流体力学相对论

1、1大学物理习题课大学物理习题课流体力学、相对论部分流体力学、相对论部分2 流体静力学流体静力学 理想流体的运动理想流体的运动 伯努利方程伯努利方程 粘滞流体运动粘滞流体运动3一、流体静力学一、流体静力学 流体的压强流体的压强sfpdd流体中静压强与面元取向无关流体中静压强与面元取向无关 xyznpppppzpFypFxpFzyx0p F静止流体的平衡方程静止流体的平衡方程 重力场中的静止流体重力场中的静止流体 ()BABAppg zz 液体中压强随距液面深度线性变化液体中压强随距液面深度线性变化静止在重力场中的静止在重力场中的同种流体同种流体 等压面是水平面，与重力方向垂直等压面是水平面，与重

2、力方向垂直标量4二、理想流体运动二、理想流体运动理想流体理想流体(1) 稳定流动稳定流动(2) 流线流线(3) 流管流管不可压缩、无粘性不可压缩、无粘性连续性方程连续性方程SSVsddtv0dSsv常量s（v不随时间变化不随时间变化）（ v 大小和方向大小和方向）5三、伯努力方程三、伯努力方程 在同一管道中任何一点处，流体每单位体积的动能和势在同一管道中任何一点处，流体每单位体积的动能和势能以及该处压强之和为常量。能以及该处压强之和为常量。常量221vghp伯努利方程伯努利方程重力场中的稳定流动重力场中的稳定流动6四、粘滞流体的运动四、粘滞流体的运动(1) 粘粘性流体的伯努利方程性流体的伯努利

3、方程(2) 泊肃叶定律：圆形管道的体积流量：泊肃叶定律：圆形管道的体积流量：(3) 湍流和雷诺数湍流和雷诺数(4) 斯托克斯粘性公式斯托克斯粘性公式Wghpghp222221112121vv42108d2)(RlpprrrQRVvrRevvrf67例例1 在一水箱侧壁同一竖线上开两个相同小孔，上孔在一水箱侧壁同一竖线上开两个相同小孔，上孔距水面为距水面为a，下孔距地面为，下孔距地面为c，小孔间距离为，小孔间距离为b，证明，证明两股水在地面相遇的条件为两股水在地面相遇的条件为bcacacabca 解：解：AB0pCacBBBAAAghpghp222121vv0pppBAahhBAghB221v0

4、AvgaB2v)(2bagCvxb解：解：0pppBA8gaB2v)(2bagCvAB0pCacxbtxgty221gyx2BCgcbgcx)(22acbcbaca 任意距离成立：任意距离成立：9例例2 一圆柱形水桶，横截面的直径为一圆柱形水桶，横截面的直径为D=60cm，桶底，桶底有一直径为有一直径为d=10cm的圆孔。开始时桶内水的深度为的圆孔。开始时桶内水的深度为h=100cm，求：此时水从桶底孔中流出的速率，求：此时水从桶底孔中流出的速率v和流和流量量Q。DhdAB解：解：对对A、B两点运用伯努利方程两点运用伯努利方程221122AABBpghpvv0pppBA/6dD非小孔！非小孔！

5、0Av连续性方程：连续性方程：222BAghvv(1)22/ 4/ 4ABDdvv(2)流量：流量：2/ 2BQdv10ASBSp例例3 文丘里文丘里(Venturi)流量计的两种管径的截面积分别流量计的两种管径的截面积分别 为为 和和 ，流体的密度为，流体的密度为 ，并由，并由U形管液柱高度形管液柱高度差差h可计算出压强差为可计算出压强差为 ，试求流体的体积流量。，试求流体的体积流量。ABAvBvh221122AABBppvvVAABBQSS= vv222ABABghSSSv222BAABghSSSv222VABABghQS SSSABppgh解：解：11例例4 水从管水从管1流入，通过支管

