最新空间向量知识点归纳总结(经典)

1、精品文档bCuuuOBouuu uuu rOA AB aa v uuu b; BA运算律：加法交换律：加法结合律：(a b)数乘分配律：(a b)uuu OAb a(b c)buurOBR)空间向量与立体几何知识点归纳总结.知识要点。1 .空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：(1)向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。(2)向量具有平移不变性2 .空间向量的运算。定义:与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)精品文档运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3 .共线向量。(1)如果表示空间向量的有向线段所在的

2、直线平行或重合，那么这些向量也叫做共o、b ( b ? 0 ), a/b存在实数入使a =心。线向量或平行向量，a平行于b,记作a/b (2)共线向量定理：空间任意两个向量a(3)三点共线：A、B、C三点共线AB AC OC xOA yOB其收 y 1)一a(4)与a共线的单位向量为 |aj4 .共面向量(1)定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。(2)共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的条件是存在实数r r !x, y 使 p xa ybo(3)四点共面：若A、B、C、p四点共面AP xAB yACOP xOA yOB

3、zOC(其中 x y z 1)r rrr r1rr在一个唯一的有序实数组 x, y, z,使p xa yb zc5 .空间向量基本定理：如果三个向量 a,b,c不共面，那么对空间任一向量 p ,存什_曰匚1匚,!、r r若三向量a,b,c不共面，我们把a,b,c叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量, 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点 P,都存在唯一的三个有序实数uuu uuu uuu uurX, y,Z,使 OP xOA yOB zOC o6 .空间向量的直角坐标系：(1)空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xy

4、z中，对空间任一点A,存在唯一的有序实数组(x, y, z), 使OA xi yi zk ,有序实数组(x, y,z)叫作向量A在空间直角坐标系O xyz中的坐标， 记作A(x, y, z), x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。注：点A (x,y,z)关于x轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy平面的对称点为(x,y,-z). 即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。在y轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz中的点设为(0,y,z)(2)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1,这个基底叫单位正交基底， r r r 十 用i, j,k表示。空间中任一向量 a

5、 xi yj zk=(x,y,z)(3)空间向量的直角坐标运算律： rrrr若a(句也自)，b(WEh),则ab(2匕且b2bs),r rra b (a1n,a2 b2,% b?), a ( a, a2, as)(R),r ra b a1bl a2b2 a3b3,r ra/bai 句b?。0( R),r ra ba1bl a2b2 33 b3 0。uuu若 A(x1,y1,zJ , B(x2,y2,z2),则 AB g x，y2乙)。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起 点的坐标。精品文档aP pB ,则点P坐标为定比分点公式：若A（x，yi，Zi） , B

6、Gmz）,XiX2 yiy2 ZiZ2设 P ( x,y,z )(x Xi,y yi,z Zi)优 x，V2 yzz）,显然，当p为ab中点时,P（XX2 yiy2 ZiZ2精品文档 ABC中，A (xi,yi,Zi) ,B(X2,y2,Z2),C(X3,y3Z),三角形重心 p坐标P(XiX2X3yiV2 y3 ZiZ2Z3)2,2 ABC的五心:内心p：内切圆的圆心，角平分线的交点外心p：外接圆的圆心，中垂线的交点。AB ACAB AC)PA pb| |pc|（单位向量）垂心P：高的交点：PA pb pa pc pb pc重心P:中线的交点，三等分点（中位线比）AP（移项，内积为0,则垂直

7、）i -3（AB AC）中心：正三角形的所有心的合一。r（4）模长公式：右a （曰0），rb (bi,b2h),贝U|a| a a 42 a22r r夹角公式：cos(a b2 r r r222a3 , |b|，b b ，打b2 b3r ra bab a2b2 a3b3-rr-.|a| |b| Jai2 a22 a32b2 b22 b32 ABC中 ab?ac0 V=A为锐角ab?ac 0 V=A为钝角，钝角(6)两点间的距离公式：若 A(x1, yi,Zi) , B(x2, y2,z2),则 1ABi ,.AB2. (X2-Xi) 2-( Y2-yi) 2-( Z2-zi)2 ,或 dA,B

8、 (X2 Xi)2 (y2%)2 (Z2 4)27.空间向量的数量积。r（i）空间向量的夹角及其表不：已知两非零向量a,b,在空间任取一点 。，作uuur uurrr rOA a,OB b ,则 aob叫做向量a与b的夹角，记作 a,b；且规定精品文档一r 一 r ,r r r r r 作a b ,即 a b |a| |b| cos a,b 。(4)空间向量数量积的性质:r r , r , r ra e |a |cos a,e o(5)空间向量数量积运算律:rrrrr(a)b(ab)a(r rrrrrra (bc)abacra ra2raOO r b ra r b rar r r r rb）。

