2021年广东各市一模理科数学圆锥曲线试题及答案汇总

1、2012年广州市普通高中毕业班综合测试(一)20.(本小题满分14分)2已知椭圆x2 +匕=1的左，右两个顶点分别为 A、B .曲线C是以A、B两点为顶4点，离心率为J5的双曲线.设点P在第一象限且在曲线 C上，直线AP与椭圆相交于另一点T .(1)求曲线C的方程；(2)设P、T两点的横坐标分别为 x1 > x2 ,证明：x1 2 =1 ;uur uur(3)设ATAB与APO B (其中O为坐标原点)的面积分别为&与S2，且PAgPB < 15 ,求S： -S22的取值范围.2011-2012学年度联合考试(11月25-26日)20.(本小题满分14分)在周长为定值的 小

2、BC中，已知| AB | = 23，动点C的运动轨迹为曲线 G ,且当动点C运动时，cos C有最小值.2(I )以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，求曲线G的方程；(n )过点”0 )作圆x2 +y2 =1的切线l交曲线G于M ,N两点，将线段MN的长M N|表 示为m的函数，并求MN|的最大值.2012年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)19.(本题满分12分)已知圆C1 :(x 4)2 +y2 =1 ,圆C2 : x2 +(y 2)2 =1 ,动点P到圆C1，C2上点的距离 的最小值相等.(1)求点P的轨迹方程；(2)点P的轨迹 上是否 存在点Q ,使得 点Q到

3、点A(-2 J2,0)的距离减去 点Q到点B(2 J2,0)的距离的差为4 ,如果存在求出Q点坐标，如果不存在说明理由2012年汕头市高中教学质量测评(一)20.(本题满分14分)22已知椭圆x_ +: =1(a >b A0)的左右焦点分别为 F1 ,F2 ,短轴两个端点为 A B ,且四边 a2 b2形F1AF2 B是边长为2的正方形。(I )求椭圆方程；(n )若C,D分别是椭圆长轴的左右端点，动点M满足MD _L CD ,连接CM ,交椭圆于点P ,证明：OM OP为定值；(出)在(n)的条件下，试问 x轴上是否存在异于点 C的定点Q ,使得以MP为直径的圆恒过直线DP , MQ的

4、交点，若存在，求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由。2012惠州市一模19 .(本小题满分14分)已知点C (1,0),点人、8是。O: x2 +y2 =9上任意两个不同的点，且满足AC，BC=0,设P为弦AB的中点.(1)求点P的轨迹T的方程;(2)试探究在轨迹 T上是否存在这样的点： 它到直线x = -1的距离恰好等于到点 C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由.广东省东莞市2012届高三理科数学模拟试题(一)20 .(本小题满分14分)已知椭圆的一个顶点为A(0,-1),焦点在x轴上，中心在原点.若右焦点到直线x y+2v'2 =0的距离为 3.(1)求椭圆的

5、标准方程;(2)设直线y =kx十m (k # 0)与椭圆相交于不同的两点 M , N .当AM = AN时,求m的取值范围.2012年深圳市高三年级第一次调研考试19.(本小题满分14分)22一如图7,已知椭圆C :二+-yF=i(a Ab >0)的离心率为 ,以椭圆C的左顶点T为a b2圆心作圆T : (x +2)2 +y2 =r2(r > 0),设圆T与椭圆C交于点M与点N .(1)求椭圆C的方程；(2)求TM TN的最小值，并求此时圆 T的方程；(3)设点P是椭圆C上异于M , N的任意一点，且直线 MP,NP分别与x轴交于点R, S , O为坐标原点，求证： OR OS为

6、定值.江门市2012年高考模拟考试19.(本小题满分12分)22已知直线X -x'3y + J3 =0经过椭圆C： 一十 yy=1 (abA0)的一个顶 a b点B和一个焦点F .求椭圆的离心率；设P是椭圆C上动点，求| PF | - | PB |的取值范围，并求| PF | - | PB |取最小值时点P的坐标.肇庆市中小学教学质量评估2012届高中毕业班第一次模拟试题20.(本小题满分14分)已知圆C与两圆x2 +(y+4)2 =1 , X2 +(y2)2 =1外切，圆C的圆心轨迹方程为 L,设L上的点与点M (x, y)的距离的最小值为 m ,点F (0,1)与点M (x, y)

