平面向量的线性运算,基本定理及坐标表示

1、平面向量的线性运算，基本定理及坐标表示1、向量有关概念：(1)向量的概念：既有大小又有方向的量.向量常用有向线段来表示，注意不 能说向量就是有向线段，(2)零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任 意的；(3)单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(4)相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量(5)平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量一、叫做平-fr-W行向量，记作：a H b 规定零向量和任何向量平行。三点&欣共线口 4从共线；2.平面向量的基本定理：如果 el和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该 平面内的任一向量a,有且只有

2、一对实数 4、/ ,使a=&el + /e2。-w3、实数与向量的积：实数】与向量一的积是一个向量，记作尢汗,它的长度和方向规定如下："""一 '当儿>0时，力汗的方向与白的方向相同，当1<0-V-Vf r-r时，江一的方向与一的方向相反，当局=0时，=口，注意：比W0。4、向量的运算：(1)几何运算：(2)坐标运算：设则：向量的加减法运算：*三。上士, 乂主"实数与向量的积："-上("斗)-小叮)。若比%则,他-丛-*),即一个向量的坐标等于表示 这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。向量的模：I吓十

3、小-H= 一 y0两点间的距离：若为2)皿1。则*削-/"叫十，一片)。5、向量平行(共线)的充要条件：运品。白.北oC'D M*=0o12、向量中一些常用的结论：(1) 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；(2 ) 11*17%怕,士国用,内，特别地，当小I同向或有6014+ 皿=| 口|+ in古|-|叫|=|由一叫当；、B反向或有Oo I，蚌1/之向-1昨。+川；当二、Z不 共线Qg1 -向回土，引i I，山（这些和实数比较类似）.（3）在加5c中，若飞、f （务工）"（为），则其重心的坐标为133 I0一砒择题：1、已知向量厘-（L2）,&

4、quot; （2.3）4.（3.4）,则用孙b表示心为（）A.B. 0 j i 2hC. o=a+ 工8D.c = a - 2b2、已知al=工'忸| ,则"Y的取值范围是（）A. U b. g|c. IL石I d. IL内3、已知向量”（L2） , b = «U , u=n+2b 窜= 2一七,且 u *,则（）A . IB . 1C .II工D. 24 .（2010?四川）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，订"二16,|加配二I防宿叫翁|=（）A.8B.4C.2D.1解析：由他/乙日AC可知，八8，/仁则AMfe RtABCM边BC上的1 -A

5、M |= -| flC|= 2, 中线，因此,| 二选C.5 .已知 ABC，点D在BC边上，且UD="出（订=上3* 则年的值是)24D.0A-H-C.-3解析：8- 2Z?以.»12，2_（7J -*-二2*工CD= - AB-AC, 一-一33 又-,s r=，,r+s=0.故选 D.3.平面向量a,b共线的充要条件是（）6 .平面向量a, b共线则()A.a, b方向相同 B. a, b两向量中至少有一个为 0C.存在入C R,使b=Xa D.存在不全为零的实数 入1,入2,使 入 1a+入2b=0解析:a,b共线时,a,b方向相同或相反，故A错.a,b共线时,a,

6、b不一定是零向 量，故B错.当b=入a时,a,b 一定共线,若bw0,a=0.则b=入a不成立,故C错.排除 A B、C,故选 D.7 .若 a=(2cos a , 1), b=(sin a , 1),且 a / b,贝U tan 民 等于()A. 2B.C. -2D.解析: a / b, /. a=入 b, /.2cos a =sin a , tan a =2. 答案： A8 .若三点 A(2,2) , B(a,0) , q0, b)(abw0)共线，则 + 的值等于()A.I11B.C.1D. 4解析：/A = (a 2, 2), MU =(2, b2),依题意，有(a 2) (b2) 4

7、=0,即 ab 2a 2b = 0,所以+=. 答案：B9.设点A(2,0) , B(4,2),若点P在直线AB上，且|，回=2|力| ,则点P的坐标 为()A. (3,1)B . (1 , 1) C . (3,1)或(1 ,一1)D.无数多个解析：设 P(x, y),则由 | =2| ,得=2 或= 2. =(2,2) , =(X2, y),即 (2,2) =2(x 2, y), x = 3, y=1, P(3,1),或(2,2) =2(x2, y) , x=1, y= -1, P(1 , 1).答案：C10.已知点 A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),给出下面的结论：

