复变函数论第5章第2节

1、第二节 解析函数的孤立奇点1、孤立奇点的三种类型、孤立奇点的三种类型2、可去奇点、可去奇点3、施瓦茨引理、施瓦茨引理4、极点、极点5、本质奇点、本质奇点6、皮卡定理、皮卡定理( ),( )af zf za若若 是是函函数数的的孤孤立立奇奇点点 则则在在 的的去去心心邻邻域域内内展展开开成成洛洛朗朗级级数数1、孤立奇点的三种类型主要部分主要部分正则部分正则部分( )()nnnnf zcza 10()()nnnnnnczacza 三种类型三种类型-定义定义5.35.31) 1) 如果如果 中不含中不含 的负幂项的负幂项, ,即主要部分为零即主要部分为零za )(zf那么孤立奇点那么孤立奇点a称为称

2、为 的的可去奇点可去奇点.)(zf3) 3) 如果如果 在点在点a主要部分为无穷多项主要部分为无穷多项, ,则称则称a为为)(zf的的本质奇点本质奇点.)(zf2) 2) 如果如果 在点在点a主要部分为有限多项主要部分为有限多项, ,设为设为)(zf那么那么a为为 的的m阶极点阶极点.)(zf1()mnnncza 如：如：242sin1( 1),03!5!(21)!nnzzzzzzn sin0zzz以为可去奇点.22232sin11( 1),03!5!(21)!nnzzzzzzn 3sin0zzz以为二阶极点.321111 111sin( 1),03!(21)!nnzzzznz 10sinzz

3、以为本质奇点. 2 可去奇点可去奇点(1) 由定义判断由定义判断:的洛朗级数的洛朗级数无负无负0z)(zf在在如果如果幂项幂项则则0z为为)(zf的可去奇点的可去奇点.(2)由极限判断由极限判断:)(lim0zfzz若极限若极限存在存在且为且为有限值有限值,则则0z为为)(zf的可去奇点的可去奇点.(3)由有界判断由有界判断若若f (z)在点在点a的某去心邻域有界的某去心邻域有界,则则0z为为)(zf的可去奇点的可去奇点.如果补充定义如果补充定义:0 z时时, 1sin zz那末那末zzsin在在0 z解析解析.例例1 42! 51! 311sinzzzz中不含负幂项中不含负幂项,0 z是是z

4、zsin的可去奇点的可去奇点 . 例例2 说明说明0 z为为zez1 的可去奇点的可去奇点.解解 zez1,!1! 2111 nznz z0所以所以0 z为为的可去奇点的可去奇点.zez1 无负幂项无负幂项另解另解 zzzzeze00lim1lim 因为因为0 z所以所以的可去奇点的可去奇点.为为zez1 )1!1! 211(12 nznzzz, 1 定理5.3( )af z若 为的孤立奇点,则下列三条件等价,因此,它们中任何一条都是可去奇点的特征(1)( );f za在点 的主要部分为零(2) lim( ), ();zaf zb b (3)( )f za在点 的某去心邻域内有界.证明(1)(

5、2)01( )()()(0)nnf zcc zaczazaR由于0lim( )zaf zc故; (2)(3)lim( ), ();zaf zb b 由于由函数极限的性质,( );f za在点 的某去心邻域内有界(3)(1)( ), f zM zKa设( )f za考察在点 的主要部分1()nnncza() 11( ),(1,2,.)2()nnfcdnia,Ka 而 为 内的圆周可以充分小 于是由() 1( )12nnfcda() 1122nM nM0(0,0)n1,2,0,nnc故时( )f za即在点 的主要部分为零.例3tan( )zf zz确定函数的孤立奇点的特征.解tan( )0,zf

6、 zzz的孤立奇点为00tanlim( )limzzzf zz由于1,tan0( )zzf zz所以为的可去奇点. Schwarz引理引理( )1,f zz 如果函数在单位圆内解析 并且满足条件(0)0;( )1,(1);ff zz1z 则在单位圆内恒有( )f zz(0)1;f且有0,10,()zz如果上式等号成立 或在圆内一点处前一式的等号成立 则 当且仅当( ),(1);iaf ze zz.a其中 为一实常数证明212( )1,f zc zc zz设12( )( )01,f zzcc zzz设1(0)(0),cf定义( )1,zz则在内解析( )1(1),f zz由于,01,rrzr因此

7、对在上有( )1( );f zzzrzr在上,由最大模原理1( )( );zrzMaxzr1,r 令( )1(1),zz得于是于是(0)(0)1,f0,z 且当时 有( )( )1;f zzz即即( ),f zz(0)1,f若001()1;zzz则在内有点 使( )1,zz即模在内达到最大值由最大模原理由最大模原理,( ),;z这只有常数 且该常数模为1( )(),iazea故为常数亦即亦即( ).iaf ze z注1 几何意义几何意义( ),(0)0,0,wf zfzz任一解析函数当把单位圆变到单位圆内区域 时 圆内任一点的像比 距坐标原点为近 如果有一点像与这个点本身距原点距离相同 则 为

