复变函数第4讲

1、1第三节第三节 解析函数解析函数2 ()( ) xxyf xxf x 我我们们知知道道，在在实实函函数数中中，当当自自变变量量 有有了了一一个个增增量量 后后，相相应应地地函函数数也也有有一一改改变变量量0( )lim 通通过过研研究究函函数数的的改改变变量量对对自自变变量量的的改改变变量量的的变变化化的的快快慢慢. .引引进进了了导导数数的的概概念念. .xyfxx实函数的导数实函数的导数3000000( ).()()() 与与此此类类似似，设设有有复复变变函函数数当当在在 点点给给自自变变量量一一改改变变量量wf zzzzzxyixy ixxi yyxi y00), （从从 变变到到后后

2、相相应应地地，函函数数也也有有一一改改变变量量zzzz00()() wf zzf z00( ) 若若当当时时的的极极限限存存在在，则则称称此此极极限限值值为为在在 处处的的导导数数. .wzzf zz4 1、导数定义、导数定义定义定义 设函数设函数w=f (z) zD, 且且z0、 z0 +zD，如果极限如果极限 存在，则称函数存在，则称函数f (z)在点在点z0处可导。处可导。称此极限值为称此极限值为f (z)在在z0的导数，的导数，记作记作zzfzzfz)()(lim000 .)()(lim)( 00000zzfzzfdzdwzfzzz 如果如果w=f(z)在区域在区域D内处处可导，则称内

3、处处可导，则称f (z)在区域在区域D内可导内可导.5 .)()()(000 zfzzfzzf 应当注意应当注意, , 定义中定义中z0+zz0(即即z0)的方式是任的方式是任意的意的, , 定义中极限值存在的要求与定义中极限值存在的要求与z0+zz0的方的方式无关式无关, , 也就是说也就是说, , 当当z0+z在区域在区域D内以任何方内以任何方式趋于式趋于z0时时, , 比值比值.)()(00都都趋趋于于同同一一个个数数zzfzzf 0,( )0,0 |, z当当有有 若上述极限不存在，则称函数在若上述极限不存在，则称函数在z0 0点不可导点不可导. .6导数的几种表达方式导数的几种表达方

4、式00000()()() lim zz zf zzf zdwfzdzz000( )()limzzf zf zzz0lim zwz0lim. zfz731( ) fzz例例 ： 求求的的结果与实函数一样结果与实函数一样. .()?n，nz思思考考: :设设 为为正正整整数数.3)(lim)()(lim23300zzzzzzzfzzfzz 解：根据定义，得解：根据定义，得.3)( 2zzf 导数。导数。8与实函数一样，可导一定连续，但反之不成立与实函数一样，可导一定连续，但反之不成立. 事实上事实上, , 由在由在z0 0点可导的定义点可导的定义, , 对于任给的对于任给的 0, 相应地有一个相应

5、地有一个 0, 使当使当0| z| 时时, , 有有.0)(lim),()()()(,)()()(0000000 zzfzzfzzfzzfzzfzzfz则则令令9.)(),()(lim0000连连续续在在即即所所以以zzfzfzzfz 连续不一定可导，请举出反例说明连续不一定可导，请举出反例说明. .( ). Re f zz证证明明: :在在平平面面上上的的任任何何点点都都不不可可导导例例2zzzzzf )Re()Re(:证证明明.yixxyixxxx .lim0不不存存在在zfz 10思考思考的连续性如何？的连续性如何？zzfRe)( 例例3 问：函数问：函数f (z)=x+2yi是否可导？

6、是否可导？ yixyixiyyxxzzfzzfzz)2()(2lim)()(lim00解解.2)(处处处处不不可可导导故故函函数数yixzf 注：一个复变函数的可导性要求条件比较高！注：一个复变函数的可导性要求条件比较高！11处处连续但处处不可导，这样的函数在复变函处处连续但处处不可导，这样的函数在复变函数中极易获得，然而在数学分析中要想得到一数中极易获得，然而在数学分析中要想得到一个处处连续但处处不可导的函数却很不容易。个处处连续但处处不可导的函数却很不容易。在历史上首先找到这种例子的是在历史上首先找到这种例子的是wercrstrass（菲赫金哥尔茨（菲赫金哥尔茨微积分教程微积分教程第二卷第

