2020年高考数学总复习导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例课时演练新人教A版

1、课时作业导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例、选择题1.若函数y=f(x)的导函数在区r|'Ha, b上是先增后减的函数，则函数y=f(x)在区间a, b上的图象可能是()解析：根据题意f' (x)在a, b上是先增后减的函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线斜率是先随x的增大而增大，然后随 x的增大而减小，由四个选项的图形对比可以看出， 只有选项C满足题意.答案：C2.函数y = x3-2ax+ a在(0,1)内有极小值，则实数 a的取值范围是()3A. (0,3)B. (0, 2)C. (0 ) +00)D(-00, 3)解析：令v' =3x22a=0,

2、得x=± y23a(a>0,否则函数y为单调增函数).若函数 y=x3-2ax+a 在(0,1)内有极小值，则1，0<a<|.答案：B3.已知f (x) =2x36x2+m(m为常数)在2,2上有最大值3,那么此函数在2,2上 的最小值是()A. 37B. 29C. 5D.以上都不对解析：f' ( x) = 6x2- 12x= 6x(x-2). f (x)在(一2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，当 xr= 0 时，f(x)=m 最大，.m 3,从而 f( 2) = 37, f(2) = 5.一.最小值为一37.答案：A4.若一球半径为r,作内接于球

3、的圆柱，其A.C.解析：S侧=2兀' h = 4% r'旷1- r()= 4 兀 yjr -r +2兀 r2 rB.兀2 r1 D.2兀0.大为()4u r4u r 4兀 r' = -r. S侧=4兀 x *r x*r =2兀 r2.答案：AB. -2,25 .若函数f(x)=x33x + a有3个不同的零点.，则实数a的取值范围是()A. (-2,2)C ( 一 oo ) 1)解析：由 f ' (x) = 3x23 = 3(x1)( x+1),且当 x< 1 时，f ' ( x) >0;当一1vx<1 时，f ' (x)V0；

4、当 x> 1 时，f' (x) >0.所以当x=-r1时函数f(x)有极大值，当x=1时函数f(x)有极小值.f 1> 0 ,要使函数f(x)有3个不同的零点，只需满足f 1 V 0.解之得2<a<2.答案：A6 .已知函数f(x) = x- + 1ax2+2bx+ c的两个极值分别为f(x1), f(x2),若Xi, x2分别在3 2区间(0,1)与(1,2)内，则b2a的取值范围是()A. (-4, -2)B.(巴 2) U (7 , +oo)C. (2,7)D.(5, - 2)解析：由题，求导可得c( 3同f ' (x) = x2+ ax+2

5、b,f'由题意可知f'f'0 =2b>01=1+a+2bv02 =4+2a+2b>0所以a, b满足的区域如图所示(不包括边界)，因为b 2a在R 1,0)处取值为2,在q 3,1)处取值为7,所以b 2a的取值范围是(2,7).答案：C二、填空题兀7 .函数y = x + 2cos x在0 ,上取得最大值时，x的值为解析：V =(x+ 2cos x) ' =1 2sin x,入_兀令 1 2sin x = 0,且 x 0 ,时，x=.兀当xC0,.3时，f/ (x)>0, f(x)是单调增函数,.兀 兀 .当xC6，5时，f' (x)

6、W0, f(x)单倜递减. f (x)max= f(y).答案：子68.(金榜预测)已知某质点的运动方程为s(t) =t3+bt2+ct+d,如图所示是其运动轨迹 1的一部分，若tC£, 4时，s(t)3d2恒成立，则d的取值范围为 .解析：.质点的运动方程为s(t) =t3+bt2+ct+d, s' (t) =3t2+2bt + c.由图可知，s(t)在t = 1和t = 3处取得极值,3+2b+c= 0,则 s，=0, s' (3) = 0,即27 + 6b+ c= 0b= - 6,c= 9.,.一 2.s (t)=3t 12t + 9 = 3(t 1)( t 3

7、).1当 t C2, 1)时，s' (t)>0;当 te (1,3)时，s' (t) <0;当 te(3,4)时，s' (t)>0, .当 t = 1 时，s(t)取得极大值 4+d.1 , ，一，又 s(4) =4+d, .当 tC2, 4时，s(t)的最大值为 4+d.1 22.当 tC2, 4时，s(t)3d 恒成立，4+dv3d,r 4 ,即d>司或d< - 1. 34答案：d>鼻或dv13三、解答题9.(理用)设函数 f(x) =exT + 1(ae R).(1)若函数f(x)在x= 1处有极值，且函数 g(x)=f(x)+

