高等数学11.5随机变量数字特征ppt课件

1、11. 5 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 前面讨论了随机变量的分布函数，分布函前面讨论了随机变量的分布函数，分布函数可以完好地描画随机变量的统计特性。但在一数可以完好地描画随机变量的统计特性。但在一些实践问题中，不需求去全面调查随机变量的变些实践问题中，不需求去全面调查随机变量的变化情况，而只需知道随机变量的某些特征，因此化情况，而只需知道随机变量的某些特征，因此并不需求求出它的分布函数。例如，在评定某一并不需求求出它的分布函数。例如，在评定某一地域粮食产量的程度时，在许多场所只需知道该地域粮食产量的程度时，在许多场所只需知道该地域的平均产量；地域的平均产量； 从上面的例子看到，与随机

2、变量有关的某些从上面的例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽然不能完好地描画随机变量，但能描画数值，虽然不能完好地描画随机变量，但能描画随机变量在某些方面的重要特征。这些数字特征随机变量在某些方面的重要特征。这些数字特征在实际和实际上都具有重要的意义。在实际和实际上都具有重要的意义。一、期望一、期望例：有甲、乙两射手，他们的射击技术用下表表出：例：有甲、乙两射手，他们的射击技术用下表表出： 甲射手甲射手 乙射手乙射手试问哪个射手身手较好？试问哪个射手身手较好？解：设两个选手各射解：设两个选手各射N 枪，那么有枪，那么有 平均甲射中平均甲射中9.3环，乙射中环，乙射中9.1环，环，因此甲射手的身

3、手好些。因此甲射手的身手好些。甲：甲：80.3N90.1N100.6N=9.3N乙：乙：80.2N90.5N100.3N=9.1N1、定义、定义 设设X是离散型随机变量，它的概率函数是是离散型随机变量，它的概率函数是: P(X=Xk)=pk , k=1,2,离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和和.它是随机变量一切取值的以概率为权的加权平均它是随机变量一切取值的以概率为权的加权平均 1()kkkE Xx p 1|kkkxp 假设假设有限有限,定义定义X 的数学期望的数学期望1|kkkxp 假设假设发散发散, 称称X 的数学期望不存在的数学

4、期望不存在例例 1例例 2假设假设XB( n, p)，那么，那么 EX n p， X服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布 EX= , 设随机变量设随机变量Y 是随机变量是随机变量X 的延续函数的延续函数Y=g(X) 设设 X 为离散型随机变量为离散型随机变量,其分布列为其分布列为 P(X=Xi)=pi , i=1,2,1|() |iiig xp 假设假设 收敛收敛,1;)()(kkkpxgXgEEY那么那么 例例 5 设随机变量设随机变量X 的分布列为的分布列为pkX -1 0 1 20.1 0. 2 0.4 0.3求求 E(2X - 1), E(X 2). 解解 E(2X -1)=()

5、()2110.12 010.2()2 110.42 210.3 （22222()10.100.210.420.31.7EX = 0.8 ; 2、定义：、定义： 设设X是延续型随机变量，其密度是延续型随机变量，其密度 函数函数 f (x),假设假设dxxfx)(|有限有限,定义定义X的数学期望为的数学期望为dxxfxXE)()(也就是说也就是说,延续型随机变量的数学延续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分期望是一个绝对收敛的积分.例例3：设均匀分布的随机变量：设均匀分布的随机变量XU(a,b),求求E(X)。1,:( )0,axbXf xba 解解： 的的概概率率密密度度其其它它()()EX

6、x fxd x X 数学期望为数学期望为2ab 00ababxxdxdxxdxba 例例4 求求 指数分布的期望与方差指数分布的期望与方差 ,服服从从指指数数分分布布设设随随机机变变量量 X那么有那么有 , 0,e1 xx. 0, 0 x)(xf 其概率密度为其概率密度为)(XE xxxfd)( xxxde10 xxxxdee00 . X 服从参数为服从参数为 的指数分布，的指数分布， 1EX X服从参数为服从参数为 , 的正态分布，的正态分布，XN( , 2)。EX= 假设假设 收敛收敛 ，那么，那么dxxfxg)(| )(|设随机变量设随机变量Y 是随机变量是随机变量X 的延续函数的延续函

7、数Y=g(X)设设X 是延续型随机变量是延续型随机变量,其密度函数为其密度函数为 f (x),.)()()(dxxfxgXgEEY 例例6. 设设XUa, b，计算，计算EX222200ababxxdxdxxdxba 21baxdxba 223aabb 22( )EXxf x dx 三、数学期望的性质三、数学期望的性质 1. 设设C是常数，那么是常数，那么E(C)=C; 2. 假设假设k是常数，那么是常数，那么E(kX)=kE(X);3. E(X+Y)=EX+EY11()()()nnE XXE XE X 推行推行 设设1，2 ，每一个随机变量每一个随机变量Xi 的数学期望都存在，那么的数学期望

8、都存在，那么4. 假设假设X、Y相互独立，且相互独立，且EX 、EY存存在，在， 那么那么E(XY )= EX EY ;四、方差的定义四、方差的定义 采用平方是为了保证一切采用平方是为了保证一切差值差值X-E(X)都起正面的作用都起正面的作用 由于它与由于它与X具有一样的度量单位，在实具有一样的度量单位，在实践问题中经常运用践问题中经常运用. 方差的算术平方根方差的算术平方根 称为规范称为规范差差)(XD1、设、设X是一个随机变量，假设是一个随机变量，假设E(X-E(X)2，那，那么称么称D(X)=VarX=EX-E(X)2 (1)为为X的方差的方差.X为离散型，为离散型，P(X=xk)=pk

9、 由定义知，方差是随机变量由定义知，方差是随机变量X的函数的函数g(X)=X-E(X)2的数学期望的数学期望 .212()()()( )kkkxE XpD XxE Xf x dx X为延续型，为延续型，Xf(x) 2、D(X)=E(X2)-E(X)2 展开展开证：证：D(X)=EX-E(X)2=EX2-2XE(X)+E(X)2=E(X2)-2E(X)2+E(X)2=E(X2)-E(X)2利用期望利用期望性质性质22()()()D XE XE X 2(1)pppp例例3. 设设XUa, b，计算，计算DX解：解：EX=21baxdxbaab 222200ababxEXxdxdxxdxba 22212baDXEXEX 21baxdxba 223aabb 假设假设XB( n, p)，那么，那么 EX n p，DXn p qEX= , DX= X服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布 XUa, b，2EXab 212baDX X 服从参数为服从参数为 的指数分布，的指数分布， 211EXDXXN( , 2)。2EXDX 1. 设设C是常数是常数,那么那么D(C)=0; 反之，假设反之，假设DX=0，那么存在常数，那么存在常数C，使使 PX=C=1, 且且C=E(X