概率论与数理统计6-1基本概念

1、第第 六六 章章 数数 理理 统统 计计 的的 基基 本本 概概 念念与与 抽样分布抽样分布第第6.16.1节节 基本概念基本概念一、总体与个体一、总体与个体二、随机样本二、随机样本三、统计量三、统计量四、小结四、小结一、总体与个体一、总体与个体 一一个统计问题总有它明确的研究对象个统计问题总有它明确的研究对象.研究对象的全体称为研究对象的全体称为总体总体(母体母体)，总体中每个成员称为总体中每个成员称为个体个体.研究某批灯泡的质量研究某批灯泡的质量考察小考察小 轿车的质量轿车的质量总体总体总体总体 在统计研究中，人们往往关心每个个体的在统计研究中，人们往往关心每个个体的一项一项(或几项或几项

2、)数量指标和该数量指标在总体数量指标和该数量指标在总体中的分布情况中的分布情况. 这时，每个个体具有的数量这时，每个个体具有的数量指标的全体就是指标的全体就是总体总体.该批灯泡寿命的该批灯泡寿命的全体就是总体全体就是总体灯泡的寿命灯泡的寿命国产轿车每公里国产轿车每公里的耗油量的耗油量所有国产轿车每公里耗所有国产轿车每公里耗油量的全体就是总体油量的全体就是总体 由于每个个体的出现带有随机性，即相应由于每个个体的出现带有随机性，即相应的数量指标值的出现带有随机性。从而可把的数量指标值的出现带有随机性。从而可把此种数量指标看作随机变量，我们用一个随此种数量指标看作随机变量，我们用一个随机变量或其分布

3、来描述总体。为此常用随机机变量或其分布来描述总体。为此常用随机变量的符号或分布的符号来表示总体。变量的符号或分布的符号来表示总体。 通常，我们用随机变量通常，我们用随机变量X , Y , Z, 等表等表示总体。当我们说到总体，就是指一个具有示总体。当我们说到总体，就是指一个具有确定概率分布的随机变量。确定概率分布的随机变量。如如:研究某批灯泡的寿命时，我们关心的数研究某批灯泡的寿命时，我们关心的数量指标就是量指标就是寿命寿命，那么，此总体就可以用随，那么，此总体就可以用随机变量机变量X表示，或用其分布函数表示，或用其分布函数F(x)表示表示.总体总体某批某批灯泡的寿命灯泡的寿命寿命寿命X可用一

4、概率可用一概率分布来刻划分布来刻划F(x) 某工厂某工厂10月份生产的灯泡寿命所组成的月份生产的灯泡寿命所组成的总体中总体中, 个体的总数就是个体的总数就是10月份生产的灯泡数月份生产的灯泡数, 这是一个有限总体这是一个有限总体; 而该工厂生产的所有灯泡寿而该工厂生产的所有灯泡寿命所组成的总体可命所组成的总体可近似地近似地看成一个无限总体看成一个无限总体, 它它包括以往生产和今后生产的灯泡寿命包括以往生产和今后生产的灯泡寿命. 有限总体和无限总体有限总体和无限总体实例实例 当有限总体包含的个体的当有限总体包含的个体的总数很大时总数很大时, 可近似地将它看可近似地将它看成是无限总体成是无限总体.

5、二、随机样本二、随机样本1. 样本的定义样本的定义 为推断总体的分布及各种特征,按一定的规则从总体中抽取若干个体进行观察试验,以获得有关总体的信息.这一抽取过程称为“抽样”. 所抽取的部分个体称为样本.通常记为样本中所包含的个体数目n称为样本容量.),(21nXXX ( X1, X2, Xn) 容量为n的样本可以看作n维随机变量.但是,一旦取定一组样本,得到的是n个具体的数 ,称此为样本的一次观察值,简称样本值.2. 简单随机样本简单随机样本 抽取样本的目的是为了利用样本对总体进行统计推断,这就要求样本能很好的反映总体的特性且便于处理.为此,需对抽样提出一些要求,通常有两条:),(21nxxx

6、满足上述两条性质的样本称为简单随机样本.获得简单随机样本的抽样方法称为简单随机抽样. 为了对总体和样本有一个明确的概念,我们给出如下定义:定义定义6.16.1一个随机变量X或其相应的分布函数F(x)称为一个总体.1. 代表性代表性： X1,X2, Xn中每一个与所考察的中每一个与所考察的总体总体X有相同的分布有相同的分布.2. 独立性独立性： X1,X2, Xn是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量.,)(,)(,)(2121本本简简称称样样的的简简单单随随机机样样本本中中抽抽取取的的容容量量为为或或总总体体为为从从总总体体则则称称随随机机变变量量、相相互互独独立立的的是是具具有有同同一一分

