理论力学--第8章动量定理

1、动力学 动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系。系。对物体的机械运动进行对物体的机械运动进行全面的分析全面的分析，研究作用，研究作用于物体的于物体的力与物体运动之间的关系力与物体运动之间的关系，建立物体机械，建立物体机械运动的运动的普遍规律普遍规律。 动力学中物体的抽象模型有动力学中物体的抽象模型有质点质点和和质点系质点系。质质点点是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计的物体。所谓质点系是由几个或无限个相互有不计的物体。所谓质点系是由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。联系的质点所组成的系统。

2、刚体是质点系的一种特殊情形。刚体是质点系的一种特殊情形。 动力学可分为动力学可分为质点动力学质点动力学和和质点系动力学质点系动力学，而，而前者是后者的基础。前者是后者的基础。 实际上的问题是：实际上的问题是： 1、联立求解微分方程、联立求解微分方程(尤其是积分问题尤其是积分问题)非非 常困难。常困难。 2、大量的问题中，不需要了解每一个质、大量的问题中，不需要了解每一个质 点的运点的运 动动,仅需要研究质点系整体的运仅需要研究质点系整体的运 动情况。动情况。动力学普遍定理概述动力学普遍定理概述对对质点质点动力学问题：动力学问题： 建立质点运动微分方程求解。建立质点运动微分方程求解。对对质点系质

3、点系动力学问题：动力学问题： 理论上讲，理论上讲，n个质点列出个质点列出3n个微分方个微分方 程，程， 联立求解它们即可。联立求解它们即可。 从本章起从本章起, 将要讲述解答动力学问题的其它方法将要讲述解答动力学问题的其它方法, 而首先要而首先要讨论的是讨论的是动力学普遍定理动力学普遍定理(包括动量定理、动量矩定理、动能定包括动量定理、动量矩定理、动能定理及由此推导出来的其它一些定理理及由此推导出来的其它一些定理)。 本章主要内容本章主要内容81 动量与冲量动量与冲量82 动量定理动量定理83 质心运动定理质心运动定理8-1 8-1 动量与冲量动量与冲量 质点的质量与速度的乘积质点的质量与速度

4、的乘积 mv 称为称为质点的动量质点的动量。 是瞬是瞬时矢量，方向与时矢量，方向与v 相同。单位是相同。单位是kg m/s。 物体之间往往有机械运动的相互传递，在传递机械运动物体之间往往有机械运动的相互传递，在传递机械运动时产生的相互作用力不仅与物体的速度变化有关，而且与它时产生的相互作用力不仅与物体的速度变化有关，而且与它们的质量有关。们的质量有关。例如枪弹质量小，但速度大，击中目标时，例如枪弹质量小，但速度大，击中目标时，产生很大的冲击力；产生很大的冲击力； 轮船靠岸时，速度虽小，质量却很大，轮船靠岸时，速度虽小，质量却很大，操作稍有疏忽，足以将船撞坏。据此，可以用操作稍有疏忽，足以将船撞

5、坏。据此，可以用质点的质量与质点的质量与速度的乘积速度的乘积 表征质点的这种作用量。表征质点的这种作用量。一、动量一、动量 ( (momentum ) ) 1. 1.质点的动量：质点的动量：质点系中所有各质点的动量的矢量和称为质点系中所有各质点的动量的矢量和称为质点系的动量质点系的动量。iivmp=质点系的质量与其质心速度的乘积就等于质点系的动量。质点系的质量与其质心速度的乘积就等于质点系的动量。CCzzCCyyCCxxzmmvpymmvpxmmvp= , ,设第设第i个刚体个刚体 ，则整个系统：，则整个系统：ciivm ,Ciivmp =CiiCizizCiiCiyiyCiiCixixzmv

6、mpymvmpxmvmp=2.2.质点系的动量：质点系的动量： 设质点系中，任一质点的矢径为设质点系中，任一质点的矢径为ri，质点系的总质量为，质点系的总质量为m, ,质心质心C的矢径为的矢径为rC。则。则CCiiiiiivmrmtrmttrmvmp)(dddddd投影形式：投影形式：3.刚体系统的动量：刚体系统的动量：解解: 曲柄OA：滑块B：连杆AB：（ P为速度瞬心， ）ABlPC;252例例曲柄连杆机构的曲柄曲柄连杆机构的曲柄OA以匀以匀 转转动，设动，设OA=AB=l ,曲柄曲柄OA及连杆及连杆AB都是匀都是匀质杆质杆, 质量各为质量各为m , 滑块滑块B的质量也为的质量也为m。求。

