3.2第二类曲面积分ppt课件

1、E-mail: 5 5 第二类曲面积分对坐标的曲面积分）第二类曲面积分对坐标的曲面积分）有向曲面：通常我们遇到的曲面都是双侧的有向曲面：通常我们遇到的曲面都是双侧的 例如例如 由方程由方程zz(x y) 表示的曲面分为上侧表示的曲面分为上侧与与 下侧下侧 设设n(cos cos cos)为为曲面上的曲面上的 法向量法向量 在曲面的上侧在曲面的上侧cos0 在曲在曲面的面的 下侧下侧cos0 闭曲面有内侧与外侧之闭曲面有内侧与外侧之分分 曲面分上侧和下侧曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分内侧和外侧一、对坐标的曲面积分的概念和性质一、对坐标的曲面积分的概念和性质E-mail: 类似地类似地 如

2、果曲面的方程为如果曲面的方程为yy(z x)则曲则曲面分为左侧与右侧面分为左侧与右侧 在曲面的右侧在曲面的右侧cos0 在在曲面的左侧曲面的左侧cos0 如果曲面的方程为如果曲面的方程为xx(y z) 则曲面分为前侧与后侧则曲面分为前侧与后侧 在曲面的在曲面的前侧前侧cos 0 在曲面的后侧在曲面的后侧cos0nE-mail: 设设是有向曲面，在是有向曲面，在上取一小块曲面上取一小块曲面S 把把S投影到投影到xOy面上得一投影区域面上得一投影区域 这投影区域这投影区域的面积记为的面积记为()xy。假定。假定S上各点处的法向量上各点处的法向量与与z轴的夹角轴的夹角的余弦的余弦cos有相同的符号有

3、相同的符号(即即cos都是正的或都是负的都是正的或都是负的) 我们规定我们规定S在在xOy面上的面上的投影投影(S)xy为为 .0cos00cos)(0cos)()( 时时当当时时当当时时当当 xyxyxyS其中其中cos0也就是也就是()xy0的情形的情形 类似地可以定义类似地可以定义S在在yOz面及在面及在zOx面上的面上的投影投影(S)yz及及(S)zx E-mail: 实例实例 流向曲面一侧的流量流向曲面一侧的流量. .xyzo E-mail: Av0n AE-mail: E-mail: xyzo iS ),(iii ivin 把把曲曲面面分分成成n小小块块is ( (is 同同时时也

4、也代代表表第第i小小块块曲曲面面的的面面积积) ), ,在在is 上上任任取取一一点点),(iii , ,1. 分割分割则该点流速为则该点流速为 .iv法向量为法向量为 .inE-mail: 通通过过is 流流向向指指定定侧侧的的流流量量的的近近似似值值为为)., 2 , 1(niSnviii ,),(),(),(),(kRjQiPvviiiiiiiiiiiii E-mail: iiiiiiiiiniiiiiSRQP cos),(cos),(cos),(1 xyiiiixziiiiyzniiiiiSRSQSP)(,()(,()(,(1 3.3.取极限取极限0 .的的精精确确值值取取极极限限得得

5、到到流流量量 2. 求和求和通通过过流流向向指指定定侧侧的的流流量量 niiiiSnv1E-mail: 这样的极限还会在其它问题中遇到这样的极限还会在其它问题中遇到 抽去它抽去它们的具体意义们的具体意义 就得出下列对坐标的曲面积分的就得出下列对坐标的曲面积分的概念概念 E-mail: E-mail: E-mail: nixyiiiiSR10)(,(lim 存在存在, ,则称此极限为函数则称此极限为函数),(zyxR在有向曲面上在有向曲面上对对坐标坐标yx,的曲面积分的曲面积分( (也称也称第二类曲面积分第二类曲面积分) )E-mail: nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim)

6、,( 被积函数被积函数积分曲面积分曲面类似可定义类似可定义 niyziiiiSPdydzzyxP10)(,(lim),( nizxiiiiSQdzdxzyxQ10)(,(lim),( E-mail: E-mail: 存在条件存在条件:组合形式组合形式:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( 物理意义物理意义: 表示流向表示流向 指定的流量指定的流量dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( E-mail: 注意：注意：一个规定：如果是分片光滑的有向曲面一个规定：如果是分片光滑的有向曲面 我们我们规规 定函数在定函数在上对坐标的曲面积分等于函数

7、在各片上对坐标的曲面积分等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和光滑曲面上对坐标的曲面积分之和 E-mail: 对坐标的曲面积分的性质对坐标的曲面积分的性质:12121.PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy （曲面可加性） 2.PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy （方向性） 设 是有向曲面， 表示与 取相反侧的 有向曲面，则E-mail: 对坐标的曲面积分的性质对坐标的曲面积分的性质:3.FG(+ G)+GFndSF ndSndS（线性性）若 和 在有向曲面 上的第二类曲面积分 存在， 、 是任意常数，则E-m