7、的距离为n .(I)求圆C的圆心轨迹L的方程；(n)求满足条件 m = n的点M的轨迹Q的方程；(m)试探究轨迹 Q上是否存在点B(x1,y1),使得过点B的切线与两坐标轴围成的三角形 _1 .的面积等于一。若存在，请求出点 B的坐标；若不存在，请说明理由 .22012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）20.（本小题满分14分）(1) 解 ： 依 题 意 可 得 A(-1,0)B （1,0） . 1分2设双曲线C的方程为x 4 - kx =2 k -y- =1 （b >0b2因为双曲线的离心率为疵,所以J1+） =拆,即b = 2 .1所 以 双 曲 线 C 的 方 程 为2x2 -

8、=1 . 3分4(2)证法1:设点 P(x1, y1) > T(x2, y2)( x >0 , yi >0 , i =1,2 ),直线AP的斜率为AP(k >0),贝Uy =k(x +1),y =k x 1 ,=1.整理,222x 2kx-k -4=0x = 1x24 -k24 k24k24 -k2x1 x2 =1 .证法2:设点P（x1,y1）T (x2,y2) ( x >0 , yi >0 , i =1,2 ),V1kATV2X2k AP = k ATV1V2X12V12V2X12X21因为点P和点T分别在双曲线和椭圆上，所以X：2y122V1=4 X1

9、 -1X22y2=4 12-X22X1124 1 - X22X21X1 -11-X2X1 X2 =1设 点P（X1,y1）,直线 AP 的Vi y ;X1 1(x +1),y =一X122 . y .X =1.整理，得 4( x1 +1)2 + y： |x2 +2y：x + y： -4( x1 +1)2 =0 ,解得x = _1224( xi1)_Vix 二-T 2 2将 y1 =4x1 -4 代入 x =22，得 x =一,即 x24(x11). V14( x1 - 1) 一 y1x1x1所以x1 x2 =1 . 8分(3)解：设点 P(x1,火)、T(x2, y2) ( xi >0

10、, yi > 0 , i =1,2),则 PA =(1 X,y1 ), PB =(1_”，一y1 ).2.因 为 PA .PB <15, 所 以(1 x1 )(1 x1 )+y1 <15, 即22x1 +y1 <16 . 9分2因为点P在双曲线上，则 x12 -y =1 ,所以x12 +4x12 -4 <16 ,即x12 W 4 .4因为点 P 是双曲线在第一象限内的一点，所以1 < x1 <2 . 10分E41口为 S1 =一 |AB| y 2 | H y 2 | 52所11S2 =一|OB | y1 |= 一|y1 |,22C 2 c 2S1- S

11、22122二、2 y1=4 -4x242/_2.2)(x1 1 )=5 x1 4x211.1由(2)知，x1 -x2 =1 ,即 x2 =一.x1设 t=x12,则 1<tE4,2 24S12 -S22 =5 -t -. t、4.42 -t 2 t设 f (t ) = 5 -t,则 f (t ) = 1 + 工=2ttt当 1<t<2 时，f '(t )>0 ,当 2 ctM4 时，f'(t)<0,所以函数f(t)在(1,2)上单调递增，在(2,4上单调递减.因为 f (2 ) = 1 , f (1 )= f (4 )=0 ,所 以 当 t=4,即

12、x1=2 时 ，22(Si -S2 L = f (4 ) = 0 . 12分当t = 2,即x1 = 5/2时，_ 2_ 2(S1 s2 '= f (2 ) = 1 . 13分所 以 S12 -S22的 取 值 范 围 为10,1 . 14分说明：由S12-S22=5 _(x：+4x22 )<5-4x1x2=1,得(S：S22=1 ,给 1 分.2011-2012学年度联合考试(11月25-26日)20.【解析】(I)设|CA| +|CB | = 2a(a>j3)为定值，所以C点的轨迹是以A, B为焦点的椭圆所以焦距2c T AB =2 事.因为cosC =|CA12 &q

