高等数学函数的单调性与极值ppt课件

1、复习复习 )(xf),(ba,ba，),(ba )( fabafbf )()().)()()(abfafbf 或或xyoxyoabAB0)( xf0)( xfabBA增函数增函数切线的倾角为锐角切线的倾角为锐角0 k，0 )(xf ，0 )(xf 减函数减函数切线的倾角为钝角切线的倾角为钝角0 k)(xfy )(xfy 假假设设),( bax 有有，0 )(xf 假假设设),( bax 有有，0 )(xf ，),(,21baxx 由拉格朗日中值定理由拉格朗日中值定理, ,得得，)()()(1212xxfxfxf ，)(21xx , 012 xx假假设设),( bax 有有, 0)( f那那么么

2、，)()(12xfxf 那那么么)(xf在在),(ba上单调添加上单调添加. .假假设设),( bax 有有，)()(12xfxf 那那么么)(xf在在),(ba上单调减少上单调减少. .,21xx 且且，0 )(xf , 0)( f那那么么，0 )(xf 设函数设函数)(xfy 在在,ba上延续，上延续，),(ba内可导，内可导，在在那那么么)(xf在在上单调添加上单调添加. .,ba那那么么)(xf在在上单调减少上单调减少. .,ba断定函数断定函数3xy 的单调性的单调性. .23xy 0 且等号仅在且等号仅在0 x处成立处成立. .那么由单调性的断定法可知，那么由单调性的断定法可知，)

3、,( 3xy 的定义域为的定义域为在在内，内，),( 函数函数3xy 在在内单调添加内单调添加. .),( 讨论函数讨论函数)1ln(xxy 的单调性的单调性. .在定义域内延续、可导，在定义域内延续、可导，且且xy 111令令，0 y得得0 xx)0 , 1( ), 0( y y0)( xfx)(xf那么单调添加区间是：那么单调添加区间是：，), 0( 单调递减区间是：单调递减区间是：).0 , 1( 函数函数的定义区间为的定义区间为，),1( )1ln(xxy ，xx 131292)(23 xxxxf).,(: D12186)(2 xxxf，)2)(1( 6 xx. 2, 121 xxy

4、xy ) 1 ,( )2,1(), 2( 确定函数确定函数的单调区间的单调区间. .0)( xf解方程解方程得，得，那么单调添加区间是：那么单调添加区间是：)., 2()1 ,( ，单调递减区间是：单调递减区间是：)2,1(32)(xxf ).,( : D)0(,32)(3 xxxf32xy xy y )0 ,( ), 0( 确定函数确定函数的单调区间的单调区间. .0 x当当时，时， 导数不存在导数不存在.那么单调添加区间是：那么单调添加区间是：，), 0( 单调递减区间是：单调递减区间是：).0 ,( 例如例如, ,3xy ,00 xy)(xf，)(xf )(xf但在区间但在区间),( 上

5、单调添加上单调添加. .当当1 x时，时，.exex 令令，exexx )( 那那么么eexx )( ，0 且当且当1 x时，时，)(x 在在 , 1上单调添加上单调添加. .又又，0) 1 ( ee 所以当所以当1 x时时, ,，0) 1 ()( x即即证明证明. 0 exex那么得到那么得到.exex )(x 在在 , 1上可导，上可导，显然显然0 x当当时，时，.1xex 试证：试证：, 0) 0( f, 01 xex)0()(fxf,1)(xexfx 设设. 1)( xexf那么那么有有, 0)( xf)(xf), 0 在在单调添加，单调添加，0 x当当时，时，0 x即即.1 xex

6、练习：练习：).1ln(;sin;10 xxxxxexx 时时，当当)(xf在在 , 0上可导，上可导，显然显然)(xf，)(xf )(xf二、函数的极值及其求法二、函数的极值及其求法1、函数极值的定义、函数极值的定义oxy1x3xoxyoxy0 x0 xab2x5x4x，)()(0 xfxf 0 x设函数设函数)(xf在点在点的某个邻域内有定的某个邻域内有定对于该邻域内异于对于该邻域内异于0 x的点的点，x假设对适宜不等式假设对适宜不等式那么称函数在点那么称函数在点0 x有极大值有极大值),(0 xf假设对适宜不等式假设对适宜不等式，)()(0 xfxf 函数在点函数在点0 x有极小值有极小

7、值),(0 xf0 x将点将点那么称那么称0 x点点义，义，极值与最值的区别：极值与最值的区别：是对整个区间而言，是对整个区间而言，绝对的、绝对的、是对某个点的邻域而言、是对某个点的邻域而言、相对的、可以不是独一的相对的、可以不是独一的. .如何求极值？如何求极值？察看图形知：察看图形知：是整体的、是整体的、独一的独一的. .是部分的、是部分的、，0 0 x)(xf在点在点处可导，处可导，. 0)(0 xf且在点且在点0 x，0)()(lim)(00000 xxxfxfxfxx00)()(xxxfxfxy 设设)(0 xf为极大值为极大值. .那么那么在在)(0 xUx 时，时，)()(0 x