7、二分第二卷第二分册册P.431 人民教育出版社人民教育出版社 1954年版）年版）12由于复函数与实函数的导数定义和极限运算法则在由于复函数与实函数的导数定义和极限运算法则在形式上完全一致，因而二者具有相同的求导法则：形式上完全一致，因而二者具有相同的求导法则：).0)()()(; )()(; )()(2 zgggfgfgfiiigfgfgfiigfgfi1(1)0,(2)();nnccznz其其中中 为为常常复复数数；都可导，则都可导，则、若若)()()3(zgzf13（5）反函数的导数）反函数的导数 ，其中，其中 w=f (z)与与z= (w)互为单值的反函数，且互为单值的反函数，且 (w

8、) 0.)( 1)( wzf 这样，我们知道多项式处处可导这样，我们知道多项式处处可导. .例如，例如，(4)( )( ) ( )( )( ).、hf zwg hwg f zdwd dhg h fzdzdh dz若若可可导导，则则可可导导，且且. 1412)623(324 zzzzz另外，有理分式在分母不为零的点处可导另外，有理分式在分母不为零的点处可导. .14.)(12)( 1, 0,1)(222zzzzfzzzzf 时时，则则当当?)(,;),()(,22的的可可导导性性复复函函数数中中内内可可导导在在实实函函数数中中zzfxxf 思考题思考题提示：提示：.0)(2处处处处连连续续处处可

9、可导导，仅仅在在函函数数 zzzf例如例如15,2zzz 注注意意到到事实上事实上.0)(2处处可可导导仅仅在在 zzzfzzzzzzzzzfzzfzf000000)( )()()( .)(000000zzzzzzzzzzzz ;0)0( ,0lim000 fzfzz即即时时，当当.lim000不不存存在在时时，当当zfzz 164 4、 微分微分0lim()0.zz其其中中.)(可可导导与与可可微微是是等等价价的的在在点点由由此此可可见见，zzf17( )dwfdzz( )dffdzz或或由此得由此得( )dwdffzdzdz导函数等于函数的微分与自变量的微分之比导函数等于函数的微分与自变量

10、的微分之比 另一解释：另一解释：18不解析的点称为不解析的点称为奇点奇点.注：注：（1 1）可导与解析是两个完全不同的概念，解析）可导与解析是两个完全不同的概念，解析一定可导，但可导未必解析一定可导，但可导未必解析. .不解析的点可能可导，不解析的点可能可导，即解析的条件比可导要强，但我们却有以下结论：即解析的条件比可导要强，但我们却有以下结论： 定理定理 若函数在区域若函数在区域D内可导，则在内可导，则在D内一定解析内一定解析. .即在区域上，可导与解析是等价的即在区域上，可导与解析是等价的. .（为什么？）（为什么？）.)()(000点点解解析析在在邻邻域域内内处处处处可可导导，则则称称的

11、的某某个个小小点点可可导导，而而且且在在不不仅仅在在定定义义：若若zzfzzzf19002( )( )f zzz由由以以上上结结论论，若若在在点点解解析析，则则定定在在 的的某某个个小小邻邻域域内内处处处处解解析析。即不可能存在离散的、孤立的解析点即不可能存在离散的、孤立的解析点. .（3 3）关于解析函数一些作者不用解析而用各种不）关于解析函数一些作者不用解析而用各种不同的名称，例如全纯，正则，解析正则，单演，伴同的名称，例如全纯，正则，解析正则，单演，伴生（生（synecticsynectic）等）等20解析函数的和、差、积、商仍为解析函数，解析函数的和、差、积、商仍为解析函数，于是于是z

12、zf1)( 00，zz除除外外可可导导因因而而除除外外解解析析。21( ). fzz并并且且处处处处解解析析。多多项项式式0111)(azazazazfnnnn 另外，由求导法则，不难看出：另外，由求导法则，不难看出：解析函数的复合函数仍为解析函数解析函数的复合函数仍为解析函数. .21 本节内容：本节内容：介绍一种判别函数可导性、解析性的介绍一种判别函数可导性、解析性的非常有效的方法；建立函数的可导性与其实、虚部的非常有效的方法；建立函数的可导性与其实、虚部的偏导之间的关系偏导之间的关系. .；的的连连续续性性关关系系非非常常密密切切和和与与的的连连续续性性知知道道通通过过前前面面的的学学习

