Ch2 离散型随机变量及分布

1、StopStop 随机变量的概念随机变量的概念 设随机试验设随机试验E的样本空间是的样本空间是 ，若对每个，若对每个，有，有定义在定义在 上的一个实数上的一个实数X( )与之对应，与之对应，称这样一个定义在称这样一个定义在 上的单值实函数上的单值实函数XX( )为为随机变量（随机变量（Random Variable），），简记为简记为 r.v. X。 随机变量一般用英文大写字母随机变量一般用英文大写字母X、Y、Z等表示等表示 ，也可用希腊字母也可用希腊字母 、 、 等表示。等表示。RXvr :.Stop 一维离散型随机变量的分布律一维离散型随机变量的分布律 全部可能取值为有限个或可列无限个的全

2、部可能取值为有限个或可列无限个的随随机变量为机变量为离散型随机变量离散型随机变量。全部可能取值至多为可列无限个的全部可能取值至多为可列无限个的随机变量为随机变量为离散型随机变量离散型随机变量。若若X为为离散型随机变量，离散型随机变量，其取值为其取值为x1, x2, , xn, ，X取每个可能值的概率为取每个可能值的概率为, 2, 1,)( kxXPk, 2, 1, kxXPpkk记记为为., 2, 1,或概率分布或概率分布的分布律的分布律为为称称XvrkxXPpkk Stop也可表为也可表为, 2, 1,. kxXPpXvrkk的分布律的分布律X PX=xk=pk, (k=1, 2, )，X

3、x1 x2 xn P p1 p2 pn X概率分布表概率分布表或或(1) pk 0, k1, 2, ;分布律的性质分布律的性质.1)2(1 kkpStop 设袋中有设袋中有5只球，编号为只球，编号为1、2、3、4、5，在袋中同时取在袋中同时取3只球，以只球，以X表示取出的表示取出的3只球中只球中的最大号码。试写出的最大号码。试写出X的分布律的分布律。 设设X的分布律为：的分布律为：P(X=k)=a( )k，k=1,2,3，求求a。52Stop 几个常见的离散型分布几个常见的离散型分布1. 退化分布退化分布(单点分布单点分布)XPXa1，其中其中a为常数。为常数。即即X aP 1 X2. (01

4、)分布分布(两点分布两点分布)或或 XPXkpk(1p)1k, (0 p 1) k0，1X 0 1XP 1-p pStop3. 几何分布几何分布 一次试验中只考虑某事件一次试验中只考虑某事件A出现或不出现，出现或不出现，设设P(A)=p， P(A)=1-p。现重复独立地做试验，。现重复独立地做试验，一旦一旦A发生就立即停止试验。发生就立即停止试验。 以以X表示表示A首次发生所需的试验次数，则其首次发生所需的试验次数，则其分布率为：分布率为：XPXk (1p)k1 p, (0 p 0为常数，称为常数，称X服从参数为服从参数为 的的泊松泊松(Poisson)分布分布，记为，记为XP( )。Stop

5、 若若X(t)表示在时间区间表示在时间区间0，t 中某服务台到中某服务台到达的顾客数。若达的顾客数。若X(t) 满足：满足：（1）在不重叠的时间区间内到达的顾客数相互）在不重叠的时间区间内到达的顾客数相互独立（独立（无后效性无后效性）；）；（2）在时间区间）在时间区间a，a+t内到达的顾客数只与时内到达的顾客数只与时间长度有关，而与区间起点间长度有关，而与区间起点a无关（无关（平稳性平稳性）；）；（3）当）当t充分小时，在区间（充分小时，在区间（a，a+t）内到达两）内到达两个或两个以上的顾客不可能（个或两个以上的顾客不可能（普通性普通性）；）；（4）在有限区间中只到达有限个顾客且不可能）在有