6、流入，通过支管2和和3流入管流入管4，管，管4的出的出口与大气相通，整个管道系统在口与大气相通，整个管道系统在同一水平面内同一水平面内。已。已知各管的截面积分别是知各管的截面积分别是S1=15cm2，S2=S3=5cm2，S4=10cm2，管，管1中的体积流量为中的体积流量为600cm3/S。求：。求：(1) 各管中的流速；各管中的流速；(2) 各管中的压强与大气压强之差。各管中的压强与大气压强之差。v2v3v4v11234(1) Q4= Q1= 600cm3/S S2 = S3， Q2 + Q3 = Q1 Q2 = Q3 = 300cm3s-1v2 = v3 = Q2S2 = 3005 =

7、60cms-1v4 = Q4S4 = 60010 = 60 cms-1v1 = Q1S1 = 60015 = 40 cms-1解：解：12(2) 由伯努利方程及由伯努利方程及 24423322221121212121vpvpvpvp得得a223212441P1004 .06 .0100 .12121vvppv2v3v4v1123404pp a223222442P06 .06 .0100 .12121vvpp且且04342pppp(2) 各管中的压强与大气压强之差。各管中的压强与大气压强之差。13例例5 人体大动脉的直径为人体大动脉的直径为 4.010 -2m ，血液的密，血液的密度为度为103

8、kgm-3、粘滞系数为粘滞系数为3.510-3Pas，其平均其平均流速为流速为4510-2ms-1（大动脉的临界雷诺数（大动脉的临界雷诺数 Re 为为110850）求：求：血液的雷诺数。血液的雷诺数。解：解：由由vdR 得得257210531021045103223.R人体大动脉血管内的血流为湍流。人体大动脉血管内的血流为湍流。14爱因斯坦狭义相对论的两个基爱因斯坦狭义相对论的两个基本假设本假设:相对性原理相对性原理: 所有的惯性系都是等价的，在一所有的惯性系都是等价的，在一切惯性系中，所有的物理规律都具有相同的形切惯性系中，所有的物理规律都具有相同的形式。式。光速不变原理光速不变原理: 在任

9、何惯性系中在任何惯性系中,光在真空中的光在真空中的速率都相等速率都相等.第七章第七章 相对论相对论15 洛伦兹变换洛伦兹变换1）满足相对性原理和光速不变原理。）满足相对性原理和光速不变原理。2）当质点速率远小于真空光速）当质点速率远小于真空光速 c 时，该变时，该变 换应能使伽利略变换重新成立。换应能使伽利略变换重新成立。1.满足条件：满足条件：221cvvtxxyyzz2221cvxcvtt)(122tcxcvtvxxyy zz )(1222cxtcvxcvtt坐标变换坐标变换:16狭义相对论的时空观狭义相对论的时空观1 . 同时性的相对性同时性的相对性不同地点同时发生两事件不同地点同时发生

10、两事件A、B.2 . 长度收缩长度收缩 （运动的尺收缩）（运动的尺收缩）201 LL3 . 时间延缓时间延缓 (运动的时钟变慢运动的时钟变慢)201S系中观测运动的钟系中观测运动的钟(相对与静止相对与静止)的钟变慢的钟变慢(时间膨胀时间膨胀).21xxxuvd xuvd tuc 2211yyxud yuvd tuc 2211zzxud zuvd tuc 21xxxuvd xuvd tucxyyucvudtdyu2211xzzucvudtdzv2211170221mmvc 质量：质量：力：力：ddFmdtdtPv动量：动量：0221mPmvvvc KdEsdfdmcdsf2202cmmcEK E

11、 = mc2静静(质质)能能m0c2, 一种新形式能量一种新形式能量.420222cmcpE动能动能质能关系式质能关系式18例例1. 一艘飞船和一颗彗星相对地面分别以一艘飞船和一颗彗星相对地面分别以0.6c、0.8c 的的速度相对而行。在地面上观察，再有速度相对而行。在地面上观察，再有 5 秒两者就要相撞。秒两者就要相撞。求：求：（1）飞船上看，彗星的速度多大？）飞船上看，彗星的速度多大？ （2）飞船上看，再经过多少时间相撞？）飞船上看，再经过多少时间相撞？0.6c0.8c飞船飞船慧星慧星19【解解】设地面为设地面为 S系，飞船为系，飞船为 S 系系vu、分别为飞船、彗星相对地面的速度分别为飞