9、a b b a （交换律）（分配律）。r rr ,.rrrr r0 a,b ，显然有 a,b b,a ;若,b,则称与b互相垂直，记作：b 一uuruur（2）向量的模：设oa a,则有向线段oa的长度叫做向量a的长度或模，记作：iair r r r r r r r（3）向量的数量积：已知向量a,b ,则|a| |b | cos a,b 叫做a,b的数量积，记精品文档不满足乘法结合率：（a b）c a（b c）二.空间向量与立体几何1.线线平行两线的方向向量平行1-1线面平行线的方向向量与面的法向量垂直1-2面面平行两面的法向量平行2线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直2-1线面垂直线与面

10、的法向量平行2-2面面垂直两面的法向量垂直3线线夹角（共面与异面）0,90两线的方向向量 *,的夹角或夹角的补角,cos cos n1, n23-1线面夹角0,90：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量 而与面的法向量n的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹 角 sin cos AP, n3-2面面夹角（二面角）0,180:若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量n1，n2的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.coscos n1, n2uuu4.点面距离h :求点P X0,y0到平面 的距离：在平面 上去一点Q x,y ,得向量PQ .； ;

11、计算平面的法向量n；. hPQ94-1线面距离(线面平行):转化为点面距离4-2面面距离(面面平行):转化为点面距离【典型例题】1 .基本运算与基本知识()例1.已知平行六面体ABCD ABCD，化简下列向量表达式，标出化简结果的向量 uur uuuruur uur uuur(1) AB BC ;(2) AB AD AA ；/ . uur uuur1 uuuu . . 1 uuuuuuruur AB ADCC；(ABADAA)。2 3例2.对空间任一点。和不共线的三点A, B,C,问满足向量式:uuuOPuuu uur uuur .xOA yOB zOC （其中 xy z 1)的四点p,a,b

12、,c是否共面?例 3 已知空间三点 A (0, 2, 3), B (2, 1, 6), C (1, 1, 5) 求以向量AB, AC为一组邻边的平行四边形的面积 S;若向量a分别与向量ab,ac垂直，且|士|=、；3,求向量a的坐标。2 .基底法(如何找，转化为基底运算)3 .坐标法(如何建立空间直角坐标系，找坐标)4 .几何法编号03晚自习测试；17, 18题例4.如图，在空间四边形 OAB计，OA 8, AB 6, AC 4, BC 5, OAC 45o,OAB60,求OA与BC的夹角的余弦值说明：由图形知向量的夹角易出错，如例 5.长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB BC 交点

13、，又AF BE,求长方体的高BBi。uuu uuuruur uuurOA, AC135易错与成 OA, AC45,切记!4, E为AG与BQ的交点,F为BG与B1c的【模拟试题】1.已知空间四边形ABCD ,连结AC,BD ,设M ,G分别是BC,CD的中点，化简下列各表达 uur uuur uuir式，并标出化筒结果向量：（1） AB BC CD;uuu i uur uur AB (BD BC)；2uuur i uuu uuur(3) AG -(AB AC)。22.已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O引向量uurum uur uuruuruuur imr uurOE kOAOF kOB

14、QG kOC, OH kOD。(1)求证：四点E,F,G,H共面；(2)平面AC /平面EG。所成角的余弦。3.如图正方体 ABCD ABC1D1 中，BE1 D1F1 1AlB1,求 BE1 与 DF145.已知平行六面体ABCD ABCD中，AB 4, AD 3, AA 5, BAD 90 o ,BAA DAA 60 o ,求 AC 的长。3.1.解:如图,参考答案(1)(2)uuuABuuuABuur uuir uuir uuirBC CD AC CDAD uuruurAB(3)uuur BMuuir AG2.解 Uur（明1 uuur(BD 2uuurMG1 uur (AB2证明：uu

15、iruurBC)uurAB-BC1 uur -BD。2UULTAG ； uiur AC)uuirAGuuuuAMuuuuMG。四边形ABCD是平行四边形，.uurACuurABuuurAD ,EGOGOEuuuruuruuiruuuujiruutuurk OCk OAk(OCOA)kACk(ABAD)uurUJUujiruuuuuiruuruumr uuurk(OBOAODOA)OFOEOH OEuur uuurEF EHe,f,g,h解：共面; uur EFuuur OFuuurOEuur uuu uuuk(OB OA) k AB ,又uuurEG/. EF/AB, EG/AC。所以，平面A

16、C 平面EG。G3解：不妨设正方体棱长为3则 B（1,1,0）,匕（1,3 ,1）, 41,建立空间直角坐标系O1 ,、 D（。,。,。）,E*xyzuuur二 BEi1 uuur(0, ，1), DF1 41(01,1)，4UULU二 BE1uuuuDF1,17精品文档uum uuur1 115BE1 DF1 0 0 (-)11 一。4 41615uuu uuuu 石 15cos BE1,DF16l 二。17 J7 174uur uur八. uujruurAB AC14.分析： QAB ( 2, 1,3),AC (1, 3,2), cos BAC uur uuur|AB|AC| 2uuu uur_./BAC =60 , S | AB|AC |sin60o 773r uuu设 a = (x, y, z),则 a AB2x y 3z 0,rr -999aAC x 3y 2z 0,| a |、, 3x2y