8、单位圆.00000,1(),zzf zz或有使(0)(0)1,f使10;z 则在内有点xy10rzuv10r( )f z( )wf z注2,( ),f z保留假设条件 如果原点是的 阶零点 则( ),f zz( ).iaf ze z并且只有当时等号才成立4 极点极点 1012020)()()()( zzczzczzczfmm)0, 1( mcm )(010zzcc, )()(1)(0zgzzzfm 10)( zz,)(0mzz 其中关于其中关于的最高幂为的最高幂为即即阶极点阶极点.0z)(zfm那末孤立奇点那末孤立奇点称为函数称为函数的的或写成或写成1) 定义定义 0zz 如果洛朗级数中只有有

9、限多个如果洛朗级数中只有有限多个的的负幂项负幂项, 20201)()()(zzczzcczgmmm1.内内是是解解析析函函数数在在 0zz2.0)(0 zg特点特点:(2)的极点的极点 , 则则0z)(zf为函数为函数如果如果.)(lim0 zfzz例例3 有理分式函数有理分式函数,)2(23)(2 zzzzf是二阶极点是二阶极点, 0 z2 z是一阶极点是一阶极点.2)极点的判定方法极点的判定方法)(zf的负幂项为的负幂项为有有0zz 的洛朗展开式中含有的洛朗展开式中含有限项限项.在点在点 的某去心邻域内的某去心邻域内0zmzzzgzf)()()(0 其中其中 在在 的邻域内解析的邻域内解析

10、, 且且 )(zg0z. 0)(0 zg(1) 由定义判别由定义判别(2) 由定义的等价形式判别由定义的等价形式判别(3) 利用极限利用极限 )(lim0zfzz判断判断(但但不知道阶数不知道阶数) .1 ( )( )g zf z令以以a为为m m阶零点阶零点( (可去奇点可去奇点a要当作解析点看要当作解析点看, ,只要令只要令g( (a)=0).)=0).(4) 由零点的阶数判别由零点的阶数判别定理5.4( )af z若 为的孤立奇点,则下列三条件等价,因此,它们中任何一条都是m阶极点的特征(1)( )f za在点 的主要部分为(1)11,(0)()()mmmmmcccczazaza(2)(

11、 )f za在点 的某去心邻域内能表成( )( )(5.11);()mzf zza1(3)( )( )( )0).g zamf zg a以点 为 阶零点 可去奇点当解析点看,只要令( )( )0;zaa其中在点 的邻域内解析,且证明(1)(2)若(1)为真,则在点a的某去心邻域内有(1)11( )()()mmmmcccf zzazaza1(1)1()()mmmcczacza( ),()mzza( )( )0;mzaac其中显然在点 的邻域内解析,且(2)(3)若(2)为真, 则在点a的某去心邻域内有1( )( )g zf z(),( )mzaz10;( )aa1其中在点 的邻域内解析,且(z)

12、01()()nncc zacza101()()mmc zac za1()mza因此,( ),ag z为的可去奇点作为解析点看,只要令( )0,g a ( );ag zm为的 阶零点(3)(1)1( );( )ag zmf z由于 为的 阶零点则在点a的某邻域内有( )()( ),mg zzaz( )( )0,za其中在此邻域内解析,且这样一来11( ),()( )mf zzaz( )az1因在点 的邻域内解析,故在此邻域内有1(1)101()()()( )mmmmcczaczac zaz( )f za则在点 的主要部分为10.( )mca(1)11,()()mmmmccczazaza定理5.5

13、( )f za函数的孤立奇点 为极点的充要条件是lim( ).zaf z 证明( )f za函数以 为极点1( )amf z以点 为 阶零点lim( ).zaf z 注( ),( )af zaf zm设 为的孤立奇点 则 为的 阶极点的充要条件是:lim()( ).mzazaf z存在且不为零课堂练习课堂练习求求1123 zzz的奇点的奇点, 如果是极点如果是极点, 指出它的指出它的阶数阶数.答案答案 1123zzz由于由于,1:是是函函数数的的一一阶阶极极点点所所以以 z.1是是函函数数的的二二阶阶极极点点 z,)1)(1(12 zz例例4 函数函数zsin1有些什么奇点有些什么奇点, 如果

