第9章 多元函数微分法及其应用(2)

1、1第八章第八章 多元函数多元函数微分法及微分法及其应用其应用 21. 设空间曲线的方程设空间曲线的方程)1()()()( tztytx ozyx(1)式中的三个函数均可导式中的三个函数均可导.第六节第六节 偏导数在几何上的应用偏导数在几何上的应用M.),(0000tttzzyyxxM 对应于对应于;),(0000ttzyxM 对应于对应于设设M 一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面3考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程zzzyyyxxx 000t t t 上式分母同除以上式分母同除以, t ozyxMM 割线割线 的方程为的方程为MM ,000zzz

2、yyyxxx 4,0,时时即即当当 tMM得曲线在得曲线在M处的切线方程处的切线方程.)()()(000000tzztyytxx 切线的方向向量称为曲线的切线的方向向量称为曲线的切向量切向量： )(),(),(000tttT 法平面法平面：过：过M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面,0)()()(000000 zztyytxxt t t t ,000zzzyyyxxx 5解解例例1 1)22, 1, 12( 处处的的切切线线及及法法平平面面方方程程. . 点点)22, 1, 12( 对应的参数对应的参数2 t, , ，txcos1 ，tysin ，2cos2tz 所以在该点处的切向量为所

3、以在该点处的切向量为 求求曲曲线线ttxsin , ,tycos1 , ,2sin4tz 在在点点 ,2, 1, 1 T所求所求切线方程为切线方程为 ,22211112/ zyx 法平面方程为法平面方程为 ，0)22(2112/ zyx .42/2 zyx即即62. 设空间曲线方程为设空间曲线方程为,)()( xzxy ,),(000处处在在zyxM,)()(100000 xzzxyyxx . 0)()()(00000 zzxyyxxx 法平面方程为法平面方程为切线方程为切线方程为7,0),(0),( zyxGzyxF切线方程为切线方程为,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGF

4、FyyGGFFxx 法平面方程为法平面方程为.0)()()(000000 zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy3. 设空间曲线方程为设空间曲线方程为8求求曲曲线线6222 zyx，0 zyx在在点点 例例2 2)1, 2, 1( 处处的的切切线线及及法法平平面面方方程程. 解解将所给方程的两边对将所给方程的两边对x求导并移项，得求导并移项，得 ， 1ddddddddxzxyxxzzxyy，011 zyzyJ解得解得Jzxxy11dd ，zyxz Jxyxz11dd ，zyyx ,0dd Pxy,1dd Pxz9,1, 0, 1 T所求切线方程为所求切线方程为,11021

5、1 zyx法平面方程为法平面方程为, 0)1()2(0)1( zyx.0 zx由此得切向量由此得切向量 即即101. 曲面方程为曲面方程为0),( zyxF在曲面上任取一条通在曲面上任取一条通过点过点M的曲线的曲线,)()()(: tztytx 二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线nTM并并设设0tt 时时对对应应点点M. 11nTM由由于于曲曲线线在在曲曲面面上上, ,故故有有 ，0)(),(),( tttF 两边关于两边关于 t 求导求导, ,得得 ，0)()()( tFtFtFzyx ，0)()()(000 tFtFtFMzMyMx 所以所以而而)(),(),(000ttt 为为

6、曲曲线线上上过过点点),(000zyxM 的切向量的切向量, ,上式表明它与向量上式表明它与向量,MzMyMxFFFn 垂直垂直. .12 这个平面称为曲面在该点的这个平面称为曲面在该点的切平面切平面, , 切平面方程为切平面方程为,0)()()(000 zzFyyFxxFMzMyMx通通过过点点),(000zyxM而而垂垂直直于于切切平平面面的的直直线线称称为为 曲曲面面在在该该点点的的法法线线. 法线方程为法线方程为.000MzMyMxFzzFyyFxx n称称为为曲曲面面的的法法向向量量, , nTM由由 的的任任意意性性, ,曲曲面面上上所所有有过过点点M的的曲曲线线的的切切线线均均在