12、船、彗星相对地面的速度根据洛仑兹变换，根据洛仑兹变换，在飞船系中，彗星的速度在飞船系中，彗星的速度xxvcuuvv21 cccccc946. 08 . 06 . 016 . 08 . 02 （沿（沿 - x 方向）方向）飞船飞船彗星彗星00SSuxx v小于光速小于光速c.（1）飞船上看，彗星的速度多大？）飞船上看，彗星的速度多大？20方法一方法一.(2) 飞船上看，再经过多少时间相撞？飞船上看，再经过多少时间相撞？利用利用“原时原时”和和”“”“两地时两地时”的关系的关系事件事件1：飞船飞船被地面上的人看到被地面上的人看到事件事件2：飞船飞船与彗星相撞与彗星相撞 在飞船上看是原时在飞船上看是

13、原时 t 这两事件，在地面上看是两地时这两事件，在地面上看是两地时 ts48 . 05)/6 . 0(15/1222 cccutt21方法二方法二.利用洛仑兹变换利用洛仑兹变换s46 . 0156 . 06 . 05/122222 ccccccuxcutt设：事件设：事件1（飞船飞船被地上人看到）被地上人看到） （ x1，t1 ）（）（ ）x 1，t 1事件事件2（飞船飞船与彗星相撞）与彗星相撞） （ x2t2 ）（）（ ）x 2，t 2飞船飞船彗星彗星00 SSuxx1x2x vt1t2tux 22例例2：一光源在：一光源在S系的原点系的原点O发出一光线，其传播方向在发出一光线，其传播方向在

14、x y平面内与平面内与x轴夹角为轴夹角为 ， S系相对于系相对于S系以速度系以速度u沿沿x轴方向运动。试求在轴方向运动。试求在S系中测得的此光线的传播方向，系中测得的此光线的传播方向，并证明在并证明在S系中此光线的速率仍为系中此光线的速率仍为c。 解：在解：在S系中光的传播速度系中光的传播速度 。由洛伦兹速度变换可得。由洛伦兹速度变换可得在在S系中光的两个分速度分别为：系中光的两个分速度分别为：uc 22coscoscoscos111xxxuvuvcvuuvvu vccc 222222221sin1sin1coscos111yyxuvcuvccvcuvu vuvccc 2322sin1arct

15、anarctancos/yxuvcuv c 由此得在中光线与轴的夹角为：由此得在中光线与轴的夹角为：而光的速率为而光的速率为 221222222122222cossin1coscos2coscosxyvuucvvcccvccvvcccvc 24例例3. 飞船以飞船以0.6c 沿地面接收站与飞船连线方向向外飞沿地面接收站与飞船连线方向向外飞行，飞船上的光源以行，飞船上的光源以T0 = 4s 的周期向地球发光脉冲。的周期向地球发光脉冲。求：求：地面接收站接收到的脉冲周期。地面接收站接收到的脉冲周期。讨论：讨论：甲说：甲说：飞船上的发生器飞船上的发生器先后两次发出脉冲是在同一地点，先后两次发出脉冲是

16、在同一地点，应是原时，应是原时，所以，地面测量周期为所以，地面测量周期为 4 1.25=5s.对不对？对不对？接收站接收站u25. 16 . 01111222 cccu 25他们两人都不对。他们两人都不对。因为飞船上的发生器先后两次发出脉冲的事件因为飞船上的发生器先后两次发出脉冲的事件与地面上的接收站相继两次接收脉冲的事件与地面上的接收站相继两次接收脉冲的事件不是简单的原时与两地时的关系。不是简单的原时与两地时的关系。乙说：乙说：地面上的接收站地面上的接收站相继两次接收脉冲是在同一地点，相继两次接收脉冲是在同一地点，这才是原时，这才是原时，他们两人谁对？他们两人谁对？正确做法如下：正确做法如下

