结构力学第三章-扭转课件

1、31 概述概述 32 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转33 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图34 等直圆杆扭转时的应力等直圆杆扭转时的应力 强度条件强度条件35 等直圆杆扭转时的变形等直圆杆扭转时的变形 刚度条件刚度条件36 等直圆杆扭转时的应变能等直圆杆扭转时的应变能37 非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形第三章第三章 扭扭 转转 31 概概 述述 轴：轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆等。石油钻机中的钻杆等。扭转：扭转：外力的合力为一力偶，

2、且力偶的作用面与直杆的轴线外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。垂直，杆发生的变形为扭转变形。ABOmmOBA工工 程程 实实 例例32 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 略略扭转角（扭转角（）：）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。切应变（切应变（ ）：）：直角的改变量。直角的改变量。 T=m剪切胡克定律：剪切胡克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（ p)，剪应力与剪应变成正比关系。剪应力与剪应变成正比关系。G剪切胡克定律：剪切胡克定律： G 式中：式中：G是材料的一个弹性常数

3、，称为剪切弹性模量，因是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故无量纲，故G的量纲与的量纲与 相同，不同材料的相同，不同材料的G值可通过实验确定，值可通过实验确定，钢材的钢材的G值约为值约为80 GPa 。 剪切弹性模量剪切弹性模量、弹性模量弹性模量和和泊松比泊松比是表明材料弹性性质的是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在关系：三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在关系： 可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。就可以推算出来。)1 ( 2EG（推导详见后面章节）：3

4、3 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 一、传动轴的外力偶矩一、传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：m)(KN 55. 9nPMm)(KN 024. 7nPM其中：P 功率，千瓦（kW） n 转速，转/分（rpm）其中：P 功率，马力（PS） n 转速，转/分（rpm）1PS=735.5Nm/s , 1kW=1.36PS3 扭矩的符号规定：扭矩的符号规定： “T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。反之为负。二、扭矩及扭矩图二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩

5、，记作“T”。 2 截面法求扭矩截面法求扭矩MMMTMTMTMx00 x4 扭矩扭矩图图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 目目 的的扭矩变化规律；|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。xT例例1已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nA B C DP2 P3 P1 P4解：计算外力偶矩解：计算外力偶矩m)15.9(kN 3005009.5555. 911nPMm)(kN 78. 43001509.5555. 9

6、232nPMMm)(kN 37. 63002009.5555. 944nPMnA B C DM2 M3 M1 M4112233求扭矩（扭矩按正方向设）求扭矩（扭矩按正方向设）mkN78. 4 0 , 02121MTMTMmkN56. 9)78. 478. 4( , 0 322322MMTMMT3434 0 , 6.37kN mTMTM绘制扭矩图绘制扭矩图mkN 569max .TBC段为危险截面。段为危险截面。xTnA B C DM2 M3 M1 M44.789.566.3734 等直圆杆扭转时的应力等直圆杆扭转时的应力 强度条件强度条件等直圆杆横截面应力等直圆杆横截面应力变形几何方面变形几何

7、方面物理关系方面物理关系方面静力学方面静力学方面 1. 横截面变形后横截面变形后 仍为平面；仍为平面； 2. 轴向无伸缩；轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。纵向线变形后仍为平行。一、等直圆杆扭转实验观察：一、等直圆杆扭转实验观察：二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：1. 变形几何关系：变形几何关系：xxGGdddtgxdd距圆心为距圆心为 任一点处的任一点处的 与到圆心的距离与到圆心的距离 成正比。成正比。xdd 扭转角沿长度方向变化率。ADDE2. 物理关系：物理关系：剪切胡克定律：代入上式得： GxGGddxGdd 3. 静力学关系：静力学关系：Od

8、AAxGAxGATAAAddd ddd d22AIApd2令xGI Tpdd pGITx dd 代入物理关系式 得：xGdd pIT极惯性矩极惯性矩pIT 横截面上距圆心为 处任一点切应力计算公式。4. 公式讨论：公式讨论： 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面 直杆。直杆。 式中：式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。该点到圆心的距离。 Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。极惯性矩，纯几何量，无物理意义。单位：单位：m4AIApd2 尽管由实心圆截面杆推出

9、，但同样适用于空心圆截面杆，尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是只是Ip值不同。值不同。22204d 2d 32pAdIAd 对于实心圆截面：ddO对于空心圆截面：22224444d 2d ()32 (1)32pADdIADdD )(DddDOd 应力分布应力分布（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。 确定最大切应力：确定最大切应力：pIT由知：当max , 2dR)2 ( 22 maxdIWWTdITIdTpPPpp令PWTmaxWP 抗扭截面系数（扭转截面系数），抗扭截面系数（扭转截面系数）， 几何量，单位：m3