7、在过过M且且以以n为为法法向向的的平平面面上上, , 13求求球球面面14222 zyx在在点点)3 , 2 , 1 (0M处处的的切切平平面面及及法法线线方方程程. . 例例3 3解解令令 14),(222 zyxzyxF, , 则则 ,zyxFFFn ，2,2,2zyx 6, 4, 20 Mn，3, 2, 1/所求所求切平面方程为切平面方程为 ，0)3(3)2(2)1( zyx.01432 zyx即即所求法线所求法线方程为方程为 .332211 zyx14),(yxfz 曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在

8、M处的法线方程为处的法线方程为.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxF 令令xxfF , yyfF , 1 zF, 法法向向量量1, yxffn, , 2. 曲面方程为曲面方程为15)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量的全微分的全微分在点在点函数函数),(),(00yxyxfz 因为曲面在因为曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为),(yxfz 在在),(00yx的全微分，表示的全微分，表示曲面曲面),(yxfz 在点在点),(000zyx处的处的切平面上的点的竖坐标的增

9、量切平面上的点的竖坐标的增量.全微分的几何意义全微分的几何意义 16例例4 4求求旋旋转转抛抛物物面面122 yxz在在点点)4 , 1 , 2(处处的的切切平平面面及及法法线线方方程程. 解解, 1),(22 yxyxf)4, 1 ,2()4, 1 ,2(1,2,2 yxn,1, 2, 4 切平面方程为切平面方程为, 0)4()1(2)2(4 zyx, 0624 zyx法线方程为法线方程为.142142 zyx17求求曲曲面面2132222 zyx平平行行于于平平面面064 zyx的的切切平平面面方方程程. 解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,),(000zyx依题意，切平面方程平行于已

10、知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx 例例5 5法法向向量量 6,4,2000zyxn , , 因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，),(000zyx, 10 x所求切点为所求切点为满足曲面方程满足曲面方程),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 2132222 zyx180)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)19练习：练习：P45 习题习题8-62. 4. 5. 6. 8. 10. 20第七节第七节 方向导数与梯

11、度方向导数与梯度一、方向导数一、方向导数 偏导数仅仅反映了函数偏导数仅仅反映了函数),(yxfz 沿沿x轴或轴或y轴轴方向的变化率方向的变化率. .下面考虑函数下面考虑函数),(yxfz 沿某个方向沿某个方向)sin,(cos l 的变化率的变化率. . oyxlP xyP引射线引射线内有定义，自点内有定义，自点的某一邻域的某一邻域在点在点设函数设函数lPPUyxPyxfz)(),(),( ).(),(, pUPlyyxxPlx 上的另一点且上的另一点且为为并设并设为为的转角的转角轴正向到射线轴正向到射线设设 21 |PP,)()(22yx ),(),(yxfyyxxfz 且且当当 沿着沿着

12、l 趋于趋于P 时，时，P , z 考虑考虑 ),(),(lim0yxfyyxxf 是否存在？是否存在？oyxlP xyP定义定义若极限若极限 ),(),(lim0000sin:cos:0 yxfyyxxfyx )(22yx 存存在在, ,则则称称之之为为函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx处处沿沿方方向向 .lz )sin,(cos l的的方方向向导导数数, ,记记为为 22如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yxP是是可可微微分分的的, , 那那末末函函数数在在该该点点沿沿任任意意方方向向 l 的的方方向向导导数数都都 证明证明由于函数可微，则增量可表示为由于函数可微，

13、则增量可表示为)(),(),( oyyfxxfyxfyyxxf 两边同除以两边同除以, 得到得到定理定理其其中中 为为 x 轴轴到到方方向向 l 的的转转角角. . ， sincosyfxflf 存在存在, , 且有且有23 cos故有方向导数故有方向导数 ),(),(lim0yxfyyxxf .sincos yfxf lf sin )(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf 24求求函函数数yxz2e 在在点点)0 , 1(P处处沿沿从从点点)0 , 1(P到到点点) 1, 2( Q的的方方向向的的方方向向导导数数. 解解;1e)0, 1(2)0, 1( yxz,2e2)0, 1(2)0

