18.1变量与函数

1、17.1.1 变量与函数（变量与函数（1） 大千世界处在不停的运动变化之中大千世界处在不停的运动变化之中,如何如何 来研究这些运动变化并寻找规律呢来研究这些运动变化并寻找规律呢?数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化. 17.1.1 1、某日的气温变化图、某日的气温变化图从图中我们可以看到，随着时间从图中我们可以看到，随着时间t（时）（时）的变化，相应地气温的变化，相应地气温T（）也随之变化）也随之变化 观观 察察:结论：结论：任给一个时间t的确定值，温度T都 有唯一的唯一的一个值和它对应 波长 （m）30050060010001500 频率（kHz）10

2、00600500300200波长波长 越大，频率越大，频率 f 就就_2、收音机刻度盘上的波长和频率分别是用、收音机刻度盘上的波长和频率分别是用米（米（m）和千赫兹（）和千赫兹（kHz）为单位标刻的。下面是一些）为单位标刻的。下面是一些对应的数值：对应的数值：=300000 或 =观观 察察:结论结论：任给一个波长任给一个波长的确定值，频率的确定值，频率 都有都有唯一唯一 的的一个值和它对应一个值和它对应半径r（cm）11.522.63.2面积S（cm2）结论：任给一个半径结论：任给一个半径r r的确定值，面积的确定值，面积S S都有都有唯唯 一的一的一个值和它对应。一个值和它对应。 如果用r

3、表示圆的半径，S表示圆的面积，则S与r之间满足下列关系：请完成下表： S= S= 可以看出：圆的半径越大，它的面积就越大 观观 察察: 、在某一变化过程中，可以在某一变化过程中，可以取不同数值的量取不同数值的量， 叫做叫做变量变量在问题的研究过程中，在问题的研究过程中，取值始终保持不变取值始终保持不变的量，的量，我们称之为我们称之为常量常量知识点一知识点一变量变量。如：如：T T和和t,yt,y和和x,x, 和和,S,S和和r r。常量常量。 如：问题如：问题3 3中的中的300000300000和问题和问题4 4中的中的例如例如一辆汽车以一辆汽车以4040千米千米/ /小时的速度行驶，小时的

4、速度行驶，写出行驶路程写出行驶路程s(s(千米千米) )与行驶时间与行驶时间t(t(时时) )的关系式。的关系式。 再如再如一辆汽车要行驶一辆汽车要行驶5050千米的路程，写出千米的路程，写出行驶速度行驶速度v(v(千米千米/ /小时小时) )与行驶时间与行驶时间t t（小时（小时) )之间的关系式之间的关系式 S = 40t时间时间 t 小时小时速度速度 40千米千米/时时路程路程 S 千米千米 V=t50变量变量变量变量常量常量时间时间 t 小时小时路程路程50千米千米速度速度V千米千米/时时 变量变量变量变量常量常量(2) y= x6(3) y= 4X25x7(4) S = r2解：（1

5、）5和-6是常量，x和y是变量。（2）6是常量，x、y是变量。（3）4、5、-7是常量，x、y是变量。（4）兀是常量，s、r是变量。(1) y = 5x 6练习：知识点二知识点二、一般地，在一个变化过程中有两个变量、一般地，在一个变化过程中有两个变量x与与y，如果对于，如果对于x每每 一个值一个值，y都有唯一的值都有唯一的值与与它对应，那么就说它对应，那么就说x是是自变量自变量，y是是因变量因变量，此，此时也称时也称 y是是x的函数的函数。 【注意注意】 （1）函数不是数，函数的本质是对应）函数不是数，函数的本质是对应（2）自变量与函数都用什么字母表示无关。）自变量与函数都用什么字母表示无关。

6、（3）在我们所研究的范围内，两个变量之间虽然有一定的关系，）在我们所研究的范围内，两个变量之间虽然有一定的关系，但却不符合函数中的对应关系，也就是说，这种关系不是但却不符合函数中的对应关系，也就是说，这种关系不是“唯唯一确定一确定”的关系，那么这两个变量之间就不存在函数关系。的关系，那么这两个变量之间就不存在函数关系。例如：式子例如：式子y=x2，y是是x的函数；式子的函数；式子y2=x，y不是不是x的函数的函数例例 下列问题中的变量下列问题中的变量y是不是是不是x的函数？的函数？是是（1） y = 2x ； （2） y = x ；2是是（3） x = y ；2不是不是xy （4） ；是是xy

7、 （5） ；不是不是下列变化中，哪些下列变化中，哪些y是是x的函数？哪些不是？的函数？哪些不是？说明理由说明理由。xyxy=2 =2 x x2 2+y+y2 2=10 =10 x+y=5x+y=5|y|=3x+1 |y|=3x+1 （55）y=xy=x2 2-4x+5-4x+5波长 l(m)30050060010001500 频率 f(kHz)1000600500300200图象法列表法解析法17.1.1 2000300rSlf，知识点三知识点三 表示函数关系的方法表示函数关系的方法.列表法： 用表格列出自变量与函数的对应值，表示函数两个变量用表格列出自变量与函数的对应值，表示函数两个变量之间

