一连续的定义ppt课件

1、YunnanUniversity3. 连续函数连续函数连连续续函函数数函函数数极极限限方方法法: )(不不连连续续连连续续与与间间断断.在在所所有有整整数数点点都都不不连连续续xy ,sin都都连连续续在在每每点点 xxy YunnanUniversity3. 连续函数连续函数,)(),()(),()(lim0000000时时当当xxDxxfADorxDxxfAAxffffxx.)(),()(00点点“连连结结”的的图图形形在在表表明明xxfxfxf一、延续的定义一、延续的定义YunnanUniversity3. 连续函数连续函数函函数数在在一一点点连连续续.1及及其其附附近近有有意意义义，且

2、且在在若若0)(xxf),()(lim00 xfxfxx .)(0点点连连续续在在则则称称xxf点点连连续续的的三三要要素素：在在0)(xxf,)(lim)2(0 xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx).()(0间间断断点点不不连连续续在在任任何何一一条条不不满满足足，就就称称xxf:Def的定义域，的定义域，属于属于)() 1 (0 xfxYunnanUniversity3. 连续函数连续函数连连续续的的等等价价叙叙述述在在点点0)(.2xxf).()(lim)1 (00 xfxfxx(定义定义)时时，有有当当对对0, 0, 0)2(xx.)()(0 xfxf)(”方方法法“),

3、(),(),),()3(0000 xOxxOxxfO当当邻邻域域的的邻邻域域).),()(0 xfOxf时时，有有,., 0, 0ts).),(),(00 xfOxOf都都有有对对任任何何数数列列,lim,)4(00 xxxxxnnnn).()(lim0 xfxfnn( Heine Th .)邻域表达YunnanUniversity3. 连续函数连续函数.0)()(lim)()(lim)5(0000 xfxfxfxfxxxx由由，可可正正可可负负称称为为自自变变量量的的改改变变量量设设)(,0 xxx 的的改改变变量量相相应应地地，)(,0 xfxxx ).()(00 xfxxfy 连连续续等

4、等价价于于在在点点于于是是0)(,xxf. 0)()(limlim0000 xfxxfyxx(改动量方式改动量方式)xyo)(xfy 0 xxx0 xyxyxx0YunnanUniversity3. 连续函数连续函数右右连连续续的的概概念念左左,)6(:Def)()(lim)(0000 xfxfxxfxx左左连连续续在在点点称称右右连连续续在在点点称称，000)().()0(.xxfxfxfei).()0(.)()(lim00000 xfxfeixfxfxx，,)()(00既左连续既左连续在点在点连续连续在点在点于是，于是，xxfxxf).()(lim)(lim00000 xfxfxfxxxx

5、又又右右连连续续，即即YunnanUniversity3. 连续函数连续函数便便性性连连续续函函数数极极限限运运算算的的简简. 3连连续续在在点点，由由00)(lim0 xxfxxxx).lim()()(lim000 xfxfxfxxxx”与与“连连续续等等价价于于两两种种运运算算“在在点点可可见见，0lim)(0 xxfxxf.可可以以交交换换次次序序YunnanUniversity3. 连续函数连续函数函函数数在在区区间间连连续续.4:Def),(),()(0baxbaxf对对内内任任意意一一点点都都连连续续，即即在在若若.,)()(lim00）内内连连续续）在在（，则则称称皆皆有有bax

6、fxfxfxx内内连连续续且且）在在（上上连连续续在在称称),(,)(baxfbaxf.0,)0(）（）（）（bfbfafafYunnanUniversity3. 连续函数连续函数.,cos,sin. 1）内内连连续续在在（证证明明例例xx，由由），（证证明明：对对00 x.2sin2sin2coscos0000 xxxxxxxx.coscos,00 xxxx时时，则则当当取取.cos0连连续续在在即即xxYunnanUniversity3. 连续函数连续函数显显然然上上连连续续）在在（）（证证明明例例1.0. 2aRaaxfx有有证证明明：对对,0Rx ).1(000 xxxxxaaaay.