8、fxf 于是当于是当0 xx 时，时，当当0 xx 时，时，00)()(xxxfxfxy ，0 0)()(lim)(00000 xxxfxfxfxx).()(00 xfxf . 0)(0 xf只需只需)(0 xf 存在，存在，,3xy , 00 xy0 x)(xf0 x0 x0 x,xy 0 x,31xy 0 x设延续函数设延续函数)(xf的极值可疑点的极值可疑点的一个邻域内的一个邻域内在在0 x0(x可除外可除外)可导可导. .到大经过点到大经过点0 x时，时， 假假设设(1)(1)在在0 x的两侧，的两侧，)(xf )(0 xf那那么么是极大值是极大值. .(2)(2)在在0 x的两侧，的

9、两侧，)(xf )(0 xf那那么么是极小值是极小值. .)(xf 在在0 x的两侧，的两侧，(3)(3)那那么么0 xxyoxyo0 x0 x xyo0 x 当当x由小由小，0 x为为xyo0 x );(xf (1)(1)求定义域，求定义域， 求导数求导数(2)(2)求驻点，求驻点，0)( xf即方程即方程的根，的根， 以及不可导点；以及不可导点；(3)(3)检查检查)(xf 在驻点及不可导点左右的正负号，在驻点及不可导点左右的正负号，判别出极值点；判别出极值点；(4)(4)求极值求极值. .1.1.定理中的条件定理中的条件“ 延续很重要，延续很重要， )(xf假设不延续，假设不延续，即使即

10、使)(xf 变号，变号， 但但0 x未必是极值点未必是极值点. .2.2.该定理适用于该定理适用于0 x0 x963)(2 xxxf. 3, 121 xx列表讨论列表讨论x)1,( ), 3( )3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00，)3)(1( 3 xx593)(23 xxxxf求出函数求出函数的极值的极值. .，0)( xf令令得驻点：得驻点：) 1( f,10 )3(f.22 该函数的定义域为该函数的定义域为),( 593)(23 xxxxfMm图形如下图形如下).,( : D,134) 1(34)(32312 xxxxxfxy y，3)0( f. 2)1( f 322)1(2)

11、( xxf求函数求函数的极值的极值. .，0)( xf令令得得，0 x1 x当当时，时， 导数不存在导数不存在. .故极大值为：故极大值为：)1,( 1 )0 , 1( 0)1 , 0(), 1( 10 , 0)()()(0)1(00 xfxfxfk)()(xfk, 0)(0)( xfk0)(0)( xfk0)(0)( xfk0)(0)( xfk)()(xfk0)(0)( xfk, 0)(0)( xfk)()(xfk,)(!)()()(0)(0kkxxkfxfxf )(0之之间间与与介介于于xx ,)(!)()()(0)(0kkxxkfxfxf ,)()()(00同同号号，与与xxxfxf ，

12、0)()(0 xfxf0)(0)( xfk解解) 1() 4( 4) 44 () 4() 4( 3) 4()(2223 xxxxxxxxf1)4()(3 xxxf求函数求函数的极值的极值.),1() 4( 4)(2 xxxf, 0)( xf, 4, 121 xx),2)(4(12)( xxxf,36) 1 ( f26) 1 ( f;0)4( f),3(24)( xxf24)4( f, 0 4 x)(xf4 x) 5(4204)(23 xxxxxf，0)( xf. 5, 0, 5321 xxx,2012)(2 xxf )5(f40) 5( f,20 ) 0 (f20 )0(f. 5 , 040)

13、5( f510)(24 xxxf求出函数求出函数的极值的极值.) 5( f.20 ,0, 0，),( ，22) 1(6)( xxxf定义域为定义域为令令0)( xf得得, 11 x, 02 x, 13 x)15)(1(6)(22 xxxf求函数求函数1) 1()(32 xxf的极值的极值.6) 0 ( f，0 ，0) 1 () 1( ff，0)0( f),110(10)(2 xxxf, 0)1( f, 0)1( f. 0)0( f察看：察看：)(max xfbxa )(minxfbxa 端点的函数值；端点的函数值；极值点的函数值；极值点的函数值；不可导点的函数值不可导点的函数值. 来自于来自于 比较比较端点端点驻点驻点不可导点函数值的大小不可导点函数值的大小,最大的数最大的数oxy1x4xab2x6x5x)1)(3(6 xxy. 3 x ) 3( y;61 ) 4( y;47 ;29 ) 1 ( y，29) 1 ( y.61)3( y)(xf ba,),(minafy )(maxbfy )(xf ba,),(min