13、uot;町?.3)2 2 | C A| CB |2(| CA | | CB |)-2 | CA | CB |122 | CA | CB |2a2 -6-1|CA|CB |2a 22又 | CA | |CB |<(一) =a26,6,所以cos C之1 -,由题息得1 一二=-La2 =4 .22所以C点轨迹G的方程为 +y2 =1 (y *0)4(n)由题意知|m |_1,当m =1时，切线l的方程为x =1，点M，N的坐标分别为也2m =口时，同理可知|M N | 二出当| m >1时，设切线1的方程为y =k (x -m ),2 x 2+ v 1.y22222由 < 4得

14、(1 +4k 卜8k mx +4k m 4 =0 8分)y = k x -m，此时 | MN |=« .222设M,N两点的坐标分别为(则二二"1/| km |又由1与圆x +v =1相切，得,2=1 ,即m2k之k2 +1 ,k -1所以 | M N |=J(1 +k2 )卜 +x2 j _4x/2 |21 +kL(4264 km2 21 ：4k1 1b4k2I 4731m |由于当m =阴时，| M N |-73 ,所以| MN |= 441m | ,m亡(-二，_1 .l1, , ),m ，3因为MN4 3|m |4、3m2 +3 U 1 3 M2 ,且当 m 二+展

15、时，| MN |=2 .| m | -| m |所以MN的最大值为2.14分2012年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)19.(本题满分13分)解:(1)设动点P的坐标为(x, y),C1的圆心 a 坐标为(4C2 的圆心 C2因为动点C1 , C2 ± 的| PC 1 闫 PC 2 |,y = 2xy = 2x-3 ；(2)假设这样的22-4) y占八、Q点存在,.x2 (y -2) 2点的距离的差为4,因为Q点到A(2 J2,0)点的距离减去 Q点到B(2 V2, 0)所以Q点在以A(-2后,0)和B(2 J2,0)为焦点，实轴长为4的双曲线的右支上,22占八、xy-=1 (

16、x _ 2 )44上,=2x -3又Q点在直线l:y=2x 3±,解，11分点的坐标是方程组二1消元得 3x2 -12 x +13 =0 , =122 4M3M13 <0 ,方程组无解,的轨 迹上 不存在 满足条件Q .20.(本题满分14分)解：方 法.11 -ax上,f (x)= a=.xx13分在 区间(0,也c 1f1分(1 )当 a =2 时，f ( 1注 1 表则切线方程为y _(_2) = _(x 1), 即x+y+1=0 3分(2)若a <0，则f (x) >0 , f (x)是区间(0, -He)上的增函数aQ f (1) - -a . 0 , f

17、 (e )=aaa-ae = a (1 - e ) ：: 0 ,f (1)，f (ea) <0,函 数 f(x) 在 区 间(0，收；点.6分 若 a =0, f (x) =ln x 有 唯x =1 . 7 分1右 a >0，令 f (x)=0 佝：x =一.a 1,.一，在区间(0,-)上，f (x) >0，函数f (x)是增函数； a在区间(一，+=c)上，f '(x) < 0，函数f ( x)是减函数； a ,，11故在区间(0,收让,f (x)的极大值为f (一) = ln - -1 = -ln a -1 .a a,1 一-1由 f (一)<0,即

18、ln a -1 <0，解得：a >-.ae故 所 求 实 数 a 的 取 值 范1-(一，土均).9 分e、函数f(x)无零点u方程ln xIn x=ax 即 a =x令 g (x)In xx1 -1n x贝U g (x) =2x(x) =0在区间(0, e)上,(x) >0，函数g(x)是增函数；在区间(e,y)上,g *(x) <0，函数g ( x)是减函数g(x)1 g(e)=一e注意到(0,1)时,=1 时 g (1)=0 ; xw (1*g (x) I 0,故方程1n x 在(0,收)上无实数解1 一(,二).e注：解法二只说明了g (x)的值域是1oO ,e

19、，但并没有证明.(3)设 x1 > x2 > 0,In x1 -ln x2一 x2x1In x22( x1 一x2)x1x2Q f ( x1) = 0, f (x2) = 0, . In x1 -ax1 = 0, In x2 -ax 2 = 01nxiIn x2 = a (x1 x2), ln x1 - In x2 = a (x1 - x2)原不等式 x1 x2 . e2 ：= ln x1In x2 . 2土 =t*2x12-1 -n-x2(x1x2 )x11x212分(t 1),2( t -1) 设函数 g(t) =ln t t - 12隶里彳曰.1.114 (t -'D