7、 1limlim0000 xxxxaa，即即只只须须证证要要证证1lim. 0lim00 xxxaynx，则则设设10, .ts时时，当当nnx10于于是是. 00 xContinueYunnanUniversity3. 连续函数连续函数; 1101 xnaaa时时，有有当当.111nxaaa 时时，有有当当.1lim, 1lim001xxnnaa故故因因则则，且且，设设对对, 00 ttxx.11limlimlim000000ttttxxaaa. 1limlim00000aaaxxxx从从而而上上连连续续。在在这这证证明明了了Raaxfx)0()( YunnanUniversity3. 连续

8、函数连续函数二、延续函数的性质和运算二、延续函数的性质和运算.中中质质，都都可可移移到到连连续续函函数数有有关关函函数数极极限限的的许许多多性性0)()(00 xfxxf连连续续，且且在在点点若若0)(, 0)0)(00 xfxxxf时时，有有当当，则则或或).0)( xf或或.02)()(02)(:000 xfxfxf对对证证明明).02)()(02)(0000 xfxfxf（连续函数保号性）（连续函数保号性）. 1ThYunnanUniversity3. 连续函数连续函数.证证得得如如下下定定理理根根据据极极限限四四则则运运算算立立即即连连续续，则则都都在在点点与与若若0)()(. 2xx

9、gxfTh)0)()()(),()(),()(0 xgxgxfxgxfxgxf.0连连续续也也在在点点x),()(,)()(000 xgxfxxgxf 且且连连续续都都在在点点与与一一般般地地，若若).()(, 00 xgxfxx 时时，有有当当则则YunnanUniversity3. 连续函数连续函数的的连连续续性性知知，据据此此，由由xx cossinxxxxxxctgxxxxsin1csc,cos1sec,sincos,cossintan.在在其其定定义义域域内内连连续续续续？、差差、积积、商商是是否否不不连连两两个个不不连连续续函函数数，其其和和不不一一定定，如如.0, 10, 1)(

10、,0, 10, 1)(xxxgxxxf.1)()(0)()(均均连连续续，但但xgxfxgxf定不连续，定不连续，续的函数，其和、差一续的函数，其和、差一一个连续而另一个不连一个连续而另一个不连.但但其其积积却却不不然然YunnanUniversity3. 连续函数连续函数（反函数的连续性）（反函数的连续性）. 3Th，则则）（，）（严严格格增增加加（减减少少），设设bfaf），（，），它它在在（）存存在在反反函函数数（1yfxxfy.）和和连连续续的的上上也也是是严严格格增增加加（减减少少.证证明明参参见见极极限限续续论论中中上连续，且上连续，且，在在若若)(baxfy YunnanUniv

11、ersity3. 连续函数连续函数,arctan.xy 如如内内连连续续反反三三角角函函数数在在其其定定义义域域,2,2tan20上严格上升且连续上严格上升且连续在在，由，由任取任取x.2tan,2tanarctan上严格上升且连续上严格上升且连续）（）（在在知知y,0充充分分小小，可可取取的的任任意意性性，对对任任意意点点由由y,.ts在在任任意意点点于于是是）（）（yyarctan,.2tan2tan0.0）连连续续，（yYunnanUniversity3. 连续函数连续函数时时，有有，当当证证：由由定定义义，即即证证00, 0 xx.)()(0 xgfxgf00, 0, 0)(uuuuf

12、y当当连连续续，故故对对在在由由.)()()()(00 xgfufufuf时时，有有，当当连连续续，故故对对上上述述在在又又0, 0)(0 xxgu.)()(000从从而而得得证证时时，有有uuxgxgxx（复复合合函函数数的的连连续续性性）. 4Th连连续续，则则复复合合函函数数）在在点点（，而而000)(uufyxgu.0连连续续）在在点点（xxgfy 连连续续，且且在在点点若若0)(xxgu YunnanUniversity3. 连续函数连续函数数数个个连连续续一一个个不不连连续续的的函函？两两个个不不连连续续函函数数或或一一？其其复复合合函函数数是是否否不不连连续续但但上上的的每每一一

