第一暗纹有a2J1 kab2J1 kb0kb1a aJ1 kaaJ1 k22查表可有ka 3.1443.1443.1440.51ka2 a a1 ）一束直径为2mm 的氦氖激光（632.8 nm ）自地面射向月球，已知地面和月3球相距 3.76 103 km，问在月球上得到的光斑有多大？（2）如果用望远镜用作为扩束器将该扩展成直径为4m 的光束，该用多大倍数的望远镜？将扩束后

5、的光束再射向月球，在月球上的光斑为多大？解： （ 1）圆孔衍射角半宽度为0.61D 2 l 2 0.61 l 2a0.61 632.8 10 9833.76 108 290.3km1 1032）若用望远镜扩束，则放大倍数为2000 倍。直径0.610.61 632.8 10 98D 2 l 2. l 2.3.76 108145.2m5 若望远镜能分辨角距离为3 10 7 rad 的两颗星，它的物镜的最小直径是多少？同时为了充分利用望远镜的分辨率，望远镜应有多大的放大率？解：0.610.61 550 10 9 23 1072.24 m取微分有d cosm人眼分辨率为1 2.9 10 4rad29

6、 10放大率 M 2.9 1079003 1076 若要使照相机感光胶片能分辨2 m 的线距， （ 1）感光胶片的分辨率至少是每毫米当时线； （ 2）照相机镜头的相对孔径D/f 至少有多大？（光波波长为550nm ）1解： （ 1）胶片分辨率为N3 500 线 / 毫米2 103（ 2） D1.22 N N0.34d14907 一台显微镜的数值孔径为0.85，问（1）它用于波长400nm 时的最小分辨距离是多少？（2）若利用油浸物镜使数值孔径增大到1.45 ，分辨率提高了多少倍？（3）显90.61 400 10 90.850.29 10 6m微镜的放大率应设计成多大？（设人眼的最小分辨率为1）

7、 。0.61解： （ 1 ）n sin u1452）提高 1.45 1.70.853）人眼在明视距离处能够分辨的长度为e 250mm250 2.9 10 4 7.25 10 2mm放大率至少为2425e 7.25 10 2mm 0.29 10 3mm 1.78 在双缝夫琅和费衍射实验中，所用光波波长632.8nm ，透镜焦距f 50cm，观察到两相邻亮条纹之间的距离e 1.5mm，并且第四级亮纹缺级。试求 （ 1） 双缝的缝距和缝宽；（ 2）第1， 2， 3 级亮纹的相对强度。解： （ 1 ）双缝衍射亮纹条件为d sin m ,m 0, 1, 2令 m 1 ，且 cos 1 ，则d又e f f

8、 ddf e632.8 10 9 0.51.5 10 30.21 10 3m2）衍射极小位置为asin na d ,n 1, 2m 0, 1, 2nm取 n 1,m 4a d 0.05mm43）对于第一级亮纹有d sin2即d sin 2又 d 4aasin4asinI 1 sin 10 * 2sin 22sin4I00.81sin2I20.4, 的 1 级和 2 级谱线之间的距离是多少？ 0.09I0 I09 在双缝的一个缝前贴一块厚0.001mm， 折射率为1.5 的玻璃片。设双缝间距为1.5 m，缝宽为 0.5 m，用波长500nm 的平行光垂直入射。试分析该双缝的夫琅和费衍射图样。解：

9、衍射图样不变，干涉位置变为d sin n n0 d m解： （ 1） d1mmN1mm5002 106m对于一级主极大有d sin1 18.43f3r13.34 10 mmNd cos同理 r2 4.08 10 3mm2） d sin m线色散l m fd cos 1 ， 2 级衍射线色散为0.26mm/ nml500mm1 0.002mm cos18.43l0.64mm/ nm2而 0.5 nml1 l 10.26mm/ nm 0.5 0.13mmmsin2 600 10 9sin 302.4 10 6ml2 0.32mm 设计一块光栅，要求（1）使波长600nm 的第 2 级谱线的衍射角3

10、00， （ 2）色散尽可能大，（ 3）第3 级谱线缺级，（ 4）在波长600nm 的 2 级谱线处能分辨0.02nm 的波长差。在选定光栅的参数后，问在透镜的焦面上只可能看到波长600nm的几条谱线？解：为使600nm 的二级谱线的衍射角30 ，则光栅常数d 应满足dm色散 d 越小色散越大d d cos d 2.4 10 6m3若第三级缺级，应有a 0.8 10 md由条件（4） N60015000m 0.02 2光栅总长度L N d 36mmdsin d 2.4 106可看到最高级条纹为m94600 10 9可看到0, 1, 2 级， 3 级缺级，共5 条条纹。12为在一块每毫米1200

11、条刻线的光栅的1 级光谱中分辨波长为632.8nm的一束氦氖激光的模结构（两个模之间的频率差为450MHz ） ，光栅需要有多宽？解： 632.8nm对应的频率为4.741 1014 Hz450 106414 632.8 6 10 4nm4.741 1014光栅总条纹数为N632.84 1.005 106m 6 1041长度为L Nd 1.005 106879mm1200sin sin N13证明光束斜入射时，（ 1 ）光栅衍射强度分布公式为I I 0 sin sin Nsin中 a sin sini ， d sin sin i 为衍射角；i 为入射角，见图12-53 ， N 为光栅缝数。（