14、是极点如果是极点, 指出指出它的阶它的阶.解解 函数的奇点是使函数的奇点是使0sin z的点的点,这些奇点是这些奇点是，)2,1,0( kkz 是孤立奇点是孤立奇点. kzkzzzcos)(sin因因为为的一级零点，的一级零点，是是所以所以zkzsin , 0)1( kzsin1的一级极点的一级极点.即即),(1! 3! 211zzzz 解解 0221!11nnznzzze解析且解析且0)0( 所以所以0 z不是二阶极点不是二阶极点, 而是一阶极点而是一阶极点.例例5 问问0 z是是21zez 的二阶极点吗的二阶极点吗?注意注意: 不能以函数的表面形式作出结论不能以函数的表面形式作出结论 .5

15、 本质奇点如果洛朗级数中含有无穷多个如果洛朗级数中含有无穷多个0zz 那末孤立奇点那末孤立奇点0z称为称为)(zf的本质奇点的本质奇点.的负幂项的负幂项,例如，例如，,!1! 211211 nzznzze)0( z含有无穷多个含有无穷多个z的负幂项的负幂项 特点特点: 在本质奇点的邻域内在本质奇点的邻域内)(lim0zfzz不存在且不不存在且不为为. 为为本本质质奇奇点点，所所以以0 z同时同时zze10lim不存在不存在.定理5.6( )f za的孤立奇点 为本质奇点的充要条件是()lim( ),zabf z有限数lim( ).zaf z即不存在注由定理5.3(2)及定理5.5易证.定理5.

16、7( )1,( ).zaf zazaf z 若为函数之一本质奇点,且在点的充分小去心邻域内不为零 则亦为的本质奇点证明1( ),( )zf z令( );zaz则必为的孤立奇点( )zaz若为的可去奇点(解析点),( )zaf z则必为的可去奇点或极点,与假设矛盾;( )zaz若为的极点,( )zaf z则必为的可去奇点(零点),亦与假设矛盾;1( )( )zazf z故必为的本质奇点.综上所述综上所述:孤立奇点孤立奇点可去奇点可去奇点m阶极点阶极点本质奇点本质奇点洛朗级数特点洛朗级数特点)(lim0zfzz 存在且为存在且为有限值有限值不存在不存在且不为且不为 无负幂项无负幂项含无穷多个负幂项

17、含无穷多个负幂项含有限个负幂项含有限个负幂项10)( zzmzz )(0关于关于的最高幂的最高幂为为Picard定理定理定理5.8(Weierstrass)( ), naf zAaz如果 为函数的本质奇点,则对任何常数不管它是有限还是无穷 都有一个收敛于 的点列使得lim().nnzaf zA证明(1),.A 在的情形 定理正确( )f za因在 的任何去心邻域无界,( ).af z否则 为的可去奇点(2),A 设,( ).,.azf zA可能有这种情形发生 在点 的任意小去心邻域有这样一点 存在 使在这种情形下 定理已得证( ).f zA这样由定理5.7,函数1( )( )zf zA ,.K

18、aa在内解析 且以 为本质奇点, aKa因此 假定在点 的充分小去心邻域内由(1)的结论, ,naz必有一个趋于 的点列存在 使得lim().nnzaz lim().nnzaf zA从而注:( ),( )af zf z设 为函数的本质奇点,则无论怎样小的去心邻域内函数可以取任意接近于预先给定的任何数值.例51( )sin0f zzz研究函数在孤立奇点性质.解2101( 1)1( )sin,(21)!kkkf zzkz由于0( ).zf z故为的本质奇点(1),A ,nizn取1()sin2nnnneef zzi则();n (2),A 1sin,Az由有211rcsin(1),AALn iAAz

19、i2ln(1)2niziAAn i令1,2,n 0,nz 则(),(1,2,),nf zA n且0lim().nnzf zA因此例61( )0zf zez研究函数在孤立奇点性质.解101 1( ),!znnf zen z由于0( ).zf z故为的本质奇点(1),A 10,nzn取()nnf ze则();n (2)0,A 10,nzn 取()nnf ze则();n 0(3),0;A 1,zeA由有1LnAz1ln2nzAn i令1,2,n 0,nz 则(),(1,2,),nf zA n且0lim().nnzf zA因此Picard大定理0( ), ,naf zAAAaz 如果 为函数的本质奇点,则对于每一个除掉可能一个外 必有趋于 的无限点列使得定理5.9()(1,2,).nf zAn 本性奇点本性奇点(essential singularity)。如果不是前两种奇点，那么就是这种奇。如果不是前两种奇点，那么就是这种奇点了。这类奇点其实才是真正可怕的！我们来看看点了。这类奇点其实才是真正可怕的！我们来看看Casorati-Weierstrass这个这个定理说了什么。通俗来说，这个定理说的是定理说了什么。通俗来说，这个定理说的是 f(z)可以可以