第9章 多元函数微分法及其应用0506(2)-1

1、音乐音乐 上册讨论的函数都只有一个自变量上册讨论的函数都只有一个自变量, ,称称一元函一元函数数. .但在实际问题中但在实际问题中, ,往往牵涉到多方面的因素往往牵涉到多方面的因素, ,反反映到数学上映到数学上, ,就是一个变量依赖于多个变量的情形就是一个变量依赖于多个变量的情形, ,这就提出了这就提出了多元函数多元函数以及多元函数微积分问题以及多元函数微积分问题. .本本章将在一元微积分的基础上章将在一元微积分的基础上, ,讨论多元函数的微分讨论多元函数的微分法及其应用法及其应用. .主要讨论主要讨论二元二元的情况的情况. . 一、平面点集一、平面点集 n n 维空间维空间 1. 1. 平面

2、点集平面点集 平面上具有某种性质平面上具有某种性质P的点的集合的点的集合, ,称为平面称为平面点集点集, ,记作记作 例如例如, ,平面上平面上以以原点为中心、原点为中心、r为半径的圆内为半径的圆内所有点的集合可表示为所有点的集合可表示为 ),(222ryxyxC 第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念P),(),(具有性质具有性质yxyxE xyor 设设),(000yxP是是xoy平平面面上上的的一一个个点点， 是是某某一一正正数数，与与点点),(000yxP距距离离小小于于 的的点点),(yxP的的全全体体，称称为为点点0P的的 邻邻域域，记记为为),(0 PU， (1) (

3、1) 邻域邻域0P ),(0 PU|0 PPP.)()(| ),(2020 yyxxyx点点0P的的去去心心 邻邻域域, ,记记作作),(0 PU, ,即即 )()(0),(),(20200 yyxxyxPU（2）区域）区域.)(的内点的内点为为则称则称，的某一邻域的某一邻域一个点如果存在点一个点如果存在点是平面上的是平面上的是平面上的一个点集，是平面上的一个点集，设设EPEPUPPE .EE 的内点属于的内点属于EP .为开集为开集则称则称的点都是内点，的点都是内点，如果点集如果点集EE41),(221 yxyxE例如，例如，即为开集即为开集.)(的外点的外点为为则称则称，的某一邻域的某一邻

4、域一个点如果存在点一个点如果存在点是平面上的是平面上的是平面上的一个点集，是平面上的一个点集，设设EPEPUPPE 的边界点的边界点为为），则称），则称可以不属于可以不属于，也，也本身可以属于本身可以属于的点（点的点（点也有不属于也有不属于的点，的点，于于的任一个邻域内既有属的任一个邻域内既有属如果点如果点EPEEPEEPEP 的边界的边界的边界点的全体称为的边界点的全体称为 EE是连通的是连通的，则称开集，则称开集上的点都属于上的点都属于起来，且该折线起来，且该折线两点，都可用折线连结两点，都可用折线连结内任何内任何是开集如果对于是开集如果对于设设DDDD 连通的开集称为区域或开区域连通的开

5、集称为区域或开区域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo开开区区域域连连同同它它的的边边界界一一起起称称为为闭闭区区域域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyoxyo0| ),( yxyx有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域xyo则称为无界点集则称为无界点集为有界点集，否为有界点集，否成立，则称成立，则称对一切对一切即即，不超过不超过间的距离间的距离与某一定点与某一定点，使一切点，使一切点如果存在正数如果存在正数对于点集对于点集EEPKAPKAPAEPKE 例如，例如，41| ),(22 yxyx（3）聚点）聚点 设设 E是平面上的一个点集，是平面上的一个点集，P 是

6、平面上的是平面上的一个点，如果点一个点，如果点 P的任何一个邻域内总有无限的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集多个点属于点集 E，则称，则称 P为为 E 的聚点的聚点. 内点一定是聚点；内点一定是聚点；10| ),(22 yxyx例例(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点 点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E10| ),(22 yxyx例如例如,(0,0) 是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合1| ),(22 yxyx例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合2. n 维空间维空间 设设n为取定的一个自然数，我们称为取定的