13、点点都都不不连连续续，在在RQxQxxD_, 0, 1)(不不在在而而又又如如连连续续0sgn, 3)(.1)(xxuufxDD.3)(sgn连连续续连连续续，但但xf的的结结论论等等价价于于4Th).(lim()()(lim000 xgfxgfxgfxxxx.),(),1sin(222内内连连续续都都在在据据此此，xayx., 0ln）内内连连续续在在（幂幂函函数数xex如不一定 .YunnanUniversity3. 连续函数连续函数三三. . 初等函数的延续性初等函数的延续性函函数数，数数，反反三三角角函函数数，指指数数基基本本初初等等函函数数：三三角角函函. 1.续续曲曲函函数数在在其

14、其定定义义域域内内连连对对数数函函数数，幂幂函函数数及及双双. 2义义域域内内连连续续一一切切初初等等函函数数都都在在其其定定内内是是否否连连续续，只只须须或或在在判判断断初初等等函函数数),()() 1 (0baxxf.),(0是是否否属属于于其其定定义义域域即即可可或或判判别别bax点点，则则计计算算极极限限是是初初等等函函数数定定义义域域内内的的若若0)2(x).()(lim00 xfxfxxYunnanUniversity3. 连续函数连续函数4321lim. 34xxx例例axaxaxsinsinlim. 4例例xxax)1(0loglim. 5例例axaxaxlnlnlim.6例例

15、.1ln11lnlim1aeaaaxaaxaax.31)321)(4()4(2lim4xxxx.cos22sin2coslimaaxaxaxax.logloglim1)1(0eaxaxx)0(ln1limaaxaxaxYunnanUniversity3. 连续函数连续函数)1,0(1lim.70aaxaxx例例.)log, 1()1(yaxxay则代换法，令.lnlog1)(loglimloglim1)1(0)1(01ayeayayyayy时时，取取时时，当当特特别别nxxeeaxx1.11lim,0.ln)1(lim11lim1aannannnnYunnanUniversity3. 连续函数

16、连续函数可可有有证证明明：若若例例)()()(,.8yfxfyxfRyx上上连连续续，且且在在则则连连续续在在点点且且加加性性Rxfxf)(,0)(),).()1 ()(线线性性函函数数xfxf.0)0(:f由由已已知知得得证证明明，有有对对Rx )()(lim)(lim00 xfxfxxfxx).()0()(xffxf连连续续）在在（0)(xxf上上连连续续。在在故故Rxf)(YunnanUniversity3. 连续函数连续函数.)1 ()(xfxf以以下下证证明明),1 ()11 ()(,kffxfNkkx有有当当),1()11()()1 (kkfkkfkkff而而).1(1)1(fkk

17、f又又有有是是正正有有理理数数，有有当当nmnmx,).1 ()1()(fnmnmfnmf，而而) 1() 1 (2) 1()2()1(2() 1 (ffffffYunnanUniversity3. 连续函数连续函数).1()1(ff又又有有是是正正有有理理数数，有有当当nmnmx,).1 ()(fnmnmf)1 (1)1(),1()()1(fkkfkkfkkff.)1 ()(,rfrfr有有于于是是，对对任任意意有有理理数数,000是是无无理理数数是是有有理理数数，已已证证；若若若若现现在在，对对xxRx ,nrR上上一一有有理理数数列列则则任任取取, .ts的的连连，由由)(lim0 xf

18、xrnn.)1 ()1 (lim)(lim)(00 xfrfrfxfnnnn续续性性得得.)1 ()(,0 xfxfRxx有有的的任任意意性性，对对根根据据YunnanUniversity3. 连续函数连续函数四四. . 不延续点的类型不延续点的类型 :)(0件件连连续续须须满满足足以以下下三三个个条条在在点点xxf,)()1 (0有有定定义义在在点点 xxf,)0()0()2(00都都存存在在与与xfxf).()0()0() 3(000 xfxfxfYunnanUniversity3. 连续函数连续函数:例例,lim, 1lim00NxNxNxNx.是是第第一一类类不不连连续续点点所所有有整