7、求当当 = 45时系统的动量。时系统的动量。ivvvmvmvmvmpCCCCCC)cossin( 321321-=+=)sincos(21jvvCC)101252221()2103252221()sin2545cos21()2cos2545sin21(jimljllilllm2122jimllvmC21 , 1llvmABC2525 ,2lvmC2 ,32力是变矢量：（包括大小和方向的变化）力是变矢量：（包括大小和方向的变化）元冲量元冲量：冲量冲量：FtFI =tFIdd =ttFI0d1力是常矢量：力是常矢量：F 力在其作用时间内对物体作用的累积效应用力在其作用时间内对物体作用的累积效应用力

8、的冲量力的冲量度量，度量，力与其作用时间的乘积称为力与其作用时间的乘积称为力的冲量力的冲量。二冲量二冲量 (impulse of a force) 物体在力的作用下引起的运动变化，不仅与力的大小有关，物体在力的作用下引起的运动变化，不仅与力的大小有关，而且与力作用时间的长短有关。例如，推动车子时，较大的力而且与力作用时间的长短有关。例如，推动车子时，较大的力作用较短的时间，与较小的力作用较长的时间，可得到同样的作用较短的时间，与较小的力作用较长的时间，可得到同样的总效应。总效应。 3合力的冲量：合力的冲量：等于各分力冲量的矢量和等于各分力冲量的矢量和000itttIdtFdtFdtRI 冲量的

9、单位：冲量的单位：m/skg sm/skg sN2与动量单位同与动量单位同6tzztyyxtxdtFIdtFIdtFI000,8- -2动量定理动量定理一质点的动量定理一质点的动量定理（theorem of momentum）FvmdtdFdtvdmam )( 即即在某一时间间隔内，在某一时间间隔内，质点质点动量的动量的变化等于变化等于作用于质作用于质点上的点上的力在该时间内的冲量力在该时间内的冲量ItFvmdd)(d=1. 质点的动量定理的质点的动量定理的微分形式微分形式：即质点即质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量）动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量）IdtFvmvmt012-2

10、. 质点的动量定理的质点的动量定理的积分形式积分形式：质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上所有外力的矢量和。质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上所有外力的矢量和。质点系动量的增量等于作用在质点系的外力元冲量的矢量和。质点系动量的增量等于作用在质点系的外力元冲量的矢量和。 在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在质在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在质点系上的所有外力冲量的矢量和点系上的所有外力冲量的矢量和二质点系的动量定理二质点系的动量定理)()()(eiiiiiFFvmdtd )0( )()()()(iieiiiiiFFFvmdtd而而对整个质点系：对整个质点系：对质

11、点系内任一质点对质点系内任一质点 i ： )(eiFdtpd 故故 )()()(eiiiiiFdtpdvmdtdvmdtd 且且1. 质点系的动量定理质点系的动量定理微分形式微分形式 )()(eieiI ddtFpd2.质点系的动量定理质点系的动量定理积分形式积分形式)(0eiIpp - 若作用于质点系的外力的主矢恒等于零，则质点系的动若作用于质点系的外力的主矢恒等于零，则质点系的动量保持不变，量保持不变，3.3.投影形式：投影形式：, 0)(=eiF 若若恒恒矢矢量量 则则=0pp )()()(ezzeyyexxFdtdpFdtdpFdtdp)(0)(0)(0ezzzeyyyexxxIppI

12、ppIpp=-三质点系的动量守恒定理三质点系的动量守恒定理 (conservation law of momentum of a system) , 0(e)=ixF 若若恒恒量量 则则=xxpp0 若作用于质点系的外力的主矢在某一坐标轴上的投影恒若作用于质点系的外力的主矢在某一坐标轴上的投影恒等于零，则质点系的动量在该坐标轴上的投影保持不变；等于零，则质点系的动量在该坐标轴上的投影保持不变；即：即：即：即： 以上结论称为以上结论称为质点系的动量守恒定理质点系的动量守恒定理 例例2 质量为质量为M的大三角形柱体的大三角形柱体, 放于光滑水平面上放于光滑水平面上, 斜面上另斜面上另放一质量为放一

13、质量为m的小三角形柱体的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时求小三角形柱体滑到底时,大三角大三角形柱体的位移。形柱体的位移。0)(axmvvM解解：选两物体组成的系统为选两物体组成的系统为研究对象。研究对象。受力分析受力分析：, 0)(=exF常量常量 则则=px由由水平方向动量守恒水平方向动量守恒及及初始静止初始静止；则则)( bamMmSmMmSrx设大三角块速度设大三角块速度 ，v小三角块相对大三角块速度为小三角块相对大三角块速度为 ，rv则小三角块则小三角块ravvv运动分析运动分析： mmMSSmmMvvrxrx0)()(vvmvMrx运动分析，设经过运动分析，设经过 时间后，流体时