13、习，我我们们vuviuzf )( )2,2( )，f zxyiux vyf z设设尽尽管管可可微微但但处处处处不不解解析析！( )f zui vuv 于于是是，就就自自然然提提出出这这样样的的问问题题：的的可可导导性性与与 、 的的偏偏导导数数之之间间具具有有怎怎样样的的关关系系？22举例尝试举例尝试22,2uxyvxy容易求得容易求得2 ,uxx2 ,uyy 2 ,vyx2 .vxy观察、寻找联系后发现有观察、寻找联系后发现有,uvuvxyyx 23究竟是偶然的现象还是必然的规律？究竟是偶然的现象还是必然的规律？ ？为方便起见，对于实二元函数为方便起见，对于实二元函数 g(x, y),记记2

14、2222, , , . xyxxyyxyggggggxyxggggyx y24,.uvvuxyxy 定理定理 1 函数函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在点在点 可导的充要条件是可导的充要条件是 u(x, y) 和和 v(x, y)在在 可微，且在该点满足可微，且在该点满足Cauchy-Riemann方程方程000zxi y00(,)xy (1) 此条件也被称为达朗贝尔此条件也被称为达朗贝尔- -欧拉条件欧拉条件注注(2) 这个条件实际上是复变函数论与偏微分方程理这个条件实际上是复变函数论与偏微分方程理 论之间的一座桥梁。论之间的一座桥梁。25（3）定定理理1 1提提供供了了判判

15、别别函函数数可可导导的的一一种种非非常常有有效效的的方方法法. .使用时使用时: i) 判别判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性；偏导数的连续性； ii) 验证验证C-R条件条件.( )( )xxxyyyyxfzui vfzuivuiuviuviv（ 4 4） 在在可可 导导 的的 情情 况况 下下 ， 有有 由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系联系. .当一个函数可导时当一个函数可导时, ,仅由其实部或虚部就可以仅由其实部或虚部就可以求出导数来求出导数来. .26（5 5）利用该定理可以判断那些函数是不可导的）利用该定理可以判

16、断那些函数是不可导的. .处处处处不不可可导导！例例如如，我我们们容容易易知知道道zzf )( )()( ,)( ,)(),(),（6 6）关关于于方方程程的的记记忆忆问问题题。若若可可导导，有有xxyyCauchyRiemannf zf xi yu x yi v x y fxiyui v fxiy iui v.,yuxvyvxuyuiyvxvixu 两两个个方方向向27条条件件：域域内内可可导导因因而而解解析析的的点点换换为为区区域域，则则得得到到区区将将0z定理定理2 函数函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在在D内解析充要内解析充要 条件是条件是 u(x, y) 和和 v(x

17、, y)在在D内内可微，且可微，且 满足满足Cauchy-Riemann方程方程.,yuxvyvxu 28 ；)sin(cos)()1(yiyezfx 例例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：判定下列函数在何处可导，在何处解析：，解解：yevyeuxxsin,cos)1( 在在全全平平面面可可导导，解解析析。故故)sin(cos)(cos,sinsin,cosyiyezfyuxvyvxuyeyvyexvyeyuyexuxxxxx ).(sincos)( zfyieyexvixuzfxx 29 . iyxyxzf22332)()2( 可可微微，和和，解解：vuyxvyxu22332,)2(

18、处处处处不不解解析析。处处可可导导，和和仅仅在在条条件件知知道道故故由由)43,43()0 , 0()(,4,4,3,32222zfyxyvxyxvyyuxxuR-C .0)arctan()ln()(222的的值值解解析析，求求时时在在设设例例axyxiyxazf 30.)( ,),(),()(42的的值值求求解解析析，且且设设例例zfvuyxivyxuzf .0)( zf根根据据解解析析的的条条件件，得得到到提提示示：例例3 3.()(, 0, 01)( 2121常常数数）CiCCzfCvCuvuvuvuiivuzfyyxxyyxx 证明证明.,)(,0)( DzCzfDzzf 则则若若31