7、一个自然数，我们称 n 元数组元数组),(21nxxx的全体为的全体为 n 维空间，而每个维空间，而每个 n 元元数组数组),(21nxxx称为称为 n 维空间中的一个点，维空间中的一个点，数数ix称为该点的第称为该点的第 i 个坐标个坐标. n维空间的记号为维空间的记号为;nR n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 .)()()(|2222211nnxyxyxyPQ 特殊地当特殊地当n=1,2,3 时，便为数轴、平面、空间时，便为数轴、平面、空间两点间的距离两点间的距离),(21nxxxP),(21nyyyQ设两点为设两点为 n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念 nR

8、PPPPPU ,|),(00 内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义邻域：邻域： 设设 D 是平面上的一个点集，如果对于每个点是平面上的一个点集，如果对于每个点DyxP ),(，变量，变量z按照一定的法则总有确定的按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称值和它对应，则称z是变量是变量yx,的二元函数，记为的二元函数，记为),(yxfz （或记为（或记为)(Pfz ）. . 当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数.类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数 多元函数中同样有定义域多元函数中同样有定义域D D、值域、值域f

9、 f(D)(D)、自变、自变量、因变量等概念量、因变量等概念. . 二、多元函数的概念二、多元函数的概念解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxD 求求222)3arcsin(),(yxyxyxf 的定义域的定义域例例1 1二元函数的图形通常是一张二元函数的图形通常是一张曲面曲面.二元函数二元函数 的图形的图形),(yxfz xyzoxyzsin 再如再如,图形如右图图形如右图.2222azyx 例如例如,左图球面左图球面.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 单值分支单值分支:设设二二元元函函数数),(

10、yxfz 在在聚聚点点),(000yxP的的某某一一去去心心邻邻域域内内有有定定义义, ,如如果果存存在在常常数数A， 对对0 , ,0 , ,只只要要 2020)()(0yyxx, ,恒恒有有 三、多元函数的极限三、多元函数的极限定义定义， Ayxf),(则称函数则称函数),(yxfz 当当),(),(00yxyx时以时以A为极为极限限, ,记为记为 .),(lim),(),(00Ayxfyxyx .)(lim0Apfpp说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限.（3）二元函数的极限运算法则与一元函

11、数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似证证求证求证 .01sin)(lim2222)0 , 0(),( yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx ，22yx , 0 , ，时时当当 )0()0(022 yx， 01sin)(2222yxyx所以原结论成所以原结论成立立例例2 2解解,)sin(lim22222)0 , 0(),(yxyxyxyxyx 原原式式其中其中yxyxyx22)0 , 0(),()sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x.0)sin(lim222)0 , 0(),( yxyxyxyxu2 求极限求极限

12、 .)sin(lim222)0 , 0(),(yxyxyx 例例3 3例例4 42)0 , 0(),()()cos(1limxyxyyx 22)0 , 0(),()(2/)(limxyxyyx .21 例例5 5xyxyxyyx 11lim)0 , 0(),()11(2lim)0 , 0(),(xyxyxyxyyx xyxyyx 112lim)0 , 0(),(.1 注意注意：如何理解二元函数的极限定义与一元函数极限定义有何差异？ 在一元函数的极限中在一元函数的极限中, ,0 xx 的方式可以任意； 同理的方式可以任意； 同理, ,在二元函数的极限中在二元函数的极限中, ,),(),(000y

13、xPyxP的方式更为的方式更为复杂复杂, ,它要求它要求P以任何方式趋于以任何方式趋于0P时时, , ),(yxf均趋于均趋于A. .因此因此, ,假如假如P以不同的方式趋于以不同的方式趋于0P时时, ,),(yxf趋于不趋于不同的极限同的极限, ,则说明则说明),(yxf当当0PP 时无极限时无极限. . 确定二重极限确定二重极限不存在不存在的方法：的方法：(1) 令令),(yxP沿沿kxy 趋趋向向于于),(000yxP, 若若极极限限值值与与 k 有有关关，则则可可断断言言极极限限不不存存在在； (2) 找两种不同趋近方式，使找两种不同趋近方式，使 存在存在, 但两者不相等但两者不相等,