19、整数数点点Nx ),0()0(,)0(),0(. 10000 xfxfxfxf但但都都存存在在.)(0的的第第一一类类不不连连续续点点是是称称xfx不延续点(延续点)分类,xy YunnanUniversity3. 连续函数连续函数)(,)0()0(. 2000 xfxxfxf是是称称至至少少有有一一个个不不存存在在与与.的的第第二二类类不不连连续续点点:例例.0)00(,)00(),1(1ffaaxfx）（.)00()00(.0, 0, 0,1sin皆皆不不存存在在与与）（ffxxxxfYunnanUniversity3. 连续函数连续函数)0()(lim)0()0(. 30000 xfxf

20、xfxfxx存存在在，但但即即.（去去）不不连连续续点点是是可可移移无无定定义义，称称）在在（）或或（0000)0(xxxfxfxf:例例而而）（, 01sinlim,.0, 10,1sin0 xxxxxxxfyx.0. 10是是可可去去不不连连续续点点故故）（xf）在在（要要改改变变或或重重新新定定义义对对于于这这类类不不连连续续点点，只只xf，则则新新的的函函数数在在点点的的函函数数值值，使使其其等等于于点点)(lim00 xfxxx.00的的连连续续开开拓拓）在在点点（连连续续，称称之之为为xxfxYunnanUniversity3. 连续函数连续函数，则则）（上上例例中中，重重新新定定

21、义义00 f连连续续，成成为为在在）（0,.0, 00,1sinxxxxxxFy，）（），定定义义（）（又又如如100, 1sinlim,sin0fxxxxxxfx.0, 10,sin是是连连续续函函数数）（则则xxxxxF延续函数.YunnanUniversity3. 连续函数连续函数可去型可去型第一类延续点第一类延续点oyx腾跃型腾跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类延续点第二类延续点oyx0 xoyx0 xoyx0 xYunnanUniversity3. 连续函数连续函数.tan. 9的的不不连连续续点点讨讨论论例例xxy )., 2, 1, 02tannnnx（和和别别为为无无意意义义和

22、和等等于于零零的的点点分分解解：.0, 1tanlim0是是可可去去不不连连续续点点故故）（xxxix), 2, 1(), 2, 1(tanlimnnxnxxiinx故故）（.是是第第二二类类不不连连续续点点, 0(2), 2, 1, 0(0tanlim2nnxnxxiiinx故故）（.), 2, 1是是可可去去不不连连续续点点YunnanUniversity3. 连续函数连续函数.10的的不不连连续续点点讨讨论论例例xxy ., 2, 1, 0点点，即即的的不不连连续续点点是是全全体体整整数数解解： x.0)0 ,0(0 00lim)(0是是连连续续点点，故故考考察察xxxxix, 2, 1

23、lim),1(lim)(200NxNxxNNxxiiNxNx，故故都都是是第第一一类类不不连连续续点点。YunnanUniversity3. 连续函数连续函数.0, 00,) 1(1)(.112的的连连续续性性研研究究例例xxxxxxf.1 , 0)(,)(:连连续续在在由由初初等等函函数数的的连连续续性性知知解解xxfi是是而而0, 0)0(,1lim)(lim)(00 xfxxxfiixx.第第二二类类不不连连续续点点.1, 21lim)(lim)(11是是可可去去不不连连续续点点xxxxfiiixxYunnanUniversity3. 连续函数连续函数. 0, 10, 1)(xxxxxf