17、：所以。接收周期应为所以。接收周期应为 4 /1.25=3.2s.【答答】26【解解】地面参考系：地面参考系：飞船飞船相继相继两次发出脉冲（两事件）两次发出脉冲（两事件）的时间差的时间差02Txcutt )(0T0飞船飞船相继两次发出脉冲的空间距离相继两次发出脉冲的空间距离tux 接收站接收站11,tx22,txutu 接收站接收到的接收站接收到的 脉冲周期脉冲周期 应是相继两次脉冲到达接收站的时间差应是相继两次脉冲到达接收站的时间差直接由洛仑兹变换直接由洛仑兹变换27接收站接收站11,tx22,txutu 相继相继两次脉冲两次脉冲先后到达接收站的时间差先后到达接收站的时间差 （即（即地面接收

18、站地面接收站所测量的周期）所测量的周期）)(cutcxtT 1sccTccccTucuc844 . 06 . 16 . 06 . 000 cuT10 28接收站接收站11,tx22,txutu 地面参考系：地面参考系：02Txcutt )(相继相继两次发出脉冲两次发出脉冲仍有仍有 )(cutcxtT1相继相继两次脉冲两次脉冲先后到达接收站的时间差先后到达接收站的时间差 sTucuc20 如果飞船接近接收站结果又怎样？如果飞船接近接收站结果又怎样？29例例4 在在S系中的系中的x轴上相隔为轴上相隔为 处有两只同步的时钟处有两只同步的时钟A和和B，读数，读数相同，在相同，在S系中系中x轴上也有一只

19、同样的钟轴上也有一只同样的钟A，设，设S系相对于系相对于S系的运动速度为系的运动速度为u，沿，沿x轴正方向，并且当轴正方向，并且当A和和A相遇时，刚好相遇时，刚好两钟的读数均为零。两钟的读数均为零。当当A钟与钟与B钟相遇时，在钟相遇时，在S系中系中B钟的读数是多少？钟的读数是多少？1. 此时在此时在S系中系中A钟的读数是多少？钟的读数是多少？xBxtuOXYABxXYA解：解：在在S系中，系中，A和和B钟不动，钟不动，所以当所以当A钟指零，钟指零，A与与B相遇时，相遇时，B钟的读钟的读数为：数为：在在S系中，系中，A钟和钟和B点相遇时，点相遇时，S系中的钟系中的钟相当于运动的钟，所以要发生时间

20、延缓。相当于运动的钟，所以要发生时间延缓。所以在所以在S系中，系中，A与与B点相遇点相遇时，时，A钟的读数为：钟的读数为：221Axutuc对吗？对吗？30注意：这里的 不是原时。Bxtu原时（固有时）定义原时（固有时）定义：同一个地点两个事件的时间间隔同一个地点两个事件的时间间隔。这里的两个事件这里的两个事件既不同时，也不同地既不同时，也不同地，所以用洛伦兹变换：，所以用洛伦兹变换：在在S系中，系中，A的读数为：（与的读数为：（与B点相遇时）点相遇时）222222222222222222111(1)111BBAABAuuutxtxtxccctuuucccxuxuxxuucucucuucc31思考：两把米尺，各相对于地面以思考：两把米尺，各相对于地面以u远离，求：远离，求：在一把尺上测得的另一把尺的长度。在一把尺上测得的另一把尺的长度。解解1：S系（地面）测得一把米尺的长度为：系（地面）测得一把米尺的长度为：210011LLL另一把尺上测得另一把尺上测得020212)(1111LcuLLL原因：在原因：在S系中测得系中测得L1时，是在时，是在S系中的不同地点同时测得的。系中的不同地点同时测得的。S系中同时发生的事件，在另一把尺所在的参照系，不同时。系中同时发生的事件，在另一把尺所在的参照系，不同时。无意义。无意义。uuSab32解解2：则则a