高中数学：12余弦定理ppt课件

1、1.2. 1.2. 余弦定理余弦定理 （2 2）知知 识识 改改 变变 命命 运运, ,勤勤 奋奋 成成 就就 未未 来来. . 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。Abccbacos2222Baccabcos2222Cabbaccos2222余弦定理余弦定理222222222coscoscos222bcaacbabcABCbcacab公式变形：公式变形：课前复习课前复习例例1.在长江某渡口处，江水以在长江某渡口处，江水以5km/h的速度向东流，一渡船在江的速度向东流，一渡船

2、在江南岸的南岸的A码头出发预定要在码头出发预定要在0.1h后到达江北岸的后到达江北岸的B码头如图），码头如图），设设 为正北方向，已知为正北方向，已知B码头在码头在A码头的北偏东码头的北偏东 ， 并与并与A码头相距码头相距1.2km,该渡船应按什么方向航行？该渡船应按什么方向航行？速度是多少角度精确到速度是多少角度精确到 ，速度精确到，速度精确到0.1km/h ）？）？AN150.1ACDBN15解：船按解：船按 方向开出，方向开出， 方向为水流方向，方向为水流方向，ADAC以以AC为一边，为一边，AB为对角线作平行四边形为对角线作平行四边形ABCD,其中其中,AB=1.2km,AC=50.1

3、=0.5kmABC在中，由余弦定理，得2221.20.52 1.2 0.5cos 90150.33BC 1.171.170.111.7/ADBCkmkm h船的速度为ABC 在中，由正弦定理，得159.4DANDABNABABC sin0.5sin75sin1.170.4128 24.4ACBACABCBCABC例例1.在长江某渡口处，江水以在长江某渡口处，江水以5km/h的速度向东流，一渡船在江的速度向东流，一渡船在江南岸的南岸的A码头出发预定要在码头出发预定要在0.1h后到达江北岸的后到达江北岸的B码头如图），码头如图），设设 为正北方向，已知为正北方向，已知B码头在码头在A码头的北偏东码

4、头的北偏东 ， 并与并与A码头相距码头相距1.2km,该渡船应按什么方向航行？该渡船应按什么方向航行？速度是多少角度精确到速度是多少角度精确到 ，速度精确到，速度精确到0.1km/h ）？）？AN150.1ACDBN159.411.7/km h答：渡船应按北偏西的方向， 并以的速度航行.2. sin2sincosABCABC例在中，已知，.试判断该三角形的形状222sin,cossin2AaabcCBbab解：由正弦定理和余弦定理，得 222 22aabcbab22bc整理，得 0,0bcbcABC 为等腰三角形思索：想想看有无其它的方法？思索：想想看有无其它的方法？变式训练：变式训练： 在在

5、ABC中，若中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，试判断三角形的形状。，试判断三角形的形状。解：由正弦定理，解：由正弦定理，R为为ABC的外接圆半径，将原式化为的外接圆半径，将原式化为2sinsinsinabcRABC4R2sin2Bsin2C+4R2sin2Csin2B =8R2sinBsinCcosBcosC， 所以所以8R2sin2Bsin2C=8R2sinBsinCcosBcosC， 因为因为sinBsinC0，所以，所以sinBsinC=cosBcosC， 即即cos(B+C)=0， 从而从而B+C=90，A=90，故故ABC为直角三角形。为直角三角形。 解解

6、2：将已知等式变形为：将已知等式变形为b2(1cos2C)+c2(1cos2B)=2bccosBcosC，由余弦定理得由余弦定理得变式训练：变式训练： 在在ABC中，若中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，试判断三角形的形状。，试判断三角形的形状。222222222222()()22abcacbbcbcabac222222222acbabcbcacab即得，即得， 2222222222()()4abcacbbca得得b2+c2=a2，故故ABC是直角三角形。是直角三角形。 变式训练：变式训练： 在在ABC中，若中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC

7、，试判断三角形的形状。，试判断三角形的形状。2223. 12-2AMABCBCAMABACBC例如图，为中边上的中线，求证：BAC22212-2AMABACBC,180AMBAMC证明：设则222 2cosAMBABAMBMAM MB在中，由余弦定理，得222 2cos 180AMCACAMMCAM MC在中，由余弦定理，得1cos 180cos ,2MBMCBC 2222122ABACAMBC变式训练：变式训练： 试用余弦定理证明平行四边形的试用余弦定理证明平行四边形的两条对角线平方的和等于四边平方的和两条对角线平方的和等于四边平方的和. A B C D例例4. ABC中，中，（1假设假设

8、求求A；（2假设假设 求最大的内角。求最大的内角。 sin:sin:sin( 31):( 31): 10ABC 222sinsinsinsinsinABCBC解：（解：（1由正弦定理得由正弦定理得a2=b2+c2+bc， 即即b2+c2a2=bc，所以，所以2221cos,22bcaAbc 故故A=120； 解：（解：（2由于，由于， 所以所以C为最大角，为最大角，313110 设设a=( 1)k，b=( +1)k，c=10k，33222222222( 31)( 31)10cos22( 31)( 31)abckkkCabk12 故最大内角故最大内角C为为120.例例4. ABC中，中，（1假设

9、假设 求求A；（2假设假设 求最大的内角。求最大的内角。 sin:sin:sin( 31):( 31): 10ABC 222sinsinsinsinsinABCBCsin:sin:sin2:3:4,cosABCC则1. 在在ABC中，中，142. 在在ABC中，中，2 coscaBABC已知，试判断的形状.等腰三角形603. 在在ABC中，中，2,3,60 ,abC试判断此三角形的形状.锐角三角形5. 在在ABC中，中，3,abcbcaabcA已知求 的度数.4. 在在ABC中，中，22sinsinsin,abcABC已知，试判断此三角形的形状.正三角形6. 在在ABC中，中，4 3,2 3,ABACADBC已知为边上的中线，30 ,.BADBC且求