高等数学2.5高阶导数 由参数方程所确定函数导数ppt课件

1、高高 等等 数数 学学主讲人主讲人 宋从芝宋从芝河北工业职业技术学院河北工业职业技术学院高阶导数的概念；高阶导数的概念；二阶导数的力学意义；二阶导数的力学意义；由参数方程所确定的函数的导数。由参数方程所确定的函数的导数。2.5 2.5 高阶导数高阶导数 由参数方程确定函数的导数由参数方程确定函数的导数y = f (x) 一阶导数一阶导数22ddxy f (x) 或或 y 或或三阶导数三阶导数y(4)，y(5)， ，y(n),dd44xynnxydd或或 ， 二阶导数二阶导数定义定义二阶及二阶以上的导称为高阶导数二阶及二阶以上的导称为高阶导数33ddxy f (x) 或或 或或y 例例1 设设

2、y ln ,yxx xy1 求求 解解y 求高阶导数时，仍用一阶导的公式和法那么求高阶导数时，仍用一阶导的公式和法那么ln x ln1x x 1x例例2 设设 y = x n，求，求 y的各阶导数。的各阶导数。y(i)解解y = n x n-1y = n x n-i(n-1) x n-2inn (n-1)(n-i) x n每求一次导，次数会降低一次，求每求一次导，次数会降低一次，求n阶导阶导数数时，次数降为时，次数降为0，大于，大于n阶的导数为阶的导数为0。y(n+1) =0总结总结=y(n+1) =y(n+2)=y(n) =n (n-1)1 = n! =练习练习 设设 0f 43235710

3、,f xxxxx 求求 解解 32123107fxxxx 236610fxxx 726fxx 06f 有简便方法吗？有简便方法吗？例例2 设设 y = e x，求，求 y(n)。y(n) =e x 。解解y y = e x = e x练习练习 设设 y = e 3x y = e 3x，求，求 y(n) y(n)。例例3 设设 y = ln(1 + x) ，求，求 y(n)(0)。11yx 解解2( 1)(1)yx ，3)1)(2)(1( xy,)1)(3)(2)(1(4)4( xy,)1)(1()3)(2)(1()(nnxny )1()2)(1()0()( nyn1( 1)(1)!nn 11x

4、 （） 设物体作变速直线运动，其运动方程为设物体作变速直线运动，其运动方程为s=s(t)，那，那么么物体运动的速度是路程物体运动的速度是路程 s 对时间对时间 t 的导数，即的导数，即)()(tsdtdstv 速度速度v v对时间对时间t t的导数是加速度，即的导数是加速度，即va 物体运动的加速度物体运动的加速度a a是路程函数是路程函数 s s 对对 t t 的二阶导的二阶导数。数。22dtsd 例例5 作直线运动的某物体的运动方程为作直线运动的某物体的运动方程为s=e -t cost，求物体运动的加速度。求物体运动的加速度。解解 物体运动的速度物体运动的速度vs coscosttetet

5、 sincostett 物体运动的加速度物体运动的加速度as sincoscossinttettett 2sintet 三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数设参数方程为设参数方程为 xtyft 可确定可确定y是是x的函数，求的函数，求y 。dydx dydtdxdt 导数公式：导数公式： dy dtdtdx ttyx xy 例例6 解解sin1costt sin1cosatat sin41cos4 12那么在那么在 处的切线斜率为处的切线斜率为4 sin1cosxa ttyat 求旋轮线求旋轮线4t 在在处处切切线线斜斜率率。ttyx xy 4xty 练习练习 2ln 1arctanxtytt 设方程设方程( ),yy x 确确定定了了y 求求。xy xttyx 二阶导数公式：二阶导数公式： 一阶导数公式：一阶导数公式： 由参数方程所确定的函数的导数公式由参数方程所确定的函数的导数公式ttyx xy 小结：小结： 1. 1.高阶导数高阶导数 2. 2.二阶导数的力学意义二阶导数的力学意义 3. 3.由参数方程所确定的函数的导数由参数方