14、 此时也可断言此时也可断言),(yxf在点在点),(000yxP处处极限不存在极限不存在 ),(lim),(),(00yxfyxyx考考察察22),(yxxyyxf 当当)0 , 0(),(yx时时的的极极限限. . 但但如如果果沿沿射射线线)0( kkxy, ,则则 因因此此, ,当当)0 , 0(),(yx时时, ,22yxxy 无无极极限限. . 例例6 6解解沿沿 x 轴考察轴考察, , ，0),(lim0 )0 , 0(),( yxfyyx沿沿 y 轴考察轴考察, , ，0),(lim0 )0 , 0(),( yxfxyx22 )0 , 0(),(limyxxykxyyx 22220

15、limxkxkxx ，012 kk设设二二元元函函数数),(yxfz 在在聚聚点点),(000yxP的的某某一一邻邻域域内内有有定定义义, ,若若 四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性定义定义，),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx 则则称称),(yxfz 在在),(00yx处处连连续续. . 例例如如, ,22yxxy 当当)0 , 0(),(yx时时无无极极限限, ,故故在在)0 , 0(处处不不连连续续； 函函数数)tan(),(22yxyxf 的的间间断断点点在在一一系系列列圆圆周周 21222 kyx上上)0( k. . 讨论函数讨论函数 )0 , 0(),(

16、, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)处的连续性处的连续性解解取取,cos x， sin y)0 , 0(),(fyxf )cos(sin33 ， 2 例例7 7， 2)0 , 0(),(fyxf故函数在故函数在(0,0)处连续处连续., )0 , 0(),(lim )0 , 0(),(fyxfyx ,0 ,2 时，时，当当 220yx，其中其中22yx 讨论函数讨论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性解解取取，kxy 其值随其值随 k 的不同而变化，极限不存的不同而变化，极限不存在在故函数在故函数在(

17、0,0)处不连续处不连续例例8 822 )0 , 0(),(limyxxykxyyx 22220limxkxkxx ，21kk xyxyyx11lim)0 , 0(),( )11(11lim)0 , 0(),( xyxyxyyx111lim)0 , 0(),( xyyx.21 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的例例9 9 所以对多元初等函数来说所以对多元初等函数来说, , 可以用可以用“代入代入法法”求极限求极限. .yxxyyx elim)1 ,0(),(.1 例例1010闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D上的多

18、元连续函数，必定上的多元连续函数，必定在在D上有界，且能取得它的最大值和最小值上有界，且能取得它的最大值和最小值 在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数必取得上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值介于最大值和最小值之间的任何值. .（1 1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2 2）介值定理）介值定理练习：练习：P62 习题习题9-15. 6.(2)(4)(5)(6) 7.(2) 9. 定义定义 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某一的某一邻域内有定义，当邻域内有定义，当 y 固定在固定在0y而而 x 在在0 x处有处有增量增量x 时，时，如果如果极限

19、极限 第二节第二节 偏导数偏导数一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法存存在在，则则称称此此极极限限为为函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx处处对对 x 的的偏偏导导数数，记记为为 xyxfyxxfx ),(),(lim00000，00yyxxxz .00yyxxxz 或或类似类似可定义可定义函数函数),(yxfz 在点在点),(00yx处对处对 y 的偏的偏导数导数，为为 yyxfyyxfy ),(),(lim00000偏导函数偏导函数: :记为记为，00yyxxyz .00yyxxyz 或或,yzxz .yxzz ，或或2.2.偏导数偏导数的概念可以推广到二元以上函