8、b在(0 , +8)上有零点，求b的 最大值；(2)若f(x)在(1,2)上为单调函数，求实数 a的取值范围.解：(1) f ' (x) = e"1 且， x又函数f(x)在x=1处有极值，f' (1)=0, a=1,经检验符合题意，g' (x)=exTx当 xC(0,1)时，g' (x)<0 , g(x)为减函数，当 x=1 时，g' (x) = 0,当 xC(1 , +8)时， g' (x)>0, g(x)为增函数, g(x)在x= 1时取得极小值 g(1) =2 + b,依题意g(1) <0,b< 2,b的

9、最大值为-2.(2) f' (x) = ex1 3， x当f (x)在(:1,2)上单调递增时，ex-1-a2>0 在1,2上恒成立， xa< x2ex1,令 h(x) = x2ex 1,则h' (x) =exT(x2+2x)>0在1,2上恒成立，即h(x)在1,2上单调递增, .h(x)在1,2上的最小值为 h(1) =1,aw1；当f(x)在1,2上单调递减时，同理 a>x2ex 1,h(x)=x2ex 1 在1,2上的最大值为 h(2) =4e,a>4e;综上：实数a的取值范围为a<l或a>4e.9.(文用)已知函数f (x) =

10、 x3+ ax2+ bx+ c,点R1, f(1)处的切线方程为 y= 3x+1.若y = f(x)在x=2时有极值，求f(x)的解析式；(2)若函数y=f(x)在区间 2,1上单调递增，求实数 b的取值范围；(3)在(1)的条件,下是否存在实数 m使得不等式f (x) > m在区间2,1上恒成立，若存 在，试求出m的最大值，若不存在，试说明理由.2解：(1.) : x= 2 是方程 f ( x) = 3x + 2ax+b= 0 的根，12-4a+b=0,又切线的斜率为 3,即f ' (x)在x产1时的值为3,.-3+2a+b=3,且点P既在函数y=f(x)的图象上，又在切线y=

11、3x+1上，f(1) = 4= 1 +a+ b+ c,解得 a= 2r, b= -4, c= 5,故 f (x) =x3 + 2x24x+ 5.(2) 曲线在点P处的切线方程为y=3x+1,f ' (1) = 3,得 2a=- b.欲使函数 y = f(x)在区间2,1上单调递增，只需当一2w x<l时，f ' (x) =3x2+2ax + b>0 成立，即 3x2>b(x- 1)成立.当x = 1时，对一切的实数 b,不等式3x2>b(x1)成立； 3x23x2 当一2w x<1时，则一3w x1<0,可以化不等式为 b>此时一的最大

12、值为°.故 x-1 x-1b>0时，y= f (x)在区间2,1上单调递增.(3)在(1)的条件下，f (x) =x3+2x2-4x+ 5,由 f ' (x) = 3x2+4x 4=0 得函数 f' (x)的 两个极值点为x1 = 2, x2 = |,因此函数的两个极值为rf ( -2) =13, f (1) = 91.332 7函数在区间的两个端点值分别为f( 2) = 13, f(1) =4.比较极值与端点的函数值，知在区间2,1上，95函数f(x)的最小值为27.一 .一 .95因此m的最大值为25.10. (2012深圳检测)如图，有一正方形钢板 ABC

13、而损一角(图中的阴影部分)，边缘线OC是以直线AD为对称轴，以线段 AD的中点O为顶点的抛物线的一部分.工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形.若正方形的边长为2米，问如何画切割线EF,可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值.解：以O为原点，直线 AD为y轴，建立如图所示的直角坐标系,依题意可设抛物线弧OC勺方程为y= ax2(0 <x<2), 1点C的坐标为(2,1)，代入方程可得a=4，1c故边缘线OC勺万程为y= 4X2(0 < x<2).要使才形ABEF勺面积最大，则 EF所在的直线必与抛物线弧 OCf切, 12.1设切点坐标为 Rt, 4t )(0< t<2)，二 y =2x,直线EF的方程可表示为 y-1t2 = 2t(x-t),即 y = 2tx -4t2.1 21 2由此可求得 E(2 , t /) , F(0 , 4t ) .1 21 21 21 2,.|AF = |-4 -(-1)1 =1-4t , |BE = |( t4t)(1)1 = 4t + t +