6、限区间中只到达有限个顾客且不可能始终没有顾客到达（始终没有顾客到达（非平凡性非平凡性）。）。Stop定理定理 在上述条件下，在长度为在上述条件下，在长度为t的时间区间上到达的时间区间上到达的顾客数的顾客数X(t)服从参数为服从参数为 t的的Poisson分布，其中分布，其中0是一个常数。是一个常数。Stop6. 负二项分布负二项分布 以以X记可列记可列重重贝努里试验中贝努里试验中A恰好恰好发生发生r次次所需的试验次数，则其分布率为：所需的试验次数，则其分布率为：,)1 (11rrkrkppC )(kXP, 2, 1, rrrk称称X服从参数为服从参数为(r，p)的的负二项负二项分布分布，记为，

7、记为XNB(r，p)负二项分布又叫负二项分布又叫帕斯卡帕斯卡(Pascal)分布分布Stop7. 超几何分布超几何分布,nNknMNkMCCC 设设N个元素分为两类，其中个元素分为两类，其中M个属于第个属于第一类，一类，N M个属于第二类。现从中按不重个属于第二类。现从中按不重复抽样取复抽样取n个，以个，以X记这记这n个中属于第一类元个中属于第一类元素的个数。则素的个数。则X的分布律为：的分布律为：,.,2, 1 , 0 k )(kXP),min(Mn称称X服从参数为服从参数为(N，M，n)的的超几何超几何分布分布。Stop 常见分布律之间的关系常见分布律之间的关系1. (01)分布和二项分布

8、的关系分布和二项分布的关系(01)分布是二项分布分布是二项分布B(n, p)中中n1时时的特款。的特款。2. 几何分布和负二项分布的关系几何分布和负二项分布的关系几何分布是负二项分布几何分布是负二项分布NB(r, p)中中r1时时的特款。的特款。Stop3. 超几何分布和二项分布的关系超几何分布和二项分布的关系 设在超几何分布设在超几何分布中，中，n是一个取定的正整数，是一个取定的正整数，而而 ，则则pNMN lim,)1 (limknkkNnNknMNkMNppCCCC k0, 1, 2, , n 当当N充分大时，超几何分布趋向于二项分布。充分大时，超几何分布趋向于二项分布。超几何分布用来描

9、述不放回抽样的情况；超几何分布用来描述不放回抽样的情况；当当N充分大时，两种抽样方式的差别很小。充分大时，两种抽样方式的差别很小。而二项分布则用来描述放回抽样的情况；而二项分布则用来描述放回抽样的情况；Stop4. 二项分布和泊松分布的关系二项分布和泊松分布的关系 设随机变量设随机变量XnB(n, pn), (n0, 1, 2, ), 且且 ， 为常数，则为常数，则0lim nnnp,!)1(lim ekppCkknnknknnk 0, 1, 2, 该定理也称为该定理也称为泊松定理泊松定理。Stop 泊松定理表明，泊松定理表明，泊松分布是二项分布的泊松分布是二项分布的极限分布，当极限分布，当n

10、很大，很大，p很小时，很小时，二项分布就二项分布就可近似地看成是泊松分布，即可近似地看成是泊松分布，即,!)1( ekppCkknkkn其中其中 np. 一般的，当一般的，当n 10 ， p 0.1时就时就可用可用泊松分布泊松分布近似代替二项分布。近似代替二项分布。Stop 某人射击的命中率为某人射击的命中率为0.02，他独立射击，他独立射击400次，试求其命中次数不少于次，试求其命中次数不少于2的概率。的概率。设设X表示表示400次独立射击中命中的次数，次独立射击中命中的次数，则则XB(400, 0.02)，故故PX 2 1 PX0P X110.98400(400)(0.02)(0.9839

11、9)0.997165由于由于 np (400)(0.02)8,故故0,!88 kekkXPXk近似地有近似地有PX 21 PX0P X11(18)e80.996981Stop5. 负二项分布和二项分布的关系负二项分布和二项分布的关系 设设 X B(n, p)，YNB(r, p)，则有，则有; )()()1(rXPnYP ).()()2(rXPnYP Stop 二维离散型随机变量二维离散型随机变量1. 联合分布律联合分布律 若二维随机变量若二维随机变量(X, Y )只能取至多可列个只能取至多可列个值值(xi , yj ), (i , j1, 2, )，则称则称(X, Y )为为二维离二维离散型随