14、, 1( yxyz1, 1 PQ,单单位位化化得得 21,21l, , 例例1 1所求方向导数所求方向导数 212211)0 , 1( lz.21 25求函数求函数22),(yxyxyxf 在点在点(1,1)沿沿与与x轴方向夹角为轴方向夹角为 的方向射线的方向射线 l的方向导数的方向导数.并问在怎样的方向上此方向导数有并问在怎样的方向上此方向导数有 (1)最大值；最大值； (2)最小值；最小值； (3)等于零？等于零？ 解解 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf ,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx sincos),4sin(2 例例2

15、 226故故（1）当）当4 时，时，方方向向导导数数达达到到最最大大值值2;（2）当当45 时时，方方向向导导数数达达到到最最小小值值2 ;（3）当）当43 和和47 时，时，方向导数等于方向导数等于 0.)4sin(2)1 , 1( lf27求求函函数数)ln(yxz 在在抛抛物物线线xy42 上上点点)2 , 1(处处, ,沿沿着着这这抛抛物物线线在在该该点点处处偏偏向向x轴轴正正向向的的切切线线方方向向的的方方向向导导数数. . 解解 sin1cos1)2, 1()2, 1(yxyx 例例3 3，42 yy，1)2, 1( y抛抛物物线线xy42 上上点点)2 , 1(处处的的切切向向量

16、量( (偏偏向向x轴轴正正向向) )为为 ,11)1(, 1， yT单位化单位化,11210， T sin)2 , 1(cos)2 , 1()1 , 1(yxfflf .32 28对于三元函数对于三元函数),(zyxfu ，它在空间一点，它在空间一点),(zyxP沿着方向沿着方向 L的方向导数为的方向导数为 三元函数的方向导数三元函数的方向导数， coscoscoszfyfxflf 其其中中 ,为为方方向向 L 的的方方向向角角. 29设设n是曲面是曲面632222 zyx 在点在点)1 , 1 , 1(P处的指处的指向外侧的法向量，求函数向外侧的法向量，求函数2122)86(1yxzu 在此

17、处沿方在此处沿方向向n的方向导数的方向导数. 解解令令, 632),(222 zyxzyxFPzyxFFFn, 2, 6, 4 例例4 4，1, 3, 2141/PPyxzxxu22866 ;146 PPyxzyyu22868 ;148 PPzyxzu22286 .14 .711 故故PPzuyuxunu)coscoscos( 30定定义义 设设函函数数),(yxfz 在在平平面面区区域域 D 内内具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数，则则对对于于每每一一点点DyxP ),(，都都可可定定出出一一个个向向量量jyfixf ，这这向向量量称称为为函函数数),(yxfz 在在点点),(yxP的的梯

18、梯度度，记记为为 二、梯度二、梯度.),(gradjyfixfyxf gradient31在在点点),(000yxP处处沿沿方方向向sin,cos l的的方方向向导导数数 当当0 , ,即即fflgradgrad 时时, ,方方向向导导数数取取到到最最大大值值flzgrad , ,即即沿沿梯梯度度方方向向函函数数值值增增加加最最快快; ; cos),(cos),(0000 yxfyxflzyxlyxf ),(grad00， cosgrad f 其中其中),grad(lf 当当 , ,即即fflgradgrad 时时, ,方方向向导导数数取取到到最最小小值值flzgrad , ,即即沿沿梯梯度度

19、相相反反方方向向函函数数值值减减少少最最快快. . 32),(yxfz 在几何上在几何上 表示一个曲面表示一个曲面,曲面被平面曲面被平面 截得曲线截得曲线cz ,),( czyxfz所得曲线在所得曲线在xoy面上投影如图面上投影如图oyx2),(cyxf 1),(cyxf cyxf ),(等高线等高线),(gradyxf梯度为等高线上的法向量梯度为等高线上的法向量P,),(cyxf ,0dd yfxfyx,d,dyx切切向向量量33等高线的画法等高线的画法播放播放34图图形形及及其其等等高高线线图图形形函函数数xyzsin 例如例如,35 三元函数三元函数),(zyxfu 在空间区域在空间区域