20、数的概念可以推广到二元以上函数.说明说明: : 1.1.偏导数实质上仍然是一元函数的微分问题偏导数实质上仍然是一元函数的微分问题. . 求求 223yxyxz 在在点点)2 , 1(处处的的偏偏导导数数 解解 xz;32yx yz.23yx ，821 yxxz.721 yxyz例例1 1设设yxz )1, 0( xx， 证证 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 所以原结论成立所以原结论成立例例2 2求求证证 zyzxxzyx2ln1 . 解解例例3 3.)arctan(偏导数偏导数求求的的zyxu ；zzyxyxzxu21

21、)(1)( ；zzyxyxzyu21)(1)( .)(1)ln()(2zzyxyxyxzu 设设 223arctan)2(),(yxxyxxyyxf , ,求求)1, 2(yf . . 此此题题若若先先求求出出),(yxfy, ,再再代代入入, ,则则麻麻烦烦. . 解解例例4 4.6)1 , 2( yf，26), 2(yyfy ，32), 2(yyf 注意：注意： 可看作微商，可看作微商， 是整体记号。是整体记号。.dxdy.xf偏导数的几何意义偏导数的几何意义,),(),(,( 00000上一点上一点为曲面为曲面设设yxfzyxfyxM 曲面被平面曲面被平面0yy 所截所截 得的曲线得的曲

22、线 00),(yyyxfz ，在在点点0M处处的的切切线线xTM0对对 x 轴轴的的斜斜率率： ),(00yxfx 同同理理，偏偏导导数数),(00yxfy就就是是曲曲面面被被平平面面0 xx 所所截截得得的的曲曲线线在在点点0M处处的的切切线线yTM0对对 y 轴轴的的斜斜率率. 多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，例如例如,函数函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,已已经经求求得得，0)0 , 0()0 , 0( yxff. 但函数在该点处并

23、不连续但函数在该点处并不连续.偏导数存在偏导数存在 连续连续.求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义定义求求.解解xfxffxx )0 , 0()0 ,0(lim)0 , 0(0，0 .0)0 , 0( yf例例5 5同理同理, ,xx 00lim0，设设 0 , 0 0 ,),(222222yxyxyxxyyxf).0 , 0( ),0 , 0(yxff求求),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为混合偏导数混合偏导数二、高阶

24、偏导数二、高阶偏导数 设设 13323 xyxyyxz， 解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx例例6 6求求 22xz 、xyz 2、yxz 2、22yz 及及 33xz . 解解,cosebyaxuax ;sinebybyuax ,cose222byaxuax ,cose222bybyuax ,sine2byabyxuax .sine2byabxyuax 例例7 7，设设byuaxcose 求二阶偏导数求二阶偏导数. . 一一般般地地,

25、 ,若若yxz 2与与xyz 2是是连连续续函函数数, ,则则必必相相等等. . 以后如无特别说明以后如无特别说明, ,均假定如此均假定如此. . 证证, )ln(21ln 2222yxyx , 22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)( 222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu .0 2222 yuxu验证函数验证函数 22ln),(yxyxu 满足拉普拉斯方程满足拉普拉斯方程 .02222 yuxu例例8 8 含有含有 抽象函数抽象函数 记号的函数求记号的函数求 二阶偏导二阶偏导 情况情况 .05(,)()(

26、)(),(22222222222222xuyxuDyuyxuCyuxuByuxuAdttyxyxyxuyxyx年考研试题）。（）则必有，具有一阶导数，二阶导数具有其中函数设函数,)()()( )( yxyxyxyxux解：,)( )( )( )( yxyxyxyxuxx,) 1()()() 1()( )( yxyxyxyxuy22) 1()( )( ) 1()( )( yxyxyxyxuy;)( )( )( )( yxyxyxyx.B选）年考研试题求且具有二阶连续导数设2005(.,)()(),(,)(222222ygyxgxyxyfxyfyxguf;)( )( 1)( )()( 22yxfx