8、的关系，这种表示函数的方法叫做列表法之间的关系，这种表示函数的方法叫做列表法 它的优点是能明显地显示出自变量的值和与之对应的函它的优点是能明显地显示出自变量的值和与之对应的函数值但它只能把部分自变量的值和与之对应的函数值列出，数值但它只能把部分自变量的值和与之对应的函数值列出，不能反映出函数变化的全貌不能反映出函数变化的全貌.解析法： 用自变量用自变量x的各种数学运算构成的式子表示函数的各种数学运算构成的式子表示函数y的方法的方法叫做解析法叫做解析法 它的优点是简明扼要、规范准确，便于理解函数的性质，它的优点是简明扼要、规范准确，便于理解函数的性质，但并非适用于所有函数但并非适用于所有函数.图

9、象法： 用图象表示两个变量之间的函数关系，这种表示函数的方用图象表示两个变量之间的函数关系，这种表示函数的方法叫做图象法法叫做图象法 它的优点是能够形象直观地显示出数据的变化规律，为研它的优点是能够形象直观地显示出数据的变化规律，为研究函数的性质提供方便，但所画出的图象是近似的、局部的，究函数的性质提供方便，但所画出的图象是近似的、局部的，所以由图象确定的函数往往不够准确所以由图象确定的函数往往不够准确函数关系式函数关系式 ： .用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称为函数解用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称为函数解析式析式. .我们应从以下几个方面来理解函数关系式的概念：我们应从

10、以下几个方面来理解函数关系式的概念： （1）函数关系式是等式。函数关系式是等式。例如：例如：y=2x+3就是一个函数关系就是一个函数关系式，我们可以说代数式式，我们可以说代数式2x+3是是x的函数，但不能说的函数，但不能说2x+3是函是函数关系式数关系式 （2）函数关系式中指明了哪个是自变量，哪个是函数函数关系式中指明了哪个是自变量，哪个是函数。通常。通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的一个变量等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的一个变量表示函数例如：表示函数例如：y=x-3表示表示y是是x的函数；若的函数；若x=y+3，则表，则表示示x是是y的函数的函数也就是说，求也就是

11、说，求y关于关于x的函数关系式，必须用自变量的函数关系式，必须用自变量x的代数的代数式表示式表示y，即得到的等式的左边是一个变量，即得到的等式的左边是一个变量y，右边是一个含，右边是一个含x的代数式的代数式 例例2 2、根据所给的根据所给的 条件，写出条件，写出y与与x的函数关系式：的函数关系式：1.矩形的周长是矩形的周长是18 cm ,它的长是它的长是y，宽是，宽是x cm ；2、y 是是 x的的 倒数的倒数的4倍倍1.函数的关系式是函数的关系式是等式等式2.通常等式的右边是含有自变量的代数式， 左边的一个字母表示函数如何书写如何书写函数的关系式函数的关系式呢？呢？对于对于x的每的每一个值，

12、一个值，y总有总有唯一唯一的的值与它对应，值与它对应，y才是才是x的函的函数数。 例例 1.下列各式中，是自变量，请判断下列各式中，是自变量，请判断是不是的函数？若是，求出自变量的取值范围。是不是的函数？若是，求出自变量的取值范围。3.y +1x4.y=1.y 2x 2.y x3x 解解:1、y是是x的函数。的函数。 2、y是是x的函数。的函数。 X-3 0 x 3. 3、y不是不是x的函数。的函数。 4、y是是x的函数的函数. x0. X为全体实数。为全体实数。例例2、求出下列函数中自变量的取值范围、求出下列函数中自变量的取值范围（1）y=5x+3（2）1nm（3）23xy解解: 自变量自变

13、量 x 的取值范围的取值范围:x为任何实数为任何实数解解: 由由n-10得得n1自变量自变量 n 的取值范围的取值范围: n1解解:由由x+2 0得得 x2自变量自变量 n 的取值范围的取值范围: x2解解:自变量的取值范围是自变量的取值范围是: k1且且k 1（4）11kkh例、求下列函数中自变量x的取值范围： （1） y3x1；（2） y2x27； （3） y= ； （4） y 21x2x（1 1）（）（2 2）中）中x取任意实数，取任意实数，两式两式都有意义都有意义 .（3）中，）中，x2时，原式有意义时，原式有意义 （4）中）中x2时，原式有意义时，原式有意义 解解： 1.当函数解析式是当函数解析式是只含有一个自变量的整只含有一个自变量的整式式时，时， 2.当函数解析式是当函数解