8、ail: n ),(yxfz xyDxyzoxys)( 二、对坐标的曲面积分的计算二、对坐标的曲面积分的计算1 1、逐个投影法【将曲面积分化为二重积分】、逐个投影法【将曲面积分化为二重积分】E-mail: nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),( ),(,)()(, 0cos,iiixyxyizS 又又取上侧取上侧 nixyiiiiinixyiiiizRSR1010)(,(,(lim)(,(lim xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(即即E-mail: ,)()(, 0cos,xyxyiS 取取下下侧侧若若 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),

9、(,),(则有则有给出给出由由如果如果,),(zyxx yzDdydzzyzyxPdydzzyxP,),(),(则有则有给出给出由由如果如果,),(xzyy zxDdzdxzxzyxQdzdxzyxQ),(,),(注意注意: :对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分, ,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧. .E-mail: 逐个投影法思路清晰逐个投影法思路清晰, ,计算量大，一般不多用计算量大，一般不多用2、转换投影法【将曲面积分同应到别的坐标面】、转换投影法【将曲面积分同应到别的坐标面】Sxoy设设 在在平平面面上上的的投投影影满满足足“投投影影点点不不重重合合”，xyD区区域域较较容容易

10、易求求得得，则则：S( , , )( , , ( , )xyDzP x y z dydzP x y z x ydxdyx S( , , )( , , ( , )xyDzQ x y z dzdxQ x y z x ydxdyy S( , , )( , , )xyDR x y z dxdyR x y z dxdy E-mail: S0,2+, ,2nz 当当有有向向曲曲面面 的的法法向向量量 与与 轴轴正正向向的的交交角角时时以以上上诸诸式式取取当当时时 取取 综合以上三式综合以上三式,有有S( , , )( , , )( , , )P x y z dydzQ x y z dzdxR x y z

11、dxdy ( , , ( , ),( , , ( , ),( , , ( , )xyDP x y z x yQ x y z x yR x y z x y ,1zzdxdyxy( , )Szz x y 其其中中，为为曲曲面面 的的显显示示表表示示。E-mail: 类似地类似地,投影转换到投影转换到yoz平面时有平面时有:S( , , )( , , )( , , )P x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy ( ( , ), , ),( ( , ), , ),( ( , ), , )yzDP x y zy z Q x y zy z R x y zy z 1,xxdyd

12、zyz， ( , ( , ), ),( , ( , ), ),( , ( , ), )zxDP x y x z zQ x y x z z R x y x z z ,1,yydzdxxz cos0 （时时取取正正号号）cos0 （时时取取正正号号）类似地类似地,投影转换到投影转换到zox平面时有平面时有:S( , , )( , , )( , , )P x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy E-mail: 1 例例(2),xz dydzzdxdy 计计算算曲曲面面积积分分 其其中中 为为有有向向22(01),zxyz曲曲面面z其其法法向向量量与与 轴轴正正向向夹夹角

13、角为为锐锐角角。解法解法1： 逐个投影法逐个投影法S(2),xz dydz 先先计计算算Syoz将将 分分成成前前后后两两块块投投影影到到平平面面：2S, ( , ),yzxzyy zD 前前：方方向向向向后后；2S, ( , ),yzxzyy zD 后后：方方向向向向前前； 2( , )|1, 11yzDy zyzy 其其中中，E-mail: 所以所以S(2),xz dydz 22(2)( 2)yzyzDDzyz dydzzyz dydz 24yzDzy dydz 211214ydyzy dz 3122016(1)3ydy 42016cos3tdt S,zdxdy 再再计计算算E-mail:

14、 S,:xoy将将 投投影影到到平平面面上上 投投影影区区域域为为 22D( , )|1xyx yxy 于是于是22S()xyDzdxdyxydxdy213002dr dr 故故S(2)22xz dydzzdxdy E-mail: 解法解法2转换投影法转换投影法S,:xoy将将 投投影影到到平平面面上上 投投影影区区域域为为 22D( , )|1xyx yxy :S的的方方程程为为22 ( , )xyzxyx yD S(2)xz dydzzdxdy 2222=(2)( 2 )xyDxxyxxydxdy 21222300( 4cos2cos )drrrrdr 2204cos2d 2 E-mail

15、: 2 例例222x dydzy dzdxz dxdy 计计算算曲曲面面积积分分( , , )|0,0,0 x y zxaybzc 其其中中 为为长长方方体体 的的整整个个表表面面的的外外侧侧，解解 1 12 2把把 的的上上下下面面分分别别记记为为和和 3 34 4把把 的的前前后后面面分分别别记记为为和和 5 56 6把把 的的左左右右面面分分别别记记为为和和 1 z c (0 x a 0 y b)的上侧的上侧 2 z 0 (0 x a 0 y b)的下侧的下侧 3 x a (0 y b 0 z c)的前侧的前侧 4 x 0 (0 y b 0 z c)的后侧的后侧 5 y 0 (0 x a