27、yfxyyyxfyxyxyfxg解：;1)( 2)( )()( )( )( (322222yyxfxyxyfxyxyfyxfxyfxyxgx;)( )( 2)( 222222yxfyxxyfxyxyfxyxgx;)( )()( 1)()( )(1)( 2yxfyxyxfxyfxyxyxfyyxfxxyfyg)()( )( )()( )( 1222222yxyxfyxyxfyxyxyxfxyfxyg;)( )( 1322yxfyxxyfx)( )( 222222yxfyxxyfxyygy;)( )( 2)( 222222yxfyxxyfxyxyfxyxgx.)( 2222222xyfxyygyx

28、gx;)( )( 132222yxfyxxyfxyg练习：练习：P169 习题习题9-21.(1)(4)(6)(7) 4. 6.(2)(3) 8. 9.(2) 第三节第三节 全微分全微分回顾回顾: :如如果果对对一一元元函函数数),(xfy ,)(0可可微微在在点点则则称称函函数数xxfy , )( xoxAy )0( x)()(00 xfxxfy 能表示成能表示成的的微微分分为为并并且且称称函函数数)(xfy ,ddxAxAy 实际上实际上, )(xfA .)(dxxfy 即即二元函数的可微和全微分二元函数的可微和全微分定义定义二二元元函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx处处的的全

29、全增增量量 ),(),(0000yxfyyxxfz 如果可以表示为如果可以表示为 ，)( oyBxAz 其其中中BA,与与yx ,无无关关, ,22yx , , 则称则称),(yxfz 在点在点),(00yx处处可微可微分分, ,而而 yBxA 称称为为),(yxfz 在在),(00yx处处的的全全微微分分, ,记记为为 zd, ,即即 .dyBxAz 性性质质 如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yx可可微微分分, 则则函函数数在在该该点点连连续续. 事实上事实上, )( oyBxAz 若若,0lim0 z 则则),(lim)0 , 0(),(yyxxfyx ),(lim0zyxf

30、 ，),(yxf 故故函函数数),(yxfz 在在点点),(yx处处连连续续. 即即证明证明可微可微 连续连续 定理定理 1 1( (必要条件必要条件) ) 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分，则该函数在点可微分，则该函数在点),(yx的偏导数的偏导数 xz 、yz 必必存在，且函数存在，且函数),(yxfz 在点在点),(yx的全微分为的全微分为 .dyyzxxzz 证证，)( oyBxAz 令令 0 y， 则则| x , xyxfyxxfxzx ),(),(lim0同理可得同理可得.yzB xxoxAx |)(|lim0,A 可微可微 可偏导可偏导 .000),(22

31、2222 yxyxyxxyyxf在在点点)0 , 0(处处有有 0)0 , 0()0 , 0( yxff, )0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 注注：逆定理不成立：逆定理不成立, ,即可偏导不一定可微即可偏导不一定可微, ,见下面反见下面反例例. . 22220/limyxyxyxxyx 220limxxxxx 21 ，0 所以所以，)()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 即即),(yxf在在) 0 , 0(处处不不可可微微. . 定定理理( (充充分分条条件件) ) 如如果果函函数数),(yxfz 的的偏偏导导数数 xz 、yz 在在点点),(yx

32、连连续续，则则该该函函数数在在点点),(yx可可微微分分 ( (证证略略) ) 以以上上内内容容类类似似地地可可以以推推广广到到三三元元或或三三元元以以上上的的多多元元函函数数, ,如如三三元元函函数数),(zyxfu 可可微微, ,则则全全微微分分为为 习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为 .dddyyzxxzz .ddddzzuyyuxxuu 求求22yyxz 的的全全微微分分. . 解解例例1 1，xyxz2 ，yxyz22 .d)2(d2d2 yyxxxyz 所所以以例例2 2解解，zyxxu 2，zxyyu 2，yxzzu 2所所以以在在点点) 1 , 1 , 1 (处处的的全全微微