7、分布布函函数数若若的的随随机机变变量量是是具具有有分分布布函函数数设设nxFXXXXxFXXXxFXnn定义定义6.26.2.,21个个独独立立的的观观察察值值的的又又称称为为称称为为样样本本值值它它们们的的观观察察值值nXxxxn样本样本 所有可能取值的全体称所有可能取值的全体称为样本空间，为样本空间， 记为记为 。12(,)nXXX12,.nxxx 称称为为中中的的样样本本点点定理定理6.1).(),(), 2 , 1)()3().(),(),()2().(),(),()1(.),(121*12112121 niiniiniinniinnxpXXXixpxXPXxpXXXxpXxFXXXx

8、FXXXXX的分布律为的分布律为则样本则样本的分布律为的分布律为若总体若总体的分布密度为的分布密度为则样本则样本的分布密度为的分布密度为若总体若总体的分布函数为的分布函数为则样本则样本的分布函数为的分布函数为若总体若总体的样本的样本为来自总体为来自总体设设3.样本样本的分布的分布.),(,),( ,)0(2121的概率密度的概率密度求样本求样本是来自总体的样本是来自总体的样本布布的指数分的指数分服从参数为服从参数为设总体设总体nnXXXXXXX 解解的概率密度为的概率密度为总体总体 X 0, 00,)(xxexpx , 21有相同的分布有相同的分布且与且与相互独立相互独立因为因为XXXXn的概

9、率密度为的概率密度为所以所以),( 21nXXX)(),(121 niinnxpxxxp 其其它它, 00,1ixnxenii 例例1.),(,),(, 10), 1(2121的的分分布布律律求求样样本本是是来来自自总总体体的的样样本本其其中中服服从从两两点点分分布布设设总总体体nnXXXXXXppBX 解解的分布律为的分布律为总体总体 X, 21相互独立相互独立因为因为nXXXiippiXP 1)1()1, 0( i,有相同的分布有相同的分布且与且与X的分布律为的分布律为所以所以),( 21nXXX例例2,2211nnxXxXxXP 2211nnxXPxXPxXP niiniixnxpp11

10、)1(.1 , 0,21中取值中取值在集合在集合其中其中nxxx三、统计量三、统计量1. 统计量的定义统计量的定义6.3.),( ,),(,21212121计计量量是是一一个个统统则则称称不不含含未未知知参参数数中中若若的的函函数数是是的的一一个个样样本本是是来来自自总总体体设设nnnnXXXffXXXXXXfXXXX 由样本推断总体特征,需要对样本进行“加工”,“提炼”.这就需要构造一些样本的函数,它把样本中所含的信息集中起来.?,),(,22321哪哪些些不不是是些些是是统统计计量量判判断断下下列列各各式式哪哪为为未未知知为为已已知知其其中中样样本本的的一一个个是是来来自自总总体体设设 N

11、XXX,11XT ,3212XeXXT ),(313213XXXT ),max(3214XXXT ,2215 XXT).(123222126XXXT 是是不是不是例例112121212,(,)(,).nnnnxxxXXXf xxxf XXX设设是是相相应应于于样样本本的的样样本本值值 则则称称是是的的观观察察值值2. 几个常用统计量几个常用统计量( (样本矩样本矩) )的定义的定义.,2121是是这这一一样样本本的的观观察察值值是是来来自自总总体体的的一一个个样样本本设设nnxxxXXX(1)样本平均值样本平均值;11 niiXnX.11 niixnx其观察值其观察值 它反映了总体均值它反映了

12、总体均值 的信息的信息(2)样本方差样本方差 niinXXnS122)(1.1122 niiXnXn它反映了总体方差它反映了总体方差的信息的信息其观察值其观察值 niinxxns122)(1.1122 niixnxn(3)样本标准差样本标准差 ;1122 niinnXXnSS其观察值其观察值.)(112 niinxxns(4)修正修正样本方差样本方差 niinXXnS122*)(11.11122 niiXnXn其观察值其观察值 niinxxns122*)(11.11122 niixnxn(5) 样本样本 k 阶阶(原点原点)矩矩;, 2, 1,11 kXnAnikik其观察值其观察值.,211

13、1kxnanikik(6)样本样本 k 阶中心矩阶中心矩;, 3, 2,)(11 kXXnBnikik其观察值其观察值., 3, 2,)(11 kxxnbnikik样本矩具有下列性质样本矩具有下列性质:性质性质6.1 212222221234*(),(),(,),:1( )();( )();-1( )();( )().nnnXE XD XXXXXE XD XnnE SE Sn设设总总体体 的的期期望望方方差差为为来来自自总总体体 的的样样本本 则则有有证明证明1111111( )()()()nnniiiiiE XEXE Xnnn211211111222 nninniinniinXDXDXD)(