20、本导得：g (t) = - -2 2 .； 0t (t 1) t(t 1)故函数g(t)是(1, n 户的增函数，,g(t) >g (1) =0即不等式ln t > - 成立,故所证不等式x1 ,x2 >e2成立.t 12012年汕头市高中教学质量测评(一)222220、斛：(1) a=2,b=c, a =b +c ,二 b =2 ,22椭圆方程为=1 ° (4分)42(2) C (_2,0), D (2,0),设 M (2, y0), PR, yj ,则 OP = (x1, y1), OM =(2,y0)。直线 CM : -=阻，即 y = X- x + y0 ,

21、 66 分)4 y042. y1。°将y = x + y0代入椭圆x + 2 y =4得 422(1 + 迎)x2 +1y；x + y2 -4 = 0 。 (7 分)822由韦达定理有x1(-2)2_ 4(y° -8)一 2y。 - 8一 2 一、一2(y° -8)8y°一2：，一 y1 一 2y08y°88分),2(y° -8)=(一2y° - 88y°y28T T,OP OM,2、224(y0 -8) 8y0 4y°32十=y2 - 8y02 - 8 y2 - 84 (定值)。(10 分)11分)(3

22、)设存在Q(m,0)满足条件，则MQ _L DP。12分)4 yo8y0MQ =(m2,y°), DP =(二一，二)， y0 8y0 . 8T T则由MQ DP =0得4y：y2 - 8(m - 2)-8y：v； , 8存在Q(0,0)满足条件。2012惠州市一模试卷19.(本小题满分14分)化简，得至U x - x + y =48 分法二：设 A(x1, y1) , B(X2，y2) , P(x, y),根据题意，知 x12 + y12 =9, x22+y22=9, 2x=x1+x2, 2y = y1+y2, 222,2224x =% -2x1x2-x2，4y = 丫1 -2丫1

23、丫2一丫2故 4x2 +4y2 =(x： +y：) +(2 x 交丫)十(x22、：) =18 +2( xj? + y y?)一4分又 AC BC = 0 ,有(1 -x1，一y1)(1 -x2, -y2) = 0 (1 -x1) (1 -x2) + y1y2 = 0 ,故 x1 x2 + y1y2 = (x1 + x2) -1 = 2x-1代入式，得到 4x2，4y2 =182(2 x 1)化简，得至U x2 -x+y2 =48 分(2)根据抛物线的定义，到直线 x=-1的距离等于到点 C (1, 0)的距离的点都在抛物线2P2y =2 px上，其中 一 =1 ,p = 2 ,故抛物线方程为

24、 y =4x 10 分2y = 4 x由方程组 (22 倚x +3x4=0,解得 x1 =1, x2 = -4 12 分Ix - x y =4由于x20 ,故取x =1 ,此时y = ±212故满足条件的点存在的，其坐标为 (1, -2)和(1, 2)广东省东莞市2012届高三理科数学模拟试题（一）20.（本小题满分14分）2解：（1）依题意可设椭圆方程为 + y2=l ，则右焦点f（ Ja2 _1, 0）Ja2 1 +2V2 由题设1=3,解得a2 =322故所求椭圆的方程为 土 + y2 =1。5分3设 P(Xp,yp b M (XmTm ' N (Xn -n ), P

25、为弦 MN 的中点,y = kx m由x2得(3k 2 +1)x2 +6mkx +3(m2 -1) =0+ y 2 =1，3 y丁直线与椭圆相交，_2_2一 2-22”.=(6mk)4(3k +1J<3(m 1)>0=m < 3k +1 ，8 分Xm - Xn3mkm=2,从叩 yP = kX P + m =223k 13k 1- .2yp + 1m +3k +1,二 kAP = -，又 AM = AN，二 AP _L M N ,贝U:xp3 m k210分m 3k 11口r2=一一，即 2m = 3k +1 ,3mkk把代入得 m 2 < 2 m ,解得 0<m