12、机变量散型随机变量。 若二维离散型随机变量若二维离散型随机变量(X, Y ) 取取 (xi , yj )的概的概率为率为pij ,即即 PXxi , Y yj pij ，(i , j1, 2, )则称则称 pij 为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量(X, Y )的的分布律分布律，或随机变量或随机变量X与与Y的的联合分布联合分布律。律。可记为可记为 (X, Y ) PXxi , Y yj pij ，(i , j1, 2, )Stop联合分布联合分布律律的的性质性质( 1 ) pij 0 , i, j1, 2, ；1)2(11 ijijpPXxi , Y yj pij ，(i, j1, 2,

13、 )Stop 二维离散型随机变量的联合分布律二维离散型随机变量的联合分布律也可列表也可列表表示如下：表示如下：X x1 p11 p12 . p1j . x2 p21 p22 . p2j . xi pi1 pi2 . pij . y1 y2 . yj .Y.Stop 盒子里装有盒子里装有3只黑球，只黑球，2只红球，只红球，2只白球，只白球，今在其中任取今在其中任取4只球，以只球，以X表示取到黑球的数目表示取到黑球的数目，以，以Y表示取到红球的数目。试写出表示取到红球的数目。试写出X和和Y的联的联合分布律。合分布律。Stop 边缘分布律边缘分布律若随机变量若随机变量X与与Y的联合分布的联合分布律为

14、律为 (X, Y ) PXxi , Y yj pij ，(i, j1, 2, )则称则称 PXxi pi . ，i1, 2, 1jijp为为(X, Y )关于关于X的边缘分布律的边缘分布律；同理同理 PY yj p.j ，j1, 2, 1iijp称为称为(X, Y )关于关于Y的边缘分布律的边缘分布律。Stop边缘分布律自然也满足分布律的性质：边缘分布律自然也满足分布律的性质： PXxi pi . ，i1, 2, 1jijpPY yj p.j ，j1, 2, 1iijp)0(; 0)1( jipp)1( .1)2(11 jjiippStop 二维离散型随机变量的边缘分布律二维离散型随机变量的边

15、缘分布律也可列表也可列表表示如下：表示如下：.X x1 p11 p12 . p1j . x2 p21 p22 . p2j . xi pi1 pi2 . pij . y1 y2 . yj .Y.pi .p.jp1 .p2 .pi .p.1p.2p.j.1Stop PXxi pi . ，i1, 2, 1jijpPY yj p.j ，j1, 2, 1iijp 设设(X，Y )的联合分布律为：的联合分布律为：试求试求X和和Y的边缘分的边缘分布律。布律。XY 1 1 20 3 2 201211231211211221230121StopXY 1 1 20 3 2 21/12 0 3/122/12 1/1

16、2 1/123/12 1/12 01/31/31/31/21/61/31pi .p.jStop 设设(X，Y )的联合分布律为：的联合分布律为：XY0 1 20 1 24/16 4/16 1/164/16 2/16 01/16 0 0试求试求X和和Y的边缘分布律。的边缘分布律。Stop 条件分布律条件分布律设随机变量设随机变量X与与Y的联合分布的联合分布律为律为 (X, Y ) PXxi , Y yj pij ，(i, j1, 2, )X和和Y的边缘分布律分别为的边缘分布律分别为 PXxipi . ，i1, 2, 和和 PY yj p.j ，j1, 2, Stop若对固定的若对固定的 j, p