19、1、导数导数的概念，复变函数求导法则的概念，复变函数求导法则.2、解析解析的概念，的概念，解析与可导的关系解析与可导的关系.3、判别复变函数解析性的有效方法：、判别复变函数解析性的有效方法： 柯西柯西黎曼定理黎曼定理.f(z)在区域在区域D内可导内可导f(z)在区域在区域D内解析内解析 f(z)在在z0点解析点解析 f(z)在在z0点可导点可导 f(z)在在z0点连续点连续 321. 判别真、假：判别真、假：?)(,)()(. 22222在复平面内处处解析在复平面内处处解析取何值时取何值时问常数问常数若若zfdcbaydxycxibyaxyxzf ;)()( )1(00解解析析在在存存在在，则

20、则若若zzfzf;)()()2(00处处不不可可导导在在的的奇奇点点，则则为为若若zzfzfz的的奇奇点点；，也也是是的的奇奇点点，则则和和为为若若)()()()()()()3(00zgzfzgzfzzgzfz 通过前面的学习，人们容易发现复变函数通过前面的学习，人们容易发现复变函数论与数学分析有着十分紧密的联系，他们所研论与数学分析有着十分紧密的联系，他们所研究的内容、方式十分相似。究的内容、方式十分相似。 初等函数在数学分析中占有十分重要的位初等函数在数学分析中占有十分重要的位置，于是人们自然想到把实变数的初等函数推置，于是人们自然想到把实变数的初等函数推广到复变数上来。广到复变数上来。

21、当然，为了保证某种当然，为了保证某种“和谐性和谐性”，这种推，这种推广也不是广也不是“随心所欲随心所欲”的，而是受到某些约束。的，而是受到某些约束。 当把实变函数推广到复变函数时，仍然当把实变函数推广到复变函数时，仍然保保留了某些东西留了某些东西，同时由于推广的结果也，同时由于推广的结果也丢掉了丢掉了某些东西某些东西，而且还，而且还增加了某些东西增加了某些东西。lnxyex幂函数及其反函数幂函数及其反函数 为为任任意实数意实数19-2-112-1120 ，13/22/32/123/134/1410/110 兰色兰色绿色绿色红色红色黄色黄色粉色粉色淡兰淡兰0 20lnxyex幂函数及其反函数幂函

22、数及其反函数，1122/133/11010/1 黄色黄色兰色兰色绿色绿色红色红色黑色黑色)1, 0( aaayx指数函数图形指数函数图形e 22/133/11010/1，黄色黄色兰色兰色绿色绿色红色红色) 1, 0(log aaxya对数函数图形对数函数图形e 22/133/11010/1，黄色黄色绿色绿色兰色兰色红色红色xysin 三角函数图形三角函数图形xyarcsin xycos xyarccos xytan xyarctan xycot xycotarc xysin xycsc -10-8-6-4-20246810-3-2-10123xsin(x)xysin xycsc xycos x

23、ysec -10-8-6-4-20246810-6-4-20246xsec(x)xycos xysec 28认认识识与与欣欣赏赏一、显函数一、显函数3452058xxxy -3-2-1123-75-50-252550-2-112-40-2020522163 xxy)2)(1()1)(2( xxxxxy123 xxy12 xxy0.80.91.11.25000010000015000020000025000022)1(2 xxxy2110cos1xxy -3-2-11230.511.5235325xxy -3-2-11232.557.51012.515xy sin xxy1sin -0.4-0.

24、20.20.4-0.2-0.10.10.2-0.6-0.4-0.20.20.40.6-0.06-0.04-0.020.020.040.06xxy1sin2 xxysin1 -11230.511.522.5001sin2 xxxxxyxxycos2 -10-8-6-4-20246810-1-0.500.51xcos(x2)cos(2xy -3-2-1123-10-5510 xeyx10sin 22xey 概率曲线概率曲线122 xy箕舌线箕舌线二、隐函数二、隐函数08)(22322 yxyx042344 xyyx64三、参数方程表示的函数三、参数方程表示的函数星形线星形线 tytx33sinco

25、s)(323232ayx -2-112-2-112x + y = a叶叶形形线线 3231313tatytatx )5sin()3cos(tytx tyttxcos1sin摆线摆线( (旋轮线旋轮线) ) tttytttxcossinsincos圆的渐开线圆的渐开线69 ttyttx4sin3sin84cos5cos8 ttyttx4sin3sin84cos5cos8 ttyttx344sin3sin12347cos5cos16 2cos22a 极坐标方程极坐标方程双纽线双纽线)()(222222yxayx 3sina 三叶玫瑰线三叶玫瑰线 2sina 四四叶叶玫玫瑰瑰线线ta2cos 4 .