20、 G内具有内具有一阶连续偏导数，则对于每一点一阶连续偏导数，则对于每一点GzyxP ),(，都可定义一个向量都可定义一个向量(梯度梯度) .),(gradkzfjyfixfzyxf 三元函数的梯度三元函数的梯度例例5 5设设函函数数222),(zyxzyxf , ,求求) 2 , 1, 1 (grad f. . 解解,gradzxxffff ，2,2,2zyx .4, 2, 2)2 , 1, 1(grad f所以所以36练习：练习：P51 习题习题8-71. 3. 5. 8. 10. 37第八节第八节 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxex

21、yz 播放播放38 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内有定的某邻域内有定义，对于该邻域内异于义，对于该邻域内异于),(00yx的点的点),(yx：若恒有：若恒有),(),(00yxfyxf ，则称函数在，则称函数在),(00yx有有极大值极大值；若恒有若恒有),(),(00yxfyxf ， 则称函数在， 则称函数在),(00yx有有极极小值小值. . 一、多元函数的极值及最值一、多元函数的极值及最值极大值、极小值统称为极大值、极小值统称为极值极值. . 使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点. . 39(1)(2)(3)例例1 1处有极小值处有极小值

22、在在函数函数)0 , 0(4322yxz 例例处有极大值处有极大值在在函数函数)0 , 0(22yxz 例例处无极值处无极值在在函数函数)0 , 0(xyz 40设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx具有偏导数，且在点具有偏导数，且在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. . 多元函数取得极值的条件多元函数取得极值的条件（称（称驻点驻点） 推广推广 如果三元函数如果三元函数),(zyxfu 在点在点),(000zyxP具具有偏导数，则它在有偏导数，则它在),(000zyxP有极值

23、的必要条件为有极值的必要条件为 0),(000 zyxfx， 0),(000 zyxfy，0),(000 zyxfz. 例如例如, 点点)0 , 0(是函数是函数xyz 的驻点，的驻点，但但不不是是极极值值点点.驻点驻点极值点极值点注意：注意：定理定理1 1（必要条件）（必要条件） 41问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内连续，的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，有一阶及二阶连续偏导数， 设设 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy，定理定理2 2（充分条件）（充分条件）则则),(

24、yxf在在点点),(00yx处处是是否否取取得得极极值值的的条条件件如如下下：令令 Ayxfxx ),(00，Byxfxy ),(00，Cyxfyy ),(00， （1 1）02 BAC时具有极值， 且当时具有极值， 且当0 A时有极大值，时有极大值，当当0 A时有极小值；时有极小值； （2 2）02 BAC时时没没有有极极值值；（3 3）02 BAC时时可可能能有有极极值值, ,也也可可能能没没有有极极值值，还还需需另另作作讨讨论论 CBBA负定负定正定正定42设设xyxyxyxf933),(2233 , ,求求极极值值. . 求求得得驻驻点点：)2 , 1(),2 , 3(),0 , 1(

25、),0 , 3( , , 二二阶阶偏偏导导数数为为：66, 0, 66 yffxfyyxyxx, , CBA 2BAC （- -3,03,0） - -12 0 612 0 6 - - 不是极值不是极值 （1,01,0） 12 0 6 12 0 6 + + 极小值极小值- -5 5 （- -3,23,2） - -12 0 12 0 - -6 6 + + 极大值极大值 3131 （1,21,2） 12 0 6 12 0 6 - - 不是极值不是极值 例例4 4解解，令令 063096322 yyfxxfyx43求最值的一般方法：求最值的一般方法： 将函数在将函数在D内的所有驻点处的函数值及在内的所

26、有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值最大者即为最大值，最小者即为最小值. .多元函数的最值多元函数的最值44求求二二元元函函数数)4(),(2yxyxyxfz 在在直直线线6 yx，x 轴轴和和 y 轴轴所所围围成成的的闭闭区区域域 D 上上的的最最大大值值与与最最小小值值. 解解xyo6 yxD例例5 5先求函数在先求函数在D内的驻点，内的驻点， 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得得区区域域 D 内内唯唯一一驻驻点点)1 , 2(,且且4)1 , 2( f