17、. j 0, 则称则称|jiyYxXP ,jijpp ,jjiyYPyYxXPi= 1, 2, 为为Y yj 的的条件下，条件下，X的条件分布律。的条件分布律。记为记为 pi | j|jiyYxXP ,jijpp Stop同理，若对固定的同理，若对固定的 i , pi . 0, 则称则称Pj | i,| iijijppxXyYPj= 1, 2, 为为X xi的的条件下，条件下，Y的条件分布律。的条件分布律。条件分布律也满足分布律的性质。条件分布律也满足分布律的性质。Stop 一射手进行射击，命中目标的概率为一射手进行射击，命中目标的概率为p (0 p 1)，射击进行到命中目标两次为止，现射击进

18、行到命中目标两次为止，现用用X 表示首次命中目标所进行的射击次数，用表示首次命中目标所进行的射击次数，用Y 表示总共进行的射击次数。试求表示总共进行的射击次数。试求X 和和Y 的联的联合分布律及条件分布律。合分布律及条件分布律。由题意知（由题意知（X，Y）的分布律为的分布律为PX=m , Y=n p 2 (1p) n 2n=2, 3, ，m=1, 2, , n1；X服从参数为服从参数为p的几何分布，的几何分布， 其分布律为其分布律为PX=m p (1p) m 1， m=1, 2, StopY服从参数为服从参数为 (2, p)的负二项分布，的负二项分布， 其分布律为其分布律为PY=n(n1)p2

19、(1p)n2， n=2, 3, (X和和Y的边缘分布律也可由联合分布律求得的边缘分布律也可由联合分布律求得)于是当于是当n=2, 3, 时时Pm |nPX=m|Y=n ,nYPnYmXP 2222)1 () 1()1 ( nnppnpp,11 nm1, 2, ,n1Stop当当m=1, 2, 时时Pn | mPY=n|X=m ,mXPnYmXP 122)1 ()1 ( mnpppp,)1 (1 mnppnm+1, m+2, Stop 离散型随机变量的相互独立性离散型随机变量的相互独立性设随机变量设随机变量X与与Y的联合分布的联合分布律为律为 (X, Y ) PXxi , Y yj pij ，(

20、i, j1, 2, )若对若对任意的任意的 i、j，有有pij pi . p. j，即即 PXxi , Y yj PXxi PY yj 则称随机变量则称随机变量X与与Y相互独立相互独立。Stop 将两封信投入将两封信投入3个编号为个编号为1、2、3的信箱，的信箱，用用X、Y分别表示投入第分别表示投入第1、2号信箱的信的数号信箱的信的数目，试判断目，试判断X与与Y是否独立？为什么？是否独立？为什么？Stop 上述独立的概念不难推广到上述独立的概念不难推广到n维离散型随机变维离散型随机变量的情形。量的情形。设设X1，X2， , Xn 为一个为一个n维离散型随机变量，维离散型随机变量，若对任意的若对

21、任意的 x1，x2， , xn 有有:PX1= x1 , X2= x2 , , Xn = xn = PX1= x1PX2= x2 PXn = xn 则称随机变量则称随机变量X1，X2， , Xn相互独立相互独立。Stop以以 X 记记 n 重重贝努里试验中贝努里试验中A发生的次数，则发生的次数，则XB(n，p)若记若记 iX若在第若在第 i 次试验中次试验中 A 发生；发生；若在第若在第 i 次试验中次试验中 A 不发生。不发生。ni, 2 , 1 X 0 1iXP 1-p p相互独立相互独立且且nXXX,21于是有：于是有：则则分布分布相互独立且服从同一相互独立且服从同一若若,)10(,.21 nXXXvr1 niiXB(n，p)1,0,nXXXX 21Stop 离散型随机变量函数的分布律离散型随机变量函数的分布律1. 一维离散型随机变量函数的分布律一维离散型随机变量函数的分布律 设设X一个随机变量，一个随机变量，若若 yg(x)是一元单值实是一元单值实函数，则函数，则Yg(X )也是一个随机变量。也是一个随机变量。若若 XPXxk pk , k1, 2, 则则Yg(