24、ex：是是第第故故又又连连续续在在0. 1)00(, 1)00(.0)(xffxxf.一一类类不不连连续续点点xyo1-12YunnanUniversity3. 连续函数连续函数五五. . 闭区间上延续函数的性质闭区间上延续函数的性质,)(,).(1有有界界在在上上的的连连续续函函数数闭闭区区间间有有界界性性baxfbaprop.)(, 0MxfbaxM有有对对即即）（性性质质，而而上上的的有有界界性性是是一一个个整整体体）在在（注注xfbaxf,. 1.0性性却却是是局局部部性性质质连连续续即即存存在在极极限限的的有有界界在在点点x例例如如连连续续函函数数不不一一定定有有界界开开区区间间或或

25、半半开开区区间间上上的的注注. 2. 1 , 01上上无无界界在在（）（xxfYunnanUniversity3. 连续函数连续函数上上的的连连续续函函数数闭闭区区间间具具有有最最大大（最最小小）值值性性,)(. 2baprop,)(bamMbaxf，即即在在和和最最小小值值上上必必有有最最大大值值在在，有有对对，和和内内至至少少存存在在两两点点, .21baxts.)()()(21Mfxffm（或或最最数数一一般般可可能能取取不不到到最最大大注注：开开区区间间上上的的连连续续函函.) 1 , 0.Mxxf上上取取不不到到在在）（如如小小）值值YunnanUniversity3. 连续函数连续

26、函数上上连连续续，且且在在（零零点点存存在在定定理理）若若,)(. 3baxfprop内内，则则在在异异号号与与即即),()()(0)()(babfafbfaf. 0,）（使使至至少少有有一一点点f. 0) 1 (2 , 21)(.0)(fxxxfxf，有有，如如的的根根内内一一定定没没有有，则则不不能能说说明明在在注注：若若),(0)()(babfafYunnanUniversity3. 连续函数连续函数和和在在两两端端点点上上的的连连续续曲曲线线在在axfyba)(,轴轴有有则则此此曲曲线线至至少少在在轴轴之之两两侧侧的的图图形形分分别别在在xxb,.一一个个交交点点间间以以取取其其最最小

27、小和和最最大大值值之之可可上上的的连连续续函函数数闭闭区区间间介介值值性性)(,)(. 4xfbaprop.的的一一切切值值oabxy几何意义:YunnanUniversity3. 连续函数连续函数上上的的最最在在分分别别是是与与且且上上连连续续在在若若,)(,)(baxfMmbaxf上上至至少少存存在在一一在在小小值值和和最最大大值值，则则对对,:baMcmc.)(,cf使使得得点点轴轴的的必必与与平平行行于于上上的的连连续续曲曲线线xxfyba)(,.)(相相交交直直线线McmcyyxoMcm1a2b几何意义:YunnanUniversity3. 连续函数连续函数.,)(,:定定理理显显然

28、然则则若若证证明明constxfMm21, 2,和和内内存存在在在在则则由由若若bapropMm 且且不不妨妨设设,)(,)(2121Mfmf);()(,2121fcfba此此时时.,)()(2121定定理理成成立立或或则则或或若若cfcf, .ts,)()(.)()(21cxfxFfcf作作辅辅助助函函数数情情形形故故只只需需证证, 0)()(,)(11cfFbaxF且且上上连连续续在在则则使使内内至至少少有有一一点点在在由由),(, 3. 0)()(2122propcfF.)(, 0)()(cfcfF即即YunnanUniversity3. 连续函数连续函数证证明明奇奇次次多多项项式式方方

29、程程例例.1201221120nnnaxaxa. 0,01210aaaan是常数，是常数，中中至少存在一个实根，其至少存在一个实根，其1221120)(:nnnaxaxaxP令令证证明明).(12121012nnnxaxaax有有不不妨妨设设上上连连续续在在则则, 0.)(0aRxP.)(lim)(limxPxPxx与与,. 0)(0)(, 0,由由零零点点存存在在定定理理与与使使于于是是aPaPa,),(0 xaa内内至至少少有有一一点点在在 ,.ts., 0)(0即即xPYunnanUniversity3. 连续函数连续函数.32sin.1的的正正根根至至少少有有一一个个不不超超过过证证明