27、, 再再求求),(yxf在在 D边边界界上上的的最最值值， 解方程组解方程组 在边界在边界0 x和和0 y上上0),( yxf,45在在边边界界6 yx上上，即即xy 6， 得得 4, 021 xx， ,2|64 xxy,64)2 , 4( f 比比较较后后可可知知4)1 , 2( f为为最最大大值值, 64)2 , 4( f为最小值为最小值., )6(223xx )2)(6(2 xxz)60( x,0)4(6 xxz得得区区域域 D 内内唯唯一一驻驻点点)1 , 2(,且且4)1 , 2( f, 在边界在边界0 x和和0 y上上0),( yxf,46一一块块宽宽2 24 4cm的的矩矩形形铁

28、铁皮皮, ,两两边边折折起起, ,做做成成一一个个梯梯形形槽槽, ,当当x和和 为为何何值值时时, ,使使槽槽的的截截面面积积最最大大？ 若根据实际问题若根据实际问题, ,目标函数有最大值目标函数有最大值( (或最小或最小值值),),而在定义区域内部有唯一的极大而在定义区域内部有唯一的极大( (小小) )值点值点, ,则则可以断定该极大可以断定该极大( (小小) )值点即为最大值点即为最大( (小小) )值点值点. . 例例6 6解解 sincos222422421xxxxS ， cossinsin2sin2422xxx 47其其中中 120 x, ,20 , , 注注意意到到 0sin, 0

29、 x, ,化化简简后后解解得得 3, 8 x, , 由由实实际际问问题题可可知知, ,S必必有有最最大大值值, ,且且内内部部唯唯一一驻驻点点, ,故故当当3, 8 x时时, ,槽槽的的截截面面积积最最大大, ,348 最最大大S. . ， cossinsin2sin2422xxxS 0)sin(coscos2cos240cossin2sin4sin242222xxxxSxxSx 令令48 用铁皮做一个有盖的长方形水箱用铁皮做一个有盖的长方形水箱, ,要求容积为要求容积为V, ,问怎么做用料最省？问怎么做用料最省？ 二、条件极值二、条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法设设水水箱箱的的长长、宽

30、宽、高高分分别别为为zyx, ,则则 目目标标函函数数：)( 2zxyzxyS , , 约约束束条条件件：xyzV , , 实际问题中实际问题中, ,目标函数的自变量除了受到定义目标函数的自变量除了受到定义域的限制外域的限制外, , 往往还受到一些附加条件的约束往往还受到一些附加条件的约束, ,这类这类极值问题称极值问题称条件极值条件极值问题问题. . 例例7 7解解 即表面积最小即表面积最小. . ，xyVz 代入目标函数代入目标函数, ,化为无条件极值问题：化为无条件极值问题： xyz49令令 0)(20)(222yVxSxVySyx, , 求得唯一驻点求得唯一驻点3Vyx , ,从而从而

31、3Vz , , 内部唯一驻点内部唯一驻点, ,且由实际问题且由实际问题S有最大值有最大值, ,故做成立方故做成立方体表面积最小体表面积最小. . 这种做法的缺点：这种做法的缺点： 1.1.变量之间的平等关系和对称性被破坏；变量之间的平等关系和对称性被破坏； 2.2.有时解出隐函数困难甚至不可能有时解出隐函数困难甚至不可能. . 目目标标函函数数化化为为：)(2yVxVxyS , , 0, 0 yx 50 要要找找函函数数),(yxfz 在在条条件件0),( yx 下下的的可可能能极极值值点点，解解出出 , yx，其其中中yx,就就是是可可能能的的极极值值点点的的坐坐标标.拉格朗日乘数法拉格朗日

