用待定系数法求二次函数的解析式2

1、求抛物线解析式的三种方法求抛物线解析式的三种方法第第2222章章 抛物线解析式抛物线解析式抛物线与抛物线与x轴交点坐标轴交点坐标( (x1,0),( ,0),( x2,0),0)y=2(2(x-1 1)()(x-3 3) )y=3(3(x-2 2)()(x+1+1) )y=-5(5(x+4+4)()(x+6+6) )-x1- x2求出下表中抛物线与x轴的交点坐标，看看你有什么发现？轴的交点坐标，看看你有什么发现？（1，0）（）（3，0）（2，0）（）（-1，0）（-4，0）（）（-6，0）( (x1,0),( ,0),( x2,0),0)y=a( (x_)()(x_) ) （a0 0）交点式交

2、点式温故而知新温故而知新二次函数解析式有哪几种表达式？二次函数解析式有哪几种表达式？ 一般式：一般式：yax2+bx+c (a0) 顶点式：顶点式：ya(x-h)2+k (a0)特殊形式特殊形式 交点式：交点式：ya(x-x1)(x-x2) (a0)2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k），），通常设抛物线解析式为通常设抛物线解析式为_求出表达式后化为一般形式求出表达式后化为一般形式.3,交点式交点式:已知抛物线与已知抛物线与x 轴的两个交点轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为通常设解析式为_求出表达式后化为一般形式求出表达式后化为一般形式.1

3、、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为析式为_ y=ax2+bx+c(a0) y=a(x-h)2+k(a0)y=a(x-x1)(x-x2) (a0)求抛物线解析式的三种方法求抛物线解析式的三种方法回顾：用待定系数法求一次函数的回顾：用待定系数法求一次函数的解析式解析式 已知一次函数经过点（已知一次函数经过点（1，3）和（）和（-2，-12），求这个一次函数的解析式。），求这个一次函数的解析式。 解：设这个一次函数的解析式为解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b, 因为一次函数经过点（因为一次函数经过点（1，3）和（）和（-2，-12），）， 所以所

4、以k+b=3-2k+b=-12解得解得 k=3，b=-6一次函数的解析式为一次函数的解析式为y=3x-6.步骤：一设，二代，三解，四写一般式：一般式： y=ax2+bx+c交点式：交点式：y=a(x-x1)(x-x2)顶点式：顶点式：y=a(x-h)2+k解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为y=ax2+bx+c由条件得：由条件得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程得：解方程得：因此：所求二次函数是：因此：所求二次函数是：a=2, b=-3, c=5y=2x2-3x+5已知一个二次函数的图象过点（已知一个二次函数的图象过点（1,10）、）、（1,4）、（）、（2,7）

5、三点，求这个函数的解析式？）三点，求这个函数的解析式？oxy例例1已知抛物线已知抛物线yax2bxc(a0)与与x轴交于轴交于A(-1,0），），B(3，0)，并且过点，并且过点C(0,-3)，求抛物线的解析式？求抛物线的解析式？解：解： 设所求的二次函数为设所求的二次函数为 yax2bxc由条件得：由条件得：a-b+c=09a+3b+c=0c=-3得：得： a1 b= -2 c= -3故所求的抛物线解析式为故所求的抛物线解析式为 y=x22x3一般式：一般式： y=ax2+bx+c交点式：交点式：y=a(x-x1)(x-x2)顶点式：顶点式：y=a(x-h)2+k例例2解：解：设所求的二次函

6、数为设所求的二次函数为y=a(x1)2-3由条件得：由条件得：已知抛物线的顶点为（已知抛物线的顶点为（1，3），与），与y轴交点为轴交点为（0，5）求抛物线的解析式？）求抛物线的解析式？yox点点( 0,-5 )在抛物线上在抛物线上a-3=-5, 得得a=-2故所求的抛物线解析式为故所求的抛物线解析式为 y=2(x1)2-3即：即：y=2x2-4x5一般式：一般式： y=ax2+bx+c交点式：交点式：y=a(x-x1)(x-x2)顶点式：顶点式：y=a(x-h)2+k例例3广东省怀集县桥头镇初级中学广东省怀集县桥头镇初级中学 姚姚 悦悦三、研学教材练一练练一练 已知二次函数的图象的顶点坐标为

7、已知二次函数的图象的顶点坐标为（2 2，3 3），且图像过点（），且图像过点（3 3，1 1），）， 求这个二次函数的解析式求这个二次函数的解析式解：设所求的二次函数的解：设所求的二次函数的解析式为解析式为y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k(a(a0)0) 二次函数的图象的顶点二次函数的图象的顶点坐标为（坐标为（2 2，3 3）y=a(x+2)y=a(x+2)2 2 -3-3又又二次函数的图象过点二次函数的图象过点（3 3，1 1）a(-3+2)a(-3+2)2 2 -3=-1-3=-1解得解得a=2a=2这个二次函数这个二次函数的解析式为的解析式为y=2(x+2)y=2(x+2)

