第1节一元二次方程的概念和解法

1、第二十一章一元二次方程第一节一元二次方程的概念和解法、课标导航课标内容课标要求目标层次一Tt 二次方程的概念了解一兀二次方程的概念，会将一兀二次方程化为一般形式，并指出各项系数了解一兀二次方程的根的意义能由一兀二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围会由方程的根求方程中待定系数的值F二次方程的解法理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据能选择恰当的方法解一兀二次方程会用配方法对代数式作简单的变形会解可化为一兀二次方程的方程或方程组、核心纲要 1. 一元二次方程的概念(1) 一元二次方程：只含有一个未知数,并且未知数的最高

2、次数是 2的整式方程叫做一元二次方程.(2) 一元二次方程的一般形式:ax2 bx c 0(a,b, c是常数，a 0), a为二次项系数，b为次项系数，c为常数项.注意：对于关于x的方程ax2bx c 0,当a 0时，方程式一元二次方程，当时，方程式一元一次方程.2. 一元二次方程的解法(1)直接开平方法_2- x a a 02(x a)2 b b 0(ax b)2 c c 0可彳x xa可得x a 、b可彳导ax b . c(ax b)2(cx d)2 a c可得 a b (cx d)（2）配方法：解形如ax2 bx c 0（a,b,c是常数，a 0）的一元二次方程.运用配方法解一元二次方

3、程的一般步骤是：二次项系数化1；常数项右移；配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）；化成（x m）2 n的形式；若n 0 ,选用直接开平方法得出方程的根.注：若二次函数系数为1 ，一次项系数为偶数，通常考虑用配方法解方程（ 3）公式法运动公式法解一元二次方程ax2 bx c 0（a, b,c是常数，a 0）的一般步骤是：把方程化为一般形式；确定a、b、c的值；计算b2 4ac的值；若b2 4ac 0 ,则代入公式求方程的根；若b2 4ac 0 ,则方程五实数根.（ 4）因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于因式分解的多项式注：若b2 4ac为完全平方数（或式），用十字相乘法解方程比

4、较简单.3一元二次方程解法的灵活运用直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法（ 1）因式分解法：适用于右边为零（或可化为0） ，而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种罪常用的方法（2）公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算b2 4ac的值（3 ） 直 接 开 平 方 法 ： 用 于 缺 少 一 次 项 以 及 形 如 ax2 b 或 （x a）2 b b 0 或22（ax b）2 （cx d ） 2的方程，能利用平方根的意义得到方程的根（ 4）配方法：配方法是

5、解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的把一元二次方程的一般形式ax2bx c0（a, b, c是常数，a0）转化为它的简单形式（xm）2n ,这种转化方法就是配方4解可化为一元二次方程的方程或方程组（ 1）解方程组：通常采用消元或换元进行变形（ 2）解分式方程：通常采用去分母或换元进行变形(3)解高次方程：通常采用因式分解或换元进行变形.本节重点讲解：一个定义，四种解法，一个思想(转化)三、全能突破 基础演练1.下列方程中，关于 x的一元二次方程是()211222A. 3 x 12x1 B. - 2 0 C. ax bx c 0 D.x 2x xx x、22 .方程x 0的根的个

6、数是()A.1个B.2个C. 0个D.以上答案都不对4 23.已知x 3是关于x的方程一x 2a 1 0的一个解，则2a的值是()3A. 11B. 12C. 13D. 14m4 .方程 m 2 x1 3mx 1 0是关于x的一元二次方程，则 m的值为.5 .用直接开平方法解下列关于x的一元二次方程：22 一,222(1) 2x 8 0； (2) 25 16x 0； (3) 1 x 9 0 (4) 9 x 116 x 2 .6 .用配方法解下列关于 x的一元二次方程：(1) x2 12x 9994；(2) 9x2 12x 1.7 .用因式分解法解下列关于 x的一元二次方程：22222.(1) x