33、分分为为 .d4d4d4dzyxu 多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可偏导函数可偏导年考研试题）求：设二元函数05(.,)1ln()1()0, 1(dzyxxezyx10)0,1()01ln()1(xxxxxez解：;2)(1exeexxx01)0,1()1ln(2(yyyyez;2)12(01eyeyy.)2(2)0 , 1 ()0 , 1 ()0 , 1 (dyeedxdyzdxzdzyx.)2, 1 (,1)6()(,)(21212022yxyxdzdzfxfdttfz求：为连续函数，已知,)2(2)2(

34、)2(21)(212222222022yxfxyxyxfdttfzxxyxx,)2()2()2(21)(212222222022yxfyyxyxfdttfzyyyxy,2)6(2)212(12)2 , 1 (22ffzx.)(2)2 , 1 ()2 , 1 (dydxdyzdxzyx2121)()2, 1(yxyxyxdyzdxzdzdz,2)6(2)212(2)2 , 1 (22ffzy练习：练习：P75 习题习题9-31.(1)(4) 2. 3.证略证略第四节第四节 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则定理定理 如果函数如果函数)(tu 及及)(tv 都在点都在点t t可可导，函数

35、导，函数),(vufz 在对应点在对应点),(vu具有连续偏具有连续偏导数，则复合函数导数，则复合函数)(),(ttfz 在对应点在对应点t t可导，且其导数可用下列公式计算：可导，且其导数可用下列公式计算： uvtz一、复合函数的中间变量均为一元函数的情形一、复合函数的中间变量均为一元函数的情形 .ddddddtvvztuuztz uvwtz以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为tzdd类类似似地地, ,若若中中间间变变量量为为三三个个, ,),(wvufz , ,)(tu , , )(tv , ,)(tw , ,则则复复合合函函数数)(),(),(tttfz 的的导导数数为为 .ddd

36、dddddtwwztvvztuuztz 设设vuz 2, ,xvxue ,sin , ,求求xzdd. . 解解例例1 1xvvzxuuzxzdddddd xxuecos2 .e2sinxx xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz .二、复合函数的中间变量均为多元函数的情形二、复合函数的中间变量均为多元函数的情形. .定定理理 设设),(vufz 具具有有连连续续偏偏导导数数, ,),(yxu , , ),(yxv 可可偏偏导导, ,则则复复合合函函数数),(),(yxyxfz 可可偏偏导导, , 且且有有 链式法则如图示链式法则如图示uvxzy vz,xv yz uz二、复合函数的中

37、间变量均为多元函数的情形二、复合函数的中间变量均为多元函数的情形. .定定理理 设设),(vufz 具具有有连连续续偏偏导导数数, ,),(yxu , , ),(yxv 可可偏偏导导, ,则则复复合合函函数数),(),(yxyxfz 可可偏偏导导, , 且且有有 链式法则如图示链式法则如图示uvxzy xz uzxu yu vz.yv xwwzxvvzxuuzxz ,zwvuyxywwzyvvzyuuzyz .类类似似地地, ,设设),(wvufz , ,),(yxu , ,),(yxv , , ),(yxw , ,则则复复合合函函数数),(),(),(yxyxyxfz 的的偏偏导导数数为为

38、三、中间变量既有一元函数又有多元函数的情形三、中间变量既有一元函数又有多元函数的情形. .定定理理 设设),(vufz 具具有有连连续续偏偏导导数数, ,),(yxu 可可偏偏导导, ,)(yv 可可导导, ,则则复复合合函函数数)(),(yyxfz 可可偏偏导导, ,且且有有 ，xuuzxz .ddyvvzyuuzyz 即即,),(yxyxfz 又如又如,，),(yxufz ),(yxu 其中其中,xfxuufxz .yfyuufyz 注意两者的区别注意两者的区别把把复复合合函函数数,),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不变变而而对对 x 的的偏偏导导数数 把把),(yxufz 中中的的