16、 0 z c)的左侧的左侧 6 y b (0 x a 0 z c)的右侧的右侧 E-mail: 34yoz 除除，外外，其其余余四四片片曲曲面面在在面面上上的的投投影影为为零零，因因此此34222220yzyzDDx dydzy dydzx dyda dydzdydza bc 类类似似地地可可以以得得到到：2222y dzdxb acz dxdyc ab，于于是是所所求求曲曲面面积积分分为为：()a+b+c abcE-mail: 练习练习的正方体（外）表面。的正方体（外）表面。、边长、边长中心在中心在求求 :, )()()( aOdxdyxzdzdxzydydzyx 原式原式解解轮轮换换对对称

17、称性性 dydzyx)(3 前前(3 后后 左左 右右 上上 下下 dydzyx)(dydzyx)( 后后 前前 (3xzyO )(yOz 下下上上右右左左、 E-mail: 3()()xy dydz后前xdydz 前前前前后后对对称称6)(3dydzayzD 化为二重积分化为二重积分|D|ayz3 dydza 前前方方程程2633a E-mail: 3 例例xyzdxdy 计计算算曲曲面面积积分分解解2212221(0,0)1(0,0)zxyxyzxyxy 把把有有向向曲曲面面 分分成成以以下下两两个个部部分分：的的上上侧侧，：的的下下侧侧， 1和和 2在在xoy面上的投影区域都是面上的投影

18、区域都是 Dxy: x2 y21 (x 0 y 0)其中其中是球面是球面x2y2z21外侧在外侧在x0 y0的部分的部分 E-mail: 22122200212sin cos1215xyDxyxy dxdydrr rdr 1222221(1)xyxyDDxyzdxdyxyzdxdyxyzdxdyxyxy dxdyxyxydxdy E-mail: 解解两部分两部分和和分成分成把把21 ;1:2211yxz ,1:2222yxz xyz2 1 取上侧取上侧取下侧取下侧E-mail: （下）（下）上）上）12( xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy xyDdxdyyxxy221 xyDdxdy

19、yxxy2212 xyDrdrdrr 221cossin2 xyDdxdyyxxy)1()1(22rdrrrd2201021cossin2 152 xoy11 rE-mail: 2 练练习习Ixydydzyzdzdxzxdxdy 计计算算曲曲面面积积分分1xyz其其中中 由由平平面面与与三三个个坐坐标标面面围围成成得得四四面面体体的的表表面面，取取其其外外侧侧。解解, 1 12 23 34 4由由 可可分分为为, ,四四小小块块，其其方方程程分分别别为为： 1 z=0； 2 x=0； 3 y=0； 4 x+y+z=1当当 取外侧时，取外侧时， 1 取下侧；取下侧； 2 取后侧；取后侧； 3 取

20、左侧；取左侧； 4 取正侧取正侧E-mail: 10 xydydzyzdzdxzxdxdy不难验证：230同理。4444111100001100(1)(1)(1)(1)(1)(1)11112424248yzzxxyDDDyzxIxydydzyzdzdxzxdxdyxydydzyzdzdxzxdxdyyz ydydzzx zdzdxyx xdxdydyyz ydzdzyz zdxdxyx xdy4下求的积分。E-mail: 4 例例2222,xdydzz dxdyxyz 计计算算曲曲面面积积分分222(0).xyRzR R 及及平平面面所所谓谓立立体体表表面面外外侧侧 其其中中 是是由由曲曲面面

21、解：如图解：如图222222222222222xdydzxyzxdydzz dxdyxyzxdydzz dxdyxyzxdydzz dxdyxyz 1 12 23 3E-mail: 2222222xdydzz dxdyxdydzxyzxyz 1 11 1而而1xoy 垂垂直直于于面面，所所以以相相应应的的积积分分为为零零22222222xdydzz dxdyz dxdyxyzxyz222yoz 垂垂直直于于面面，所所以以相相应应的的积积分分为为零零22222222xdydzz dxdyz dxdyxyzxyz333yoz 垂垂直直于于面面，所所以以相相应应的的积积分分为为零零E-mail: 222222222xdydzxdydzxdydzxyzxyzxyz11后1前221221:( , ),:( , ),yzyzxRyy zDxRyy zD前后向前向后( , )|,yzDy zRyRRzR 而而222222222xdydzxdydzxdydzxyzxyzxyz11后1前即：2222222222222yzyzyzDDDRy dydzRy dydzRy dydzRzRzRz22222122RRRRdzRy dyRRzE-mail: 23:( , ),:( , ),xyxyzRx yD