积分测验卷(12

1、2010-2011学年第一学期 不定积分、定积分 测验试卷(A) F(x)=；(B) F(x)= <ex + c, x>0xc + c + 2, x v亠、选择题：(每小格3分，共30分)1、设竺込为/(兀)的一个原函数，且心 0,贝叮心 池等于(X? az 、 sin ax 小z x sin ax _, 、sin or 小(A) - + C;(B)+ C； (C) + C ；),、sin ax 小(D)+ Cax2、若/在(Y0,+8x上不定积分是F(x?+ C,则F(x)=(ex%>0(C) F(x) = < I - ； (D) F(x)= <c '

2、+ 2, x v 0e x>0一厂，xv 01, x> 03、设 /(x) = 0,XJ 01, x < 0(A) F(x)在x = 0点不连续；，贝 U ()(B)F(x)在(-8,+8)内连续，在兀=0点不可导;(C)尸(兀)在(-oo,+oo)内可导,且满足 Fx) = f(x)；(D) F(兀)在(-oo,+oo)内可导，但不一定满足Fx) = /(x) ot sin tdt4、 极限 lim =()5 八 t2df(A) -1 ；(B) 0 ；(C) 1；(D) 25、设在区间G, b上 /(兀)> 0, fx) <0, /"(兀)>0

3、o 令 s、 = f(x)clx,52 = f(b)(b一 a)J a$3=2/?) + / 的"一。)'则()(A)<S2<S3;(B) 52 << 53 ;(C) 53 << 52 ;(D) S2 < S 3 <二、填空题：(每小格3分，共30分)1、设/(X)的一个原函数是£一 2”，则它的一个导函数是 2、设 Jo fx)dx = l,/(2)=2，则 £ xff (2x)dx =3、fe x) = xe' x,且/ (1) = 0,则 /(x) =。4、 函数F(x)=(2 丄)dr(x &

4、gt; 0)的单调减少区间为。Vr5、由曲线y二x2与y二仮所围平面图形的面积为 o三、计算题(第1,2, 3, 4题各6分，第5, 6, 7题各8分，共48分)1、2、计算 Jxtaxdxl + x2 x<03、设 xhl,求 J (1 一山)力4、设 /U)=求 £ fx-T)dxex>07、已知曲线C的方程为j = /(%),点(3,2)是它的一个拐点，直线厶，厶分别是曲线C在点 (0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4)。设函数/(兀)具有三队连续导数，计算定积分Jo (x2 +x) fA(x)djco四、解答题(本题10分)设 /(x)连续，(p(x)

5、=fxt)dt ,且二 A ( A 为常数)，求(px),并讨论 0(x)J0XT()兀在兀=0处的连续性。五、应用题(本题6分)设曲线方程为A = AV(x>0),把曲线y二厂山轴、y轴和直线x = f ( >§所围平 面图形绕x轴旋转一周，得一旋转体。(1)旋转体体积V(勺：(2)求满足V(a) = - lim V(A)的d值。六、证明题(6分)设/G)在仏刃上连续且单调增加，证明：不等式£ xf(x)dx >- j" fx)dx o答案：一、选择题：(每小格3分，共30分)1、(A)sin ax 小 +2、(C) F(x)=axe x>

6、;0xe+ 2, x v3. (B) F(x)在（一汽+co）内连续，在x = 0点不可导;4、(C) 15、(B) S2 < £ < s o1、填空题：（每小格3分，共30 分）1、一个导函数是.厂（兀）二4幺亠。2、灯（2兀）山二扌°1 9 1 13、/ （x） = - （In%）22o 4、单调减少区间为（0,） °415、-o3二、计算题（第1,2, 3, 4题各6分，第5, 6, 7题各8分，共48 分）1、解:+ A)dx = ln|x| + 2 arcta n x + c1 + JT2、解:xtan2 xdx =- 1 dx JxJ ta

7、n x-Axdx =2x-j tan xdx -xta nx + In cosx-3、解:I + r,-I<r<0 l-r,0<r<+oo*(1 x)2 o() o ri ,7=j(1 + z2)Jr + e£ =- 一"I5、解:£ （士 +右皿弓“2ln(l + x)J( -) = ln(l 4-x)2-xdx(I + x)(2 x)当一 1 SxvO时，原式二 J |(l + f)d/= *(l + x)2 ；当兀时，原式=J： (l + /)d/ + f (l /)力=1 3XA2=f ri4、解：f(x-2)cbc=j6、解：因为

8、lim / （X）=-,所以兀二1为瑕点，因此该广义积分为混合型的0 -兀T比 Xyfx-卄2tdtc 丄d=2 arcta n x :1 (l + r2)r"兀兀2（穴7、解：按题意，直接可知/ （0） = 0,/ （3） = 0/ （3） = 0 （拐点的必要条件）。从图 中还可求出y二/ （x）在点（0,0）与（3,2）处的切线分别为y二2兀，y2兀+ &于是门 0) = 2/(3) = -2 o 所以+兀）厂（兀）必=匸（兀2 +兀）犷（兀）=（兀2 +兀）八兀卅_J 了（兀）（2兀+ 1）必=-J:2/ (琲（2兀+ 1）旷（兀）=-（2兀+ 1）.厂（琲+ 2厂（

9、粒仪=-7.厂+ .厂（0） +7? (一 2) + 2 + 2? (2 0) = 20。四、解答题（本题10分）解:因为lim卫卫二A,故lim/（x） = 0,而已知/（兀）连续，lim/（x） =/（0） = 0 ；入TO兀XTO由于(p(x) = f(xt)dt,令 u = xt,当/:0T1 时，有 w :0 > x , du = xdt ;当无HO时，有（p（x）1 Uf(u)du=I f(xt)dt = I fu) du =-JoJ() X当兀=0时，有（p（0）=£'f(o)dt = o；所以0(X) = v，兀 H 0 o0,当兀工0时，有0 (x)=

10、X2当 *0 时，恥 X-0W )lim =go 2x 2:fu)du=lim 空=limxtO JQ-V >0xf(x)-Af(u)du工 0所以0 （兀）=< Xa o.pxf(x) 一 f fu)du 讪(心匚心 又因为 lim 0( x) = lim°?YTOxto奸8A所以 XTOm 0(x) = 0(0)= 2即 0( x)在 X = 0 处连续 o五、应用题（本题6分） 解：（1） V（A） = 7ry2dx =7r(e- x)2dx = |(1 3)；jr(2) V(a) = -(12jr严),于是 V(a) = - lim V(A) = - ? lim -(1 -;2 §t+82 Eg 2jr4故-(1 - e-2")=-lim V(A)=-=> c/ =-In 2 o2242六、证明题（6分）证：设 F（x） =甘（/） / a + %fdlxe a,bJo2 Jo因为/（兀）在a,刃上连续，所以Fx) = xf(x )-八-/U)=:-/(兀)一;2a 2 2 2*Ja 2af水=: f /(x)f(t)dt因为/（兀）