8、其中正确结论的个数是()直线OCI直为BA?_行；前正=不3*说二丽金一病1A. 1个B.2个 C.3个D.4个解析：kOC= =kBA= = ,.OC/ BA,正确；批上.错误；.。厘.正确；20八二(-4v (-4,0),.正确.故选 C.11.设向量a=(3 ,小),b为单位向量，且a / b,则b=()V7Vsa/5VsA.(2,)或(-,)B.(-,) C.( 一,，正 正一)D. ( 2 ,)或(2 , 一)解析：设 b=(x, y),由 a / b 可得 3y x = 0,又 x2 + y2= 1 得 b=(,)或 b= (一,一).答案：D12.在 ABC中，角A, B, C所

9、对的边分别为 a, b, c,且mn= (b-c, cos C) , n = (a, cos A), mil n,则 cos A 的值等于()A.B .C.解析：,/ m/ n, .(bc)cosA= acosC, . ( sin Bsin C)cosA= sin AcosC, 即D.sin BcosA= sin AcosC+ sin CCosA =答案：CRsin( A+ C) = sinB,易知 sin Bw 0,cosA=.二?M空题：13、若"*3=化3号人F5)则”Q8 OC- OC-2OA14、若点。是AABC所在平面内的一点，且满足 ABC勺形X犬为.解析：OBOC-Q

10、AOC-丽石* C.QB-O二V _ Afi At .I ABA AC|=| AB-故A?B?C为矩形的三个顶点，ABCJ直角三角形.15. (2010 陕西)已知向量 a = (2 , 1) , b=( 1, m) , c=( 1,2),若(a + b) / c,贝 U mn=.解析：由题知 a+ b= (1 , m-1) , c=( 1,2),由(a+b) / c 得 1 X2 (m- 1)x(1) = mn 1 = 0,所以 mn= - 1.答案：116. (2011 天津十二校联考)已知直角坐标平面内的两个向量a =(1,3) , b =(m,2mi-3),使平面内的任意一个向量 c都

11、可以唯一的表示成 c=入a+ pb,则m 的取值范围是.解析：:c可唯一表示成c=a+pb,.a与b不共线，即2mi-3w3m, nr - 3.答案：m|mE R, m# - 317 .如图，平面内有三个向量 入？丽？5L其中不与丽的夹角为120。，豆与丽 的夹角为30° ,且| OA=丽|=1,|诙|= 2不，若无=入而十仙砺(入C R), 贝U入+ n 的值为.解析：过C作与3H的平行线F它们的延长线相交，可得平行四边形，由/ BOC=90 , / AOC=30 , 二 26，得平行四边形的边长为2和4,故入+仙=2+4=6. 答案:618 .如图，在 ABC，点。是BC的中点，

12、过点。的直线分别交直线AB,AC于不 同的两点M,N,若八月二打忆水="A1则m+n的值为.解析：由于MN的任意性可用特殊位置法：当MNt BC重合时知m=1,n=1,故 m+n=2 答案:2三?W答题：19 .已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),O 为坐标原点.设四- 3 Ho =bf 仁且 CM = 3%CN=" 求 3a+b 3c； (2)求满足 a = mb+ nc 的实数 m, n. 解：由已知得 a=(5, 5), b=(6, 3), c=(1,8).(1)3 a+ b- 3c = 3(5, 5) + (6, 3)3(1,8)= (15 6 3, - 15-3-24) = (6 , 42).(2) mbr nc=(6m+ n, - 3m+ 8n)=(5, 5), ，解得.20.已知向量 a=(sin 8, cos 9 2sin 8), b=(1,2).(1)若 a/ b,求 tan 9 的值；(2)若a = b,0 < 8 < 兀，求 9 的值.解：(1)因为 a/b,所以 2sin 0 =cos82sin 0 , 于是 4sin 8 = cos 8 ,故 t