14、)()()()()()()(2121122123XEXEXXESEniinniinn)()()()(2211XEXDXEXDiniin212211221 nnnnin)()(2212124 )()()()(*nnnnnnnSESESE证明证明, , 21同分布同分布独立且与独立且与因为因为XXXXn , , 21同分布同分布独立且与独立且与所以所以kknkkXXXX.)()()()(21kkknkkXEXEXEXE 故有故有再根据第五章再根据第五章辛钦定理辛钦定理知知., 2, 1,)(kAnXEkXkPkkk时则当存在记成阶矩的若总体性质性质6.2由第五章关于依概率收敛的序列的性质知由第五章

15、关于依概率收敛的序列的性质知),(),(2121kPkgAAAg .是连续函数是连续函数其中其中g;, 2, 1,11 kXnAkPnikik 以上结论是后面所要介绍的矩估计法的以上结论是后面所要介绍的矩估计法的理论根据理论根据. 3.次序统计量次序统计量定义定义定定义义时时取取值值为为当当大大的的次次序序重重新新排排列列为为将将观观测测值值按按由由小小到到是是其其一一个个观观测测值值中中抽抽取取的的一一个个样样本本是是从从总总体体设设,),(),(,),(,),()()()(nnnnnxxxXXXxxxxxxXXXX2121212121),(), 2 , 1()()2()1()()(nkkX

16、XXnkxX由此得到由此得到取值为取值为 .),(.),()()2()1(21称为其观测值称为其观测值对应的对应的的次序统计量的次序统计量称其为样本称其为样本nnxxxXXX特别的特别的.min1)1(称称为为最最小小次次序序统统计计量量iniXX .max1)(称称为为最最大大次次序序统统计计量量ininXX 说明说明.,),()()2()1(21)(一般不相互独立一般不相互独立并且它们并且它们也都是随机变量也都是随机变量所以所以的函数的函数都是样本都是样本由于每个由于每个nnkXXXXXXX定理定理6.2),()(xFxpX或或分分布布函函数数为为的的分分布布密密度度为为设设总总体体则则有

17、有的的次次序序统统计计量量的的样样本本为为总总体体.)X,X,X(Xn21)X,X,X()n()2()1()()(1 )()1(1)1()1(xpxFnxpXnX 的分布密度为的分布密度为最小次序统计量最小次序统计量)()()()2(1)()(xpxFnxpXnXnn 的分布密度为的分布密度为最大次序统计量最大次序统计量其他其他的分布密度为的分布密度为总体总体解解, 00,1)( xxpX xxxxxFX, 10,0, 0)(的分布函数为的分布函数为.,),( , 0)()1(21的分布的分布和和试求试求的样本的样本为总体为总体上的均匀分布上的均匀分布服从区间服从区间设总体设总体nnXXXXX

18、XX例例1112100( )( )6.(),( ),nXXnxxpx 由由定定理理得得的的分分布布密密度度为为其其他他其他其他的分布密度为的分布密度为而而,)()()(001 xxnxpXnnXnn4. 经验分布函数经验分布函数, 的的一一个个样样本本是是总总体体设设XXXXn21定义5.5),()()2()1(nXXX.),(的的次次序序统统计计量量的的样样本本为为总总体体nXXXX21称称函函数数是是任任一一实实数数设设为为其其观观测测值值,),()()()(xxxxn211,.,2 , 1., 1, 0)()()1()()1( nkxxxxxnkxxxFnkkn. , )( )(21的个

19、数的个数于于中不超过中不超过表示表示其中其中xxxxxxSn )( ),(1)( xxSnxFn , )( ,.即的个数再除以过为样本值中不超经验分布函数实数对任何换句话说的经验分布函数为总体nxxFxXn性质.,)()1(是一个分布函数是一个分布函数满足分布函数的特征满足分布函数的特征xFnnxFxFxFDxFxFExFnBxnFxFxFnnnnn)(1)()(),()(),(,()(.)(,)()2(所以所以可以证明可以证明是随机变量是随机变量故故是样本的函数是样本的函数由于由于)0(1| )()(|lim).()()3( xFxFPxFxFnnn即即依概率收敛于依概率收敛于. 10)()

20、(suplim , )( 1 )( , , xFxFPxFxFnxnxnn即即一致收敛于分布函数一致收敛于分布函数以概率以概率时时当当对于任一实数对于任一实数. )( , )( )( , 使使用用来来从从而而在在实实际际中中可可当当作作只只有有微微小小的的差差别别与与总总体体分分布布函函数数数数的的任任一一个个观观察察值值经经验验分分布布函函时时充充分分大大当当对对于于任任一一实实数数xFxFxFnxn自定义放映1格里汶科定理（定理格里汶科定理（定理6.3）例例1 , 3 , 2 , 1 具有一个样本值具有一个样本值设总体设总体 F )( 3为为则经验分布函数则经验分布函数xF . 3, 1, 32,32, 21,31, 1, 0