8、2 2 -3-3用待定系数法确定二次函数解析式的用待定系数法确定二次函数解析式的基本方法分四步完成：基本方法分四步完成：一设、二代、三解、四还原一设、二代、三解、四还原一设一设:指先设出适当二次函数的解析式指先设出适当二次函数的解析式二代二代:指根据题中所给条件，代入二次函数的指根据题中所给条件，代入二次函数的解析式，得到关于解析式，得到关于a、b、c的方程组的方程组三解三解:指解此方程或方程组指解此方程或方程组四还原四还原:指将求出的指将求出的a、b、c还原回原解析式中还原回原解析式中方方 法法 小小 结结练习：根据下列条件，求二次函数的解析式。练习：根据下列条件，求二次函数的解析式。(1)

9、、图象经过、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，2) 三点；三点；(2)、图象的顶点、图象的顶点(2，3)， 且经过点且经过点(3，1) ；xxy21127)1 (2xxy2121)3(3)2(2)2(2xy(3)、图象经过、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点，且最高点 的纵坐标是的纵坐标是3 。1、已知二次函数的图像过点、已知二次函数的图像过点(0, 0)，(1,3)，(2,-7)三点，则该二次函数关系式为三点，则该二次函数关系式为_。21522yxx 2、若二次函数的图像有最高点为、若二次函数的图像有最高点为(1,6)，且经过点，且经过点(2，8），则此二次函数的关系

10、式），则此二次函数的关系式_22(1)6yx 3、若二次函数的图像与、若二次函数的图像与x轴的交点坐标为轴的交点坐标为(1,0)、(2,0)且过点且过点(3,4)，则此二次函数的关系式为，则此二次函数的关系式为_2(1)(2)yxx熟能生巧熟能生巧有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为的最大高度为16m16m，跨度为，跨度为40m40m现把它现把它的图形放在坐标系里的图形放在坐标系里( (如图所示如图所示) )，求抛，求抛物线的解析式物线的解析式 设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为y=ax2bxc，解解法法一：一：根据题意可知根据题意可知:抛物线经过

11、抛物线经过(0，0)，(20，16)和和(40，0)三点三点 可得方程组可得方程组 所求抛物线解析式为所求抛物线解析式为218255yxx 知知 识识 应应 用用0,58,251cba解得有一个抛物线形的立交桥拱，这个有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为桥拱的最大高度为16m16m，跨度为，跨度为40m40m现把它的图形放在坐标系里现把它的图形放在坐标系里( (如图所示如图所示) )，求抛物线的解析式求抛物线的解析式 设抛物线为设抛物线为y=a(x-20)216 解解法法二二根据题意可知根据题意可知 点点(0，0)在抛物线上，在抛物线上， 所求抛物线解析式为所求抛物线解析式为 知知

12、识识 应应 用用设抛物线为设抛物线为y=ax(x-40 ）解：解：根据题意可知根据题意可知 点点(20，16)在抛物线上，在抛物线上， 有一个抛物线形的立交桥拱，这个有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为桥拱的最大高度为16m16m，跨度为，跨度为40m40m现把它的图形放在坐标系里现把它的图形放在坐标系里( (如图所示如图所示) )，求抛物线的解析式求抛物线的解析式 知知 识识 应应 用用 回回 顾顾 与与 反反 思思已知图象上三点或三对的对应值，已知图象上三点或三对的对应值， 通常选择一般式通常选择一般式已知图象的顶点坐标（对称轴和最值）已知图象的顶点坐标（对称轴和最值） 通常选择

13、顶点式通常选择顶点式已知图象与已知图象与x轴的两个交点的横坐标轴的两个交点的横坐标x1、x2， 通常选择交点式通常选择交点式yxo确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式，恰当地选用一种函数表达式， 解：解： 根据题意得顶点为根据题意得顶点为(1,4)由条件得与由条件得与x轴交点坐标轴交点坐标(2,0)；(-4,0） 已知当已知当x1时，抛物线最高点的纵坐标为时，抛物线最高点的纵坐标为4，且与且与x轴两交点之间的距离为轴两交点之间的距离为6，求此函数解析式，求此函数解析式yox设二次函数解析式：设二次函数解析式：ya(x1)2+4有有0a(21)2+4，得，得a94故所求的抛物线解析式为故所求的抛物线解析式为 y= (x1)2494知识提高：知识提高：已知二次函数已知二次函数y=ax2+bx+c的的最大值是最大值是2，图象顶点在直线，图象顶点在直线y=x+1上，上，并且图象经过点（并且图象经过点（3，-6）。求）。求a、b、c。解：