26、0e 对数螺线对数螺线)cos1( a心脏线心脏线 a 阿基米德线阿基米德线( )(cossin )xf zeyiy是在是在复平面上处处解析的函数，而且复平面上处处解析的函数，而且( )( )fzf z 可以验证，上述函数还具有性质：对任意复数可以验证，上述函数还具有性质：对任意复数z1，z2，恒有恒有1212()()()f zzf zf z自然地，定义复平面上的指数函数为自然地，定义复平面上的指数函数为exp( )(cossin )xzeyiy:(cossin )zxeeyiy(1.1)(1.1)指数函数的定义指数函数的定义.sincos:Euler0)2(yiyexziy 公公式式 就就得

27、得时时, ,的的实实部部特特别别当当到到没没有有幂幂的的意意义义. .它它的的定定义义为为仅仅仅仅是是个个符符号号 ，注注)sin(cos,)1(yiyeexz .0)3(xez到到虚虚就就得得时时, ,部部y y的的特特别别当当 ;2(4)为为整整数数) ). .zxzeeArg eykk .,0为为无无零零点点的的指指数数函函数数即即所所以以zzee xy(z)1yy2yy带形区域角形区域带形区域角形区域zew vu(w)21yy12122102yyyyyyyy()-把把夹夹在在和和之之间间的的水水平平带带形形域域映映成成特特点点: :平平面面的的顶顶点点在在原原点点夹夹角角为为的的角角形

28、形域域, , 因因此此若若需需把把带带形形域域映映射射成成角角形形域域常常用用指指数数函函数数. .32( ).zei 是是以以为为周周期期的的周周期期函函数数 这个性质是实变指数函数所没有的！这个性质是实变指数函数所没有的！(1.2) 指数函数的性质指数函数的性质.)()()1(zzzeeezf 且且在在复复平平面面上上处处处处解解析析，).exp(expexp:)2(2121zzzz 加加法法定定理理12122,(4) 的的充充要要条条件件是是为为整整数数. .zzeezzk i k ( )5 5 指指数数函函数数的的渐渐进进性性态态：时时无无极极限限, ,但但有有z 0 limlimzx

29、zxz xee 00limlimzxzxz xee.1, 11)sin()(cos(0zzxxzzeeeyyiyyeee 例如例如 求求.ze解解: :.)sin(cosziyxxzeeyiyee 0,Re 0Im 2思思考考: : 指指数数函函数数把把线线段段映映为为平平面面的的什什么么图图形形? ?zxz 2 2、 对数函数对数函数(2.1)定义定义 指数函数的反函数称为对数函数指数函数的反函数称为对数函数.即即.,)()0(Lnzwzfwzzew 记记作作称称为为对对数数函函数数的的函函数数把把满满足足).(2,ln,为为整整数数那那么么令令kkvrureerezivuwiivui ),

30、 1, 0()2(ln kkirLnzw), 2, 1, 0()2(arglnArgln kkzizzizLnz 或或？，如如何何计计算算给给定定一一复复数数Lnzz注注: 负负数数也也有有了了对对数数；对对数数函函数数的的定定义义域域是是, 0)1( z0ln(02),lnln.( (3 3) )特特别别地地，当当时时，zxLnzxikzx 整整数数倍倍；相相差差个个函函数数值值的的无无穷穷多多值值函函数数，每每两两是是）（izLnzw22 .,lnargln,0的的主主值值称称为为的的一一单单值值函函数数为为时时当当记记作作LnzLnzzzizLnzk ).(2ln为整数为整数kkizLn

31、z 故故复复变变数数对对数数函函数数是是实实变变数数对对数数函函数数的的推推广广。例例1 求下列各对数的值及其相应的主值：求下列各对数的值及其相应的主值： ).43()2();1()1(iLnLn ，为为整整数数解解：)()12()2(|1|ln)1()1(kikkiLn .)1ln()1(iLn 的的主主值值为为);()34arctan2(5ln)234arctan(|43|ln)43()2(为为整整数数解解：kikkiiiLn .34arctan5ln)43ln()43(iiiLn 的的主主值值为为练习题练习题1 求下列各对数的值及其相应的主值：求下列各对数的值及其相应的主值： ).()3