12、2）若光栅常数d ，光栅形成主级大的条件可以写为d cosi i m m 0, 1, 2,.图 12-53 习题 18 图 22证明： （ 1）与垂直入射相比，有d sin sin id sin sin iasin sini2）光栅形成主极大有d sin sini m2dcos 2isin i m22i cos2,i 0ii cosi ,sin22d cosi i m14有一多缝衍射屏如图12-54 所示，缝数为2N ，缝宽为a，缝间不透明部分的宽度依次为 a 和 3a 。试求正入射情况下，这一衍射屏的夫琅和费衍射强度分布公式。E P A sin 1eiei2ei3 ei 1ei 1 2ei

13、1 2 2ei N 1 ei 1 N 1 2sin AiN i1ei1eiNA sin 2 exp i N 11 ei 122设复数 M 1 ei 1exp i N 122则 M M 4cossin 2I 4I 0N sin224 cosbsin, 1 4 ,121516I 4I0sincos2222 sin 6N 2260mm，每毫米有300个刻槽，闪耀角为77012 。 （ 1）求光束垂直于槽面入射时，对于波长500nm 的光的分辨本领；（ 2） 光栅的自由光谱范围有多大？（3）试问空气间隔为1cm ，精细度为25 的法布里-珀罗标准具的分辨本领和自由光谱范围作一比较。1）光栅刻痕数为N

14、7.8 104d2d sin12 mm sin 77 12 300500 10 6mm13mN 1062)自由光谱范围为500 38.5nmm 132h3) F-P 标准具的分辨为A 0.97ms 0.97 s 1062500270.0125nm2h 2 107比光栅小得多一透射式阶梯光栅由20 块折射率相同、厚度相等的玻璃平板平行呈阶梯状叠成，厚板 t 1cm，玻璃折射率n 1.5，阶梯高度d 0.1cm 。以波长500nm 的单色光垂直照射，试计算（1）入射光方向上干涉主极大的级次；（ 2）光栅的角色散和分辨本领（假定玻璃折射率不随波长变化）。解： （ 1）由于阶梯高度d 与 相比极大，所

15、以衍射角极小，此时相邻两阶梯的光程差为 nl cos l d sin n 1 l d对应 0处，m0n 1 l 104（ 2）n 1 l d mml设 n 与 相比变化很小，即n 0210 rad /nm分辨本领A mN 104 20 2 1051718设光栅的振幅透射系数为t（x） t0 t1 cos2 f0x t1 cos（2 f0x） ，这块光栅2的夫琅和费衍射场中将出现几个衍射斑？各斑的中心强度与零级的比值是多少？在宽度为b 的狭缝上放一折射率为n 、 折射角为的小光楔，由平面单色波垂直照射（见图12-55 ） ，求夫琅和费衍射图样的光强分布以及中央零级极大和极小的方向。19图 12-

16、56 为一透射型闪耀光栅，周期为d ，闪耀角为，由平面波垂直入射（1）求夫琅和费衍射图样的光强分布。（ 2） 求光栅对m 1 级光谱闪耀时应满足的条件。（ 3）试分析对m 1 级闪耀时，光谱强度分布的特点。12-56习题 24 图20 如图 12-58 所示，单色点光源（波长500nm ）安放在离光阑1m远的地方，光阑上有一个内外半径分别为0.5mm和 1mm的通光圆环。考察点P 离光阑 1m（ SP 连线通过圆环中心并垂直于圆环平面），问在 P 点的光强和没有光阑时的光强之比是多少？P12-58 习题 28 图解：半径为1mm的圆孔包含波带数为2 R r01mm 2 1000mm 1000m

17、mJ64r0R1000mm 1000mm 500 10 6mm半径为0.5mm的圆屏挡住的J 1圆环通过波带数为3，由于相邻波带相消，所以只有一个波带的光在P 点产生振1幅， 无光阑时P 点振幅为第一波带产生振幅的， 所以放置光阑前后光强变化42倍。21 波长563.3nm 的平行光正入射直径D 2.6mm 的圆孔，与孔相距r0 1m 处放一屏幕。问（1 ）屏幕上正对圆孔中心的P 点是亮点还是暗点？（2）要使P 点变成与（1）相反的情况，至少要把屏幕向前（同时求出向后）移动多少距离？解：在 P 点包含的波带数为2r03R2 R r0Jr0R321.3 1031 563.3 10 9令J22r0

18、321.3 10 39 1.5m2 563.3 10 9J43221.3 103r09 0.75mJ 4 563.3 10 922. 试写出图中双狭缝衍射屏的复振幅透射系数的表达式b=4a) 。(2) 用单位振幅单色平面光波正入射照明时，试求在透镜分布。(3) 求在透镜L 后焦面内沿x 轴的光强度分布。( 设缝宽为a，缝距为b，且L 后焦面内沿x 轴的复振幅)。(4) 指明光强度分布的特征( 单缝衍射中央亮区的半角宽度；干涉主亮纹间距解 1 )双狭缝衍射屏的复振幅透射系数为：t( ) rect (22)复振幅分布为：aE(x)if2 x expik ( f 2f)E( )e ikl dbabababat()1,()()及() ()22222222t()0,其它b) rect( 2 )aE(x