14、间后，流体AB运动到位置运动到位置ab， 例例3 流体流过弯管时，在截面流体流过弯管时，在截面A和和B处的平均流速分别为处的平均流速分别为 求流体对弯管产生的动压力求流体对弯管产生的动压力(附加动压力附加动压力)。 设流体设流体不可压缩，流量不可压缩，流量Q(m3/s)为常量，为常量， 密度为密度为 (kg/m3）。）。),m/s(,21vv)()(12aBAaBbaBABabppppppp+=-1212 )()(vtQvtQpppppAaBbaBaB=-解：解： 取截面取截面A与与B之间的流体作为研究的质点系。之间的流体作为研究的质点系。受力分析如图示。受力分析如图示。由质点系动量定理得由质

15、点系动量定理得RPPWvvQtpdtpdt+=21120)( lim-静反力静反力 ， 动反力动反力)(21PPWR)( 12vvQR计算计算 时，常采用投影形式时，常采用投影形式 R)( 12xxxvvQR)( 12yyyvvQR与与 相反的力就是管壁上受到的流体作用的动压力相反的力就是管壁上受到的流体作用的动压力 R)()(1221vvQPPWR即即6RPPWvvQtpdtpdt+=21120)( lim-8- -3质心运动定理质心运动定理 质点系的质量中心简称质心质点系的质量中心简称质心。是表征质点系质量分布情。是表征质点系质量分布情况的一个重要概念。况的一个重要概念。 )(imm =

16、iiCiiiiiCrmrmmrmmrmr=或则则 设设 ,kzjyixrcccc+=mzmzmymymxmxiiCiiCiiC , ,=质心质心 C C 点的位置点的位置： 一一. .质量中心质量中心(center of mass)将将 代入到质点系动量定理，得代入到质点系动量定理，得Cvmp =)()(eiCFvmdtd=若质点系质量不变，若质点系质量不变， 质点系的质量与质心加速度的乘积，等于作用于质点系上质点系的质量与质心加速度的乘积，等于作用于质点系上所有外力的矢量和（即外力系的主矢）。所有外力的矢量和（即外力系的主矢）。 这种规律称为这种规律称为质心运质心运动定理（或质心运动微分方程

17、）。动定理（或质心运动微分方程）。二二. .质心运动定理质心运动定理(theorem of motion of center of mass) 可见：可见：质心运动定理是动量定理的另一种表现形式，与质质心运动定理是动量定理的另一种表现形式，与质点动力学基本方程点动力学基本方程 形式相似。因此，质心运动定形式相似。因此，质心运动定理也可叙述如下：理也可叙述如下：质点系质心的运动可以看成为一个质点的运质点系质心的运动可以看成为一个质点的运动，动，设想这个质点集中了整个质点系的质量及其所受的外力。设想这个质点集中了整个质点系的质量及其所受的外力。F=am则则)(eiCFam=)(eiCFdtvdm=

18、或或 若若 ，则，则 ，质心作匀速直线运动；若开始，质心作匀速直线运动；若开始时系统静止，即，时系统静止，即， 则质心位置始终保持不变。则质心位置始终保持不变。若则若则 ，质心沿，质心沿x方向速度不变；若开始方向速度不变；若开始 ，则质心在，则质心在x 轴的位置坐标保持不变。轴的位置坐标保持不变。0=F(e)i 0=Ca00Cv,)( 0eixF0=Cxa0=vCx0 只有外力才能改变质点系质心的运动只有外力才能改变质点系质心的运动, 内力不能改变质心内力不能改变质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。的运动，但可以改变系统内各质点的运动。三. . 质心运动守恒定律质心运动守恒定律质心运动定

19、理质心运动定理投影形式：投影形式：。 , , )()()(eizCCzeiyCCyeixCCxFzmmaFymmaFxmma= 。 0 , , )()(2)(=eibeinCCneitCtFFvmmaFdtdvmma解解: 取整个电动机作为质点系研究，取整个电动机作为质点系研究，分析受力，分析受力， 受力图如图示受力图如图示运动分析：定子质心加速度运动分析：定子质心加速度a1=0，转子质心转子质心O2的加速度的加速度a2=e 2，方向指向方向指向O1。例例4 电动机的外壳固定在水平基础上，定子的质量为电动机的外壳固定在水平基础上，定子的质量为m1, 转子转子质量为质量为m2 , 转子的轴通过定子的质心转子的轴通过定子的质心O1, 但由于制造误差但由于制造误差, 转子转子的质心的质心O2到到O1的距离为的距离为e 。求转子以角速度求转子以角速度 作匀速转动时，基作匀速转动时，基础作用在电动机底座上的约束反力。础作用在电动机底座上的约束反力。teateayx sin , cos2222根据质心运动定理，有根据质心运动定理，有xxeixCixiNtemamFamcos ,2222)(gmgmNtemamFamyyeiyCiyi212222)( sin ,temgmgmNtemNyxsin ,cos222122-+=可见，由于偏心