32、();33()2();()1(ieLniLniLn .0312 iez求求解解方方程程例例).()32(2ln)23(|31|ln)31(31为为整整数数，则则把把方方程程改改写写为为解解：kikkiiiLnziez .22iez 解解方方程程练练习习题题(2.2) 性质性质应当注意，由于对数函数的多值性，对于上述等式的应当注意，由于对数函数的多值性，对于上述等式的理解应与复数的乘积和商中关于辐角的等式一样理解应与复数的乘积和商中关于辐角的等式一样.,)()1(21212121LnzLnzzzLnLnzLnzzzLn .ln:)2(处处处处连连续续在在除除去去原原点点与与负负实实轴轴外外连连续

33、续性性z,arglnln:zizz 主主值值;ln续续除除原原点点外外在在其其它它点点均均连连其其中中z.ln:)3(平平面面内内解解析析在在除除去去原原点点与与负负实实轴轴的的解解析析性性z综上所述，综上所述，wze 在在区域区域argvz内的反函数内的反函数w = ln z 是单值的。是单值的。 由反函数的求导法由反函数的求导法则，可知则，可知ln1111wwdzdzdedzezdwdw所以所以 ln z 在除去原点及负实轴的平面内解析在除去原点及负实轴的平面内解析.且有且有 今后我们应用对数函数今后我们应用对数函数Ln z时时, 指的都是它在除去指的都是它在除去原点及负实轴的平面内的某一

34、单值分支原点及负实轴的平面内的某一单值分支. 1.Lnzz 是是否否成成立立？，等等式式对对于于思思考考题题LnzLnzz20. 1:2 ?)(,0.2 LnzzeeLnz问问对对于于 nLnznLnz 1 nLnzLnzn 3 3、幂函数、幂函数,0,bzz 设设 为为复复数数定定义义 的的幂幂函函数数定义定义.bbLnzze 一般而言这里定义的幂函数为多值函数一般而言这里定义的幂函数为多值函数.(.(为什么？为什么？) ).ln的的推推广广显显然然这这一一定定义义是是xyyex 下面我们讨论几个相关问题：下面我们讨论几个相关问题：3.1当当b = n (正整数正整数) lnarg2nziz

35、 i knze lnargargnnzinzinzeez e- 单值单值函数函数为正整数）时，为正整数）时，当当nnb(12 . 3 nkznnnnizikzizLnzeeeez 2arg1111ln)2arg(ln )2argsin2arg(cosnkzinkzzn nz ).12 , 1 , 0( nk- n值函数值函数mmnnzz - n值函数值函数3.3(1,)manmnn ( () ) 当当与与 互互质质 时时, ,3.4Im0 ( () )当当 为为无无理理数数或或时时：Lnzze (lnarg2)zizkie lnarg2zizkieee - 无穷多值函数无穷多值函数在除在除原点

36、和负实轴复平面内主值支及各分支解析，且原点和负实轴复平面内主值支及各分支解析，且 11LnzLnzzeezz .32的的值值和和求求iii例例3,)2()2(ln22 kikiiiiLniieeei解解：.为为整整数数其其中中 k),sin()cos(3434)2()2(ln2322323232kkkiikiiLniieeei )2 , 1 , 0( k练习：练习：.)1(22的的值值和和求求iii 由由欧欧拉拉公公式式定定义义1 .4据此，我们把上述公式推广到据此，我们把上述公式推广到复三角函数复三角函数如下：如下：sin,cos22izizizizeeeezzi定定义义定定义义,sincos,sincosyiyeyiyeiyiy * 复三角函数是由指数函数定义的复三角函数是由指数函数定义的.2cos,2sinyiyiyiyieeyieey .2cossin)1周周期期函函数数是是及及 Tzz.的的定定义义容容易易推推出出这这一一性性质质可可以以根根据据它它们们.sin)(cos,cos)(sin,)2zzzz 且且在在复复平平面面上上处处处处