39、 u 及及 y 看看作作不不变变而而对对 x 的的偏偏导导数数 ,xfxuufxz 设设vezusin ，而而xyu ，yxv ， 解解1cosesine vyvuu,)cos()sin(eyxyxyxy 1cosesine vxvuu.)cos()sin(eyxyxxxy 例例1 1求求 xz 和和 yz . xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 设设 tuvzsin ，而而 teu ，tvcos ， 解解tztvvztuuztz ddddddttuvtcossine tttttcossinecose .cos)sin(cosetttt 例例2 2.ddtz求求全全导导数数解解例例3

40、3设设22 ,yxuxyuz , ,求求yzxz ,. . xfxuufxz yuxxy 2，323yyx yuufyfyz yxyxu2 .323xyx 令令 xyuuyxfz ),(, , 或用求导法则，或用求导法则，)(xuyuyxz 等等，)3(22yxy 设设 ),(xyzzyxfw ， f 具具有有二二阶阶连连续续偏偏导导数数， 解解令令, zyxu ;xyzv 记记,),(1uvuff ,),(212vuvuff xwxvvfxuuf ;21fyzf 例例4 4求求 xw 和和 zxw 2. . 同理有同理有,2f ,11f ，22f 等等等等. . zxw2)(21fyzfz

41、;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf ),(xyzzyxfw 练习：练习：P82 习题习题9-42. 3. 6. 8.(3) 11. 第五节第五节 隐函数的求导公式隐函数的求导公式一、一个方程的情形一、一个方程的情形一元隐函数存在定理一元隐函数存在定理 设设函函数数),(yxF满满足足: : 1 1) ) 0),(00 yxF； 2 2) ) 在在点点),(00yxP的的某某一一邻邻域域内

42、内F具具有有连连续续偏偏导导数数yxFF ,； 3 3) ) 0),(00 yxFy, , 则在点则在点),(00yxP的某一邻域内存在惟一的隐函数的某一邻域内存在惟一的隐函数)(xfy , ,满足满足0),( yxF( (当然当然)(00 xfy ),),且且有连续的导数有连续的导数 .ddyxFFxy ( (证略证略) ) 推导推导: : ，0)(,),( xfxFyxF，0dd xyyFxF，0 yF.dd yxFFxy 例例1 1Kepler方程方程 yxysin )10( . . ，取取yxyyxFsin),( ，0cos1 yFy 故故隐隐函函数数)(xfy 必必定定存存在在( (

43、但但写写不不出出显显式式) ). . 例例2 2设设0esin2 xyyx, ,求求xydd. . ，令令2esin),( xyyyxFx 解解，2eyFxx ，xyyFy2cos 则则所以所以yxFFxy dd.2cose2xyyyx 注注: : 也可用一元隐函数求导法求解也可用一元隐函数求导法求解: : 方程两边关于方程两边关于x求导求导, ,得得 ，0)2(ecos2 yxyyyyx解得解得.2cose2xyyyyx 二元隐函数存在定理二元隐函数存在定理 设设函函数数),(zyxF满满足足: : 1 1) ) 0),(000 zyxF； 2) 2) 在点在点),(000zyxP的某一邻域

44、内的某一邻域内F具有连续偏导数具有连续偏导数zyxFFF ,； 3 3) ) 0),(000 zyxFz, , 则则在在点点),(000zyxP的的某某一一邻邻域域内内存存在在惟惟一一的的隐隐函函数数),(yxfz , , 满满足足0 ),(, yxfyxF( (当当然然),(000yxfz ) ), ,且且有有连连续续的的偏偏导导数数 ( (证略证略) ) ，zxFFxz .zyFFyz 推推导导: 0),(,),( yxfyxFzyxF, 对对x求求偏偏导导, ,得得 0 xzFFzx, 而而0 zF zxFFxz . 对对y求求偏偏导导, ,得得 0 yzFFzy, 而而0 zF zyF