30、明方方程程xxex与与在在证证明明方方程程),(0.213322112xaxaxaex且且其其中中内内各各有有一一个个实实根根),3 , 2 , 1(0,),(32iai.321令令证证明明.,:321x)()()(312321xxaxxaxf.0)(213xxa, 0)()(312111af有有, 0)()(321222af.0)()(231333afYunnanUniversity3. 连续函数连续函数则则且且上上连连续续在在若若证证明明例例),2()0(,2 , 0)(:.13affaxf., 0)()(内内至至少少有有一一个个根根在在方方程程aaxfxf, 0)().()()(:上上连

31、连续续在在则则令令证证明明axFaxfxfxF),()0()0(affF且且).0()()2()()(fafafafaF的的是是方方程程或或则则若若)()(0),()0(axfxfaxxaff.一一个个根根YunnanUniversity3. 连续函数连续函数.)()()(的的零零点点问问题题xgxfxF.,实实质质也也是是求求根根问问题题对对于于不不动动点点问问题题题总可化为连续函数题总可化为连续函数内至少存在一个根的问内至少存在一个根的问在在,ba)()(.,)()(:xgxfbaxgxf证证明明方方程程上上连连续续在在与与设设注注0), 0(xa 内内至至少少有有一一点点,.ts是是即即

32、00, 0)(xxxF.)()(的的一一个个根根axfxf据据零零点点存存在在定定理理，在在则则若若, 0)()0(),()0(aFFaffYunnanUniversity3. 连续函数连续函数,)(,000 xxfbaxba使使则则至至少少存存在在一一点点的的集集合合也也是是且且函函数数值值上上连连续续在在若若)(,)(.3xfbaxfex.)(0 xxf至至少少有有一一个个不不动动点点即即, 0)(;, 0)(0)(aFbFaF若若证证毕毕或或若若., 0)(由由零零点点定定理理证证之之bF.)(,)()(:bxfaxxfxF且且令令证证明明YunnanUniversity3. 连续函数连

33、续函数，点点内内连连续续）在在区区间间（000XxXxf.)()(,00 xfxfxx有时当一一般般也也不不同同，即即不不同同时时，当当一一般般，对对同同一一个个0 x.,00）（而改变，记为和随xx，都适用的能否找到一个对所有点Xx 0.）具有一致连续性（这要求xf一致延续性:, ）（有关，记为仅与即.0 x和同时依赖于这里YunnanUniversity3. 连续函数连续函数：Def半半闭闭）上上有有（或或开开，或或闭闭，或或半半开开）在在区区间间（设设Xxf内内在在，则则称称有有时时Xxfxfxfxx)()()(,2121.）一一致致连连续续（或或均均匀匀连连续续当当对对若若对对定定义义

34、,0,0,21Xxx.,.1无无关关内内的的点点有有关关而而与与仅仅与与定定义义中中注注xX的通用性YunnanUniversity3. 连续函数连续函数. 2的的概概念念一一致致连连续续是是一一个个整整体体性性连连续续是是一一个个局局部部概概念念，注注内内连连续续，但但内内一一致致连连续续必必在在在在显显然然，XXxf)(.反反之之不不一一定定然然非非一一致致连连续续的的比比较较注注 . 3点点，对对内内非非一一致致连连续续）在在区区间间（000Xxf时时，有有，当当，2121xxXxx.021）（）（xfxfYunnanUniversity3. 连续函数连续函数内内一一致致连连续续，而而在在在在）（证证明明例例)0)(1 ,(1cos.14ccxxf.)1 , 0(内内连连续续但但非非一一致致连连续续，由由，对对证证明明：1, 02121xxcxx21211cos1cosxxxfxf）（）（,2sin2sin2221212121212121Cxxxxxxxxxxxxxx.0.22221，于于是是，取取得得CCCxxYunnanUniversity3. 连续函数连续函数.)1 ,0(1cos)()1 ,0(内内连连续续在在，知知考考虑虑xxf内内取取，在