7、 25 0 ;(2) x 1 2x 1 ；(3) (x 2x 1 4；(4) x 4x.8 .选择适当的方法解下列方程：222(1)31 x 6； (2) x 3 x 68； (3) x 4x 1 0 ； (4) 3x 4x 1 0；(5) 3 x 1 3x 1 x 1 2x 5 .能力提升.一、2-29.关于x的万程 a a 2 x ax b 0是一元二次万程的条件是().2_210. (1)当k 时，关于x方程kx2 2x x2 3是一兀二次方程.(2)若方程 m 1 x2 而gx 1是关于x的一元二次方程，则 m的取值范围是 .211. (1)已知万程 x a x 30和万程x 2x 3

8、 0的解相同，则a=.2(2)二角形的两边长分别为 3cm和6cm,第二边是万程x 6x 8 0的解，则这个二角形的 周长是.2(3)已知a、3是直角二角形的两边，第二边的长满足万程 x 9x 20 0,则a的值为.12.解下列关于x的方程：22(1) kx 3k 1 x 3 0 ；(2) mx 3m 2 x 2m 2 0.2213. (1)已知x、y为实数，求代数式 x y 2x 4y 7的最小值.(2)已知x2 y2 4x 6y 13 0, x、y为实数，求xy的值.222. .214.阅读材料：为解方程x 15x14 0,我们可以将 x 1看做一个整体，然后设x2 1 y，那么原方程可化

9、为 y25y 4 0 ,解得y1 1 , y2 4 .当y1时，x21 1 , x2 2 , x 拒；当 y 4 时，x21 4 , x 娓,故原方程的解为 x172 ,x2& ,解答问题：(1)上述解题过程，在由原方程得到方程的过程中，利用 法达到了解方程的 目的，体现了转化的数学思想;(2)请利用以上知识解方程x4x2 6 0 .15.解方程(组)(1)22。x y 2x y 2/、62/(2) - x x 1x x442(3) x 3x 2 0216. (1)已知x 1是一兀二次万程 axbx 40 0的一个根，且a的值.2a 2b(2)已知a是方程x222013x 1 0 的一

10、个根，求 a 2012a2013的值.17.观察下列方程和等式。寻找规律，完成问题:方程7x0,X11 ， X2方程4xX11 ,而 x2 4x 5方程4x12x3一，X223 . ,一，而 4x212x方程3x27x0 ， X14-，X237x(1)解决问题，根据上述材料将下列多项式进行因式分解.2_ 2x 3x(2)探究规律：把关于 x的二次三项式2axbx c0,b2式分解.(3)在实数范围内进行因式分解:3x18.观察下列方程: 2x2 27x 91 0 3 2x223x660 ； 2x2 19x 454ac22x2 11x 15 0； 上面每一个方程的二次项系数都是2,0在实数范围内

11、进行因0 ； 2x2 15x 28 0 ；各个方程的解都不同，但每个方程b2 4ac的值均为1.(1)请你写出两个方程，使每个方程的二次项系数都是2,且每个方程的. 2b 4ac的值也都是1,但每个方程的解与已知的 5个方程的解都不相同.(2)对于一般形式的二次方程 ax2 bx c 0 a20,b2 4ac 0,能否作出一个新的方程2''一 2'2'ax b x c 0,使b 4ac与b 4ac相等？右能,请写出所作的新的方程( b , c需用a ,D.无法确定0时，配方法所得到的方程为（）22x 12 d. x 122a ab a b21. （2013?山东

12、临沂）对于实数 ab,定义新运算“ *”： a*bab b2 a b4*2,b, c表示），并说明理由；若不能，也请说明理由.中考链接219. （2012破州安顺）已知1是关于x的一兀二次万程 mix x 1 0的一个根，则 m的值是( )A. 1B. 1C. 02.20. (2013将江金华)用配万法解万程x 2x 122A, x 10 B, x 10 C.x2 5x 6 0的两个根，则为4>2，所以4*242 4 2 8 .若x1，x2是一元二次方程222 . （2013?四川自贡改编）解关于 x的万程ax2 bx c 0 .巅峰突破23 .若x2 2x 1 4 0,则满足该方程的所有根之和为 .，'一