45、Fyz . 设设04222 zzyx，求求 22xz . 解法一解法一令令则则,4),(222zzyxzyxF ,2xFx , 42 zFz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 例例3 3视视z为为yx,的的二二元元函函数数),(yxzz , ,方方程程两两边边关关于于x求求偏偏导导, ,得得 zxxz 2, 设设04222 zzyx，求求 22xz . 解法二解法二例例3 30422 xzxzzx上式两边再次关于上式两边再次关于x求偏导求偏导, , ,02)(122222 xzxzzxzzxzxz 2)(1222 解

46、解得得.)2()2(322zxz 二、方程组的情形二、方程组的情形 0),(0),(vuyxGvuyxF在在一一定定的的条条件件下下确确定定隐隐函函数数 ),(),(yxgvyxfu. . 向量值隐函数存在定理向量值隐函数存在定理 设设函函数数),(vuyxF, ,),(vuyxG满满足足: : 1 1) ) 0),(0000 vuyxF,0),(0000 vuyxG； 2 2) ) 在在点点),(0000vuyxP的的某某一一邻邻域域内内GF,具具有有连连续续偏偏导导数数； 3 3) ) 在在点点),(0000vuyxP上上Jacobi行行列列式式 ，0),(),( vGuGvFuFvuGF

47、J则则方方程程组组 0),(0),(vuyxGvuyxF在在点点),(0000vuyxP的的某某一一邻邻域域内内确确定定惟惟一一的的( (向向量量值值) )隐隐函函数数 ),(),(yxgvyxfu, ,满满足足 ),(),(000000yxgvyxfu, ,且且有有连连续续的的偏偏导导数数 ，vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu ),(),(1，vuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv ),(),(1,),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu .),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv ，vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu

48、),(),(1Cramer法则：法则： 22221211212111bxaxabxaxa，122221121122211)(ababxaaaa ，211222111222211aaaaababx ,21122211aaaa 2221211ababD 22211211 aaaaD 记记,122221abab ，类似类似211222112111122aaaaababx 则方程组有唯一解则方程组有唯一解,2211DDxDDx ，211222111222211aaaaababx ,21122211aaaa 2221211ababD 22211211 aaaaD 记记,122221abab ，类似类似2

49、11222112111122aaaaababx 2211112babaD ,211112abab 0),(),(,0),(),(,yxvyxuyxGyxvyxuyxF, 0 vuvuGGFFJ, 对对x求偏导求偏导, ,得得 推导：推导： 00 xvGxuGGxvFxuFFvuxvux由由Cramer法则法则, , 由于系数行列式由于系数行列式 可以解出上述结果可以解出上述结果. . 设设0 yvxu，1 xvyu， 求求 xu ，yu ，xv 和和 yv . 解法一解法一 直接代入公式，此法麻烦直接代入公式，此法麻烦.解法二解法二运用公式推导的方法，运用公式推导的方法，解方程组解方程组,将所

50、给方程的两边对将所给方程的两边对x求导并移项求导并移项, vxvxxuyuxvyxuxxyyxJ ,22yx 例例4 4xyyxxvyuxu ,22yxyvxu xyyxvyuxxv ,22yxxvyu 将所给方程的两边对将所给方程的两边对y求导，用同样方法得求导，用同样方法得,22yxyuxvyu .22yxyvxuyv , vxvxxuyuxvyxux，的的条条件件下下在在022 yxJ设设 203222222zyxyxz, , 求求 xydd, ,xzdd. 视视)(xyy , ,)(xzz , ,方方程程组组两两边边关关于于x求求导导, ,得得 0dd6dd42dd22ddxzzxyyxxyyxxz, 例例5 5解解解方程组得解方程组得 ，)13(2)16(dd zyzxxy.13dd zxxz， xxzzxyyxxzxyydd3dd22dddd2.()2(;1,考研试题）（求：已知例：xyxuuuxyeu xxuxyeuyxuux)()(),(：注意其中求偏导，在方程两边对解：;1uxxuxeyuyueu：仍注意其中求偏导，边再对求偏导后所得等式两在原方程对),(yxuuyx1)()( xyuxy