32、乘数法令令,0),(0),(),(0),(),( yxyxyxfyxyxfyyxx 其其中中 为为参参数数， 引入拉格朗日函数引入拉格朗日函数),(),();,(yxyxfyxF 51如如果果目目标标函函数数是是三三元元函函数数),(zyxf, ,且且约约束束条条件件有有两两个个, , 0),( zyxg, ,0),( zyxh, , 则构造拉格朗日函数为则构造拉格朗日函数为 . ),(),(),(),;,(zyxhzyxgzyxfzyxL 令令,0),(0),(),(),(),(0),(),(),(0),(),(),( zyxhzyxgzyxhzyxgzyxfzyxhzyxgzyxfzyxh

33、zyxgzyxfzzzyyyxxx 解解出出zyx,，就就是是可可能能的的极极值值点点的的坐坐标标. 52 用铁皮做一个有盖的长方形水箱用铁皮做一个有盖的长方形水箱, ,要求容积为要求容积为V, ,问怎么做用料最省？问怎么做用料最省？ 例例7 7目目标标函函数数：)( 2zxyzxyS , , 约约束束条条件件：xyzV , , 解解构构作作拉拉格格朗朗日日函函数数 )()( 2VxyzzxyzxyL , , 令令 VxyzxyyxLxzzxLyzzyLzyx0)(20)(20)(2 , , 解解得得唯唯一一驻驻点点, ,3Vzyx , , 由实际问题由实际问题, ,即为最小值点即为最小值点.

34、 . 53在在周周长长为为p2的的一一切切三三角角形形中中, ,求求出出面面积积最最大大的的三三角角形形. . 设设三三角角形形的的三三条条边边长长分分别别为为zyx, , 则则面面积积为为 )()(zpypxppS , , 约约束束条条件件: : pzyx2 , , 目目标标函函数数取取为为：)()(),(zpypxpzyxf , , 令令 pzyxypxpLzpxpLzpypLzyx20)(0)(0)( , , 例例8 8解解，)2()()(pzyxzpypxpL 解得唯一驻点解得唯一驻点 ，pzyx32 即即做成做成正三角形时面积最大正三角形时面积最大. . 54用用一一根根长长为为p2

35、的的铁铁丝丝做做一一个个网网兜兜边边框框： 五五边边形形( (正正) ): : 222752. 051025251pp ； 圆圆：2223183. 0/ ppRS , ,最最大大. . 三角形中三角形中, ,以正三角形面积为最大以正三角形面积为最大: : .1925. 09322pp 四边形中四边形中, ,以正方形面积为最大：以正方形面积为最大： .25. 04122pp 55平平面面0 zyx截截椭椭球球面面124222 zyx 得得一一椭椭圆圆截截线线, ,求求此此椭椭圆圆的的半半轴轴长长. . 在在约约束束条条件件 0 zyx 及及 442222 zyx 例例9 9解解 此椭圆的中心显然

36、是坐标原点此椭圆的中心显然是坐标原点, ,因此问题即求因此问题即求 2222zyxr 下的最大值和最小值下的最大值和最小值. . 作拉格朗日函数作拉格朗日函数 222),(zyxzyxL )(2)442(222zyxzyx 56 (5) 0(4) 442(3) 042/(2) 022/(1) 02/222zyxzyxzzLyyLxxLzyx zyx )3()2()1( 042 r, , 1x, , 21 y, , 41 z, ,代代入入)5(, , 222),(zyxzyxL )(2)442(222zyxzyx 由由570 , 041121111 , 7227222最最小小最最大大r, , 所

37、所以以长长半半轴轴 722 , , ，031414 2 ，72121 2, 1 ， 42 r短短半半轴轴722 . . 58练习：练习：P61 习题习题8-81. 3. 5. 7. 8. 10. 59等高线的画法等高线的画法60等高线的画法等高线的画法61等高线的画法等高线的画法62等高线的画法等高线的画法63等高线的画法等高线的画法64等高线的画法等高线的画法65等高线的画法等高线的画法66等高线的画法等高线的画法67等高线的画法等高线的画法68第八节第八节 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 69第八节第八节 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 70第八节第八节 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 71第八节第八节 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其