高等数学第三节_任意项级数ppt课件

1、定义定义: : 称正负相间或负正相间的级数为交错级数称正负相间或负正相间的级数为交错级数. .nnnv 11)1( )1(1nnnv 或或,321 uuu,321 uuu).0( nv其其中中形如：形如：定理一：莱布尼茨定理定理一：莱布尼茨定理:)1()1(111满满足足或或若若交交错错级级数数 nnnnnnvv);, 2 , 1( ) i (1 nvvnn, 0lim)ii( nnv,则则交交错错级级数数收收敛敛,1vs 且且其其和和的的绝绝对对值值定义定义: :nnnv 11)1( )1(1nnnv 或或).0( nv其其中中形如：形如：证明：证明：mmmmvvvvvvs212223212

2、)()( 又又0)()()(21243212 mmmvvvvvvs1v , 0 :) i (1 nnvv知知由由条条件件,lim12vssmm 即即, 0lim)ii12 mmv知知由（由（;2是单调增加是单调增加数列数列ms;2有有上上界界数数列列ms)(limlim12212 mmmmmvss得：得：, s .,1vss 且且所以级数收敛于和所以级数收敛于和.)1(11的情形的情形考虑考虑 nnnv., 01vsss 则则又又解解,1,11,1nvnvnn 且且这是交错级数这是交错级数由莱布尼茨定理知由莱布尼茨定理知, , 0lim ,1111 nnnnvvnnv且且有有. 1)1(11的

3、的收收敛敛性性判判断断级级数数 nnn例例1 1原莱布尼茨型级数收敛原莱布尼茨型级数收敛. .解解且且这是交错级数这是交错级数,由莱布尼茨定理知由莱布尼茨定理知, ,1nnvv 则则. )1(12)1(11的的收收敛敛性性判判断断级级数数 nnnnn例例2 2原莱布尼茨型级数收敛原莱布尼茨型级数收敛. .)1(12)2)(1(321 nnnnnnvvnn)111(2111 nnnnnn121 0 nnv lim 且且)1(12lim nnnn, 0 恣意项级数恣意项级数证明证明,nnnuuu 显显然然有有),11nnnnnnuuuu 而而二、绝对收敛与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛.1收敛收敛

4、则则 nnu定理二定理二, |1收敛收敛若若 nnu:1 nnu.1也收敛也收敛则则 nnu，从从而而有有nnnuuu20 收敛收敛由由 1nnu收收敛敛 12nnu收敛收敛)(1 nnnuu二、绝对收敛与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛.,未必成立未必成立反之反之定理二定理二, |1收收敛敛若若 nnu.1也也收收敛敛则则 nnu,)1(11收敛收敛 nnn本定理的作用：本定理的作用：恣意项级数恣意项级数正项级数正项级数.1)1(111发散发散但但 nnnnn定义定义: :, 1收收敛敛若若 nnu.1绝对收敛绝对收敛则称级数则称级数 nnu, 11收收敛敛发发散散若若 nnnnuu.1条件收

5、敛条件收敛则称级数则称级数 nnu例例3 3.2)1(13的的收收敛敛性性判判断断级级数数 nnnn解解 1nnu故原级数收敛故原级数收敛. .,213 nnnnnnnnnnnuu22)1(limlim3131 121 收敛，收敛，则则 1nnu例例4 4. 1122)1(的收敛性的收敛性）（判断级数判断级数 nnnn解解,收敛收敛 1122)1( nnnn）（因为因为 112 nn. 1122)1(收收敛敛）（所所以以级级数数 nnnn例例5 5收收敛敛吗吗？）（问问级级数数 11tan1nnn解解还还是是绝绝对对收收敛敛？则则是是条条件件收收敛敛若若收收敛敛, 01tan, nvn且且这这

6、是是交交错错级级数数 ,1nnvv 有有原莱布尼茨型级数原莱布尼茨型级数, ,是收敛的是收敛的. .nnv lim 且且nn1tanlim 0 解解, 01tan, nvn且且这这是是交交错错级级数数 ,1nnvv 有有原莱布尼茨型级数原莱布尼茨型级数, ,是收敛的是收敛的. .nnv lim 且且nn1tanlim 0 111tannnnnu又又)2, 0(,tan xxx且且由由nn11tan 得得 11nn发散，发散，而而发发散散，则则 11tannn.原级数条件收敛原级数条件收敛级数乘积：级数乘积：)()(00 nnnnvu13vu4321 vvvv1u2u3u4u 14vu21vu2

7、2vu23vu31vu32vu41vu24vu33vu34vu42vu43vu44vu11vu12vu11vu )(2112vuvu )(312213vuvuvu ，与与且且其其和和分分别别为为 s定理三定理三, 11均为绝对收敛均为绝对收敛和和级数级数若若 nnnnvu,收敛收敛则其乘积的级数也绝对则其乘积的级数也绝对. s且且其其和和为为. )1cos1()2( ; )1cos1()1(: 11 nnnn判定下列级数的收敛性判定下列级数的收敛性解解)1(nn1cos1lim 故原级数发散故原级数发散. .n1 nnn1)1(21lim2 ,21 ,11发散发散又又 nn解解)2(nn1co

8、s1lim 故原级数收敛故原级数收敛. .21n 221)1(21limnnn ,21 ,112收收敛敛又又 nn. )1cos1()2( ; )1cos1()1(: 11 nnnn判判定定下下列列级级数数的的收收敛敛性性解解)1cos1(limxnnn 0 x, 1cos, 10 x,不存在不存在0 x, 0)1cos1(lim, xnnnx.,原原级级数数发发散散因因此此对对任任意意 x.)1cos1( 1级级数数的的收收敛敛性性判判定定 nxnn思索题思索题1.1.交错级数的莱布尼茨审敛法交错级数的莱布尼茨审敛法; ;2.2.绝对收敛绝对收敛, ,条件收敛的概念条件收敛的概念; ;3.3.绝对收敛必收敛绝对收敛必收敛; ;4.4.绝对收敛级数用比值审敛法断定为发散时绝对收敛级数用比