26、<2, 12分2 2m -11由得k = >0 ,解得m > . 13分3 2一 ，一 一-1综上求得 m的取值氾围是 一<m <2 . 14分22012年深圳市高三年级第一次调研考试19. f米小盛淌分3分）J? T1J如图.己如桐四，+ r= 1加>8>。1的离心率为"，以描留U的左攻点/为cr M2网。仆掰r： （x+2）1+/-ri（r>0）t设心r与椭圆C交F点腹与点N.（1）求椭圆的方程（:）求元7 K 的指小值1井求此时展丁的方程（3）改点F是蛹园C上异于M,N的任意一点，IL比线尸分别与，轴交F点/. c =百. b =

27、 -Ja' c' = I If 故椭展的方程为7+/ = 1.3分43）方法一1点M与点N关于万轴对称，说何（,乂3 可出火），不妨设M>0.由于点M在椭断口上,所以=l-士一. C）1分4由已知2,0）,则 =（m+2,h）+ 工 =（再, 二 丁“ TN 7% + 2, Fi) (.Tj +2T -yj = ( +2r 一丁；=Ci +2）j -（I -） = -x/ +4% 4-344工 X。1=:甬+二）一:.6分455由于一2<%<2,就当M = -g时，前 示取得鼓小值为一g.1 55525故网的疔程为】M+2尸+ /-U.8分25由LJ式，yt=

28、-又点”在网丁上,代入网的方程封倒1，=耳.方法二：点M与点N X T x轴巧林.故设f（ 2阜宣机sin阴,M2 cos ”节m田.不妨设墟113>0,由妨知丁（一20）,则TM - 7X =(2cose + 2,sine)(2cose + 2,-sin。)= (2cos® + 2尸- sin* 0= 5cos2 e+8cos + 34=5(8$。+) .6 分4 I8 3故"co$e = -一时, 丁N取得被小值为一一,此时,“(一一,一), 555 5又点”在园丁上.代入眼的方程得到 25故囤7的方程为：(工+2尸+产=,.8分(3)方法一：设以,打)，则宜线A

29、配的方程为：)为=工匚2工-%)X。一七令厂0.得以心一士叽同理：十山加10分>0- >1>0 + >1故.=出口>:”分)/ - yi又点.W与点尸在椭网上.故/2 =4(|一与2)±2=4(-)；)，12分代入(”)式,得：4(1-)及2 -4(1 -)>/ _ 4(j02O ' 5 - 4 Jo - JiJo -M所以PMPN=匕"J=匕44为定值.14分不妨设sin。0 . P(2c6!；a,sina) .方法二：设 A/(2cos,sin), A'(2cos-sin0K-4, sin a # ±sin

30、.则红线 A# 的方程为y - sin a =，山""山"("- 2cosa) . 2cosa -28S®人 八 2( sin or cos - cos asm 0)令y=0.得.sina - sin 一皿2( sin a cos 0 + cos a sin/同理：xs =：12 5sin a + sin。4( sin2 a cos1 - cos' asirP")4(sin2 a-sin。).sin2 a- sin10sin2 a- sin2 0所以口吊.ps|=k3k$l=匕=4为定值.m分【说明】本区主要与自椭典的方程与性

31、质、眼的方程、向屈，阳与椭眼的位置关系、ft 线方程等基幼知识,考介学生运尊能力,推理论证以及分析何题.解决何尊的能力,考介数 形结合思想、化力1 j转化思想.江门市2012年高考模拟考试19.依题意，B(0 , 1) , F (4,0),所以b=1, c =忑3 2分，a = Jb2 +c2 =23分，所以椭圆的离心率e = C = " 4分.a 2 0 到 PF | _| PB |国 BF | ,当且仅当 | PF |二| PB | 时，| PF | - | PB |= 05分,当且仅当P是直线BF与椭圆C的交点时，| PF | | PB |曰BF |6分，| BF | = 2 ,所以| PF | 一| PB |的取值范围是0 , 2 7分。设 P(m , n),由 | PF |=| PB |得 73m + n+1=0 9分， f2 28j3+ n2=1/m=0、m-由410分，解得 或 1311分，厂n = _1|114