10、。对于实心圆截面：316PpWIRd对于空心圆截面：34(1) 16PpWIRD例例 一个是实心圆截面I轴，一个是空心圆截面II轴，两轴材料、扭转力偶矩 和长度 l 均相等，最大切应力也相等。若空心圆截面内、外直径比为 ，试求空心圆截面的外径与实心圆截面直径之比以及两轴的重量比。e M8 . 01d2D2d解：解：16d 311PW 116D 4322）（PWPWTmax带入最大切应力公式：带入最大切应力公式：可得：可得：21PPWTWT即：即：)1 ( 16 1643231DTdT194. 1 12dD两轴重量比即为横截面积比两轴重量比即为横截面积比512. 04)(421222212ddD

11、AA三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。因此，我们需要研究斜截面上的应力。因此，我们需要研究斜截面上的应力。点M的应力单元体如右图 2、斜截面上的应力、斜截面上的应力M1、切应力互等定理：、切应力互等定理： 0故dydxdzdxdzdyMz该定理表明：该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。向则共同指向或共同背离该交线

12、。单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应力状态称为这种应力状态称为纯剪切应力状态。纯剪切应力状态。上式称为切应力互等定理切应力互等定理。dx dy zOdz x2、斜截面上的应力、斜截面上的应力 x转角规定：转角规定：轴正向转至截面外法线逆时针：为“+”顺时针：为“”由平衡方程：由平衡方程：0)cossind()sincosd(d ; 0AAAF0)sinsind()coscosd(d ; 0AAAF 利用解得：2cos ; 2sin 2cos ; 2sin 分析：当 = 45时，0 , 45min45当 = 45时，0 , 45max4

13、5当 = 90时，max9090 , 0 45 由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的切应力为最大值；在方向角 = 45的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。根据这一结论，就可解释前述的破坏现象。max00 , 0当 = 0时，四、圆轴扭转时的强度计算四、圆轴扭转时的强度计算强度条件：强度条件：对于等截面圆轴：对于等截面圆轴：maxmaxPWT( 称为许用剪应力。)强度计算三方面：强度计算三方面： 校核强度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷：maxmaxPWTmaxTWPmaxPWT）（空：实：433116 16 DDWP35 等直圆杆在扭转时的变形等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件

14、一、扭转时的变形一、扭转时的变形由公式pGITx dd 可知：长为长为 l 的一段杆两截面间相对扭转角的一段杆两截面间相对扭转角 为值不变）若TGITlxGITplp( d d0GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的截面的抗扭刚度抗扭刚度。二、单位长度扭转角二、单位长度扭转角 ：(rad/m) dd pGITx /m)( 180 dd pGITx 或三、刚度条件三、刚度条件 (rad/m) maxpGIT /m)( 180 maxpGIT或 称为许用单位长度扭转角许用单位长度扭转角。刚度计算的三方面：刚度计算的三方面： 校核刚度：校核刚度： 设计截面尺寸：设计截面尺寸： 计算许可载荷：

15、计算许可载荷： max max GT Ip max pGIT 有时，还可依据此条件进行选材。有时，还可依据此条件进行选材。例例已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。该轴由45号钢制成，为空心圆截面，内、外半径比为0.5，钢的许用切应力 =40Mpa,切变模量G=80Gpa,许可单位扭转角 。试根据强度与刚度条件选择轴的半径。/m)( 3 . 0 nA B C DP2 P3 P1 P4dDxT4.789.566.37解：由扭矩图，可知解：由扭矩图，可知mKNT.56. 9max 161516D )

16、21(116D 116D 34343）（）（PW 161532D 132D 444）（PImTWTP334maxmax10109)1 (16D 由强度条件由强度条件 180 maxPGIT由刚度条件由刚度条件mmmGT5 .125105 .125 1180)1 (32D 344max综合强度条件与刚度条件可知综合强度条件与刚度条件可知mm5 .125D mTWTP334maxmax10109)1 (16D 由强度条件由强度条件36 等直圆杆在扭转时的应变能等直圆杆在扭转时的应变能dV)dx(dzdy)(dW2121GGxWVV221 21dydzdddd22一、一、 应变能与应变能密度应变能与

17、应变能密度acddxb dy dzzxy单元体微功：单元体微功：应变能密度应变能密度 ：等直圆杆在扭转时应变能等直圆杆在扭转时应变能VldAdxdVVA对只在两端受外力偶矩的等直圆杆的应变能对只在两端受外力偶矩的等直圆杆的应变能APlPGIlTdAITGldAdxGV2)(2222A2222 lGIVP又由又由PGITl37 非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形非圆截面等直杆：非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。一一、自由扭转、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相 邻截面的翘曲程度完全相同。二二、约束扭转、约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面 的翘曲程度不同。三三、矩形杆横截面上的剪应力、矩形杆横截面上的剪应力: :1. 切应力分布如图：（角点、形心、长短边中点） hbh 1T max 注意！b2. 最大剪应力及单位扭转角 maxmaxtWT2 bhtW其中：3 bhIt , tGIT相当极惯性矩 hbh 1T max 注意！bmax131查表求查表求 和和 时一定要时一定要注意，表中注意，表中 和和 与哪套公式对应。与哪套公式对应。 ; ) 1