理论力学A(2)基本知识点

1、刚体的平面运动刚体的平面运动 平面图形在其自身平面的运动平面图形在其自身平面的运动平面图形在其自身平面的运动平面图形在其自身平面的运动v 选选轮心轮心A 为基点为基点车轮的平面运动车轮的平面运动随基点随基点A 的平动的平动绕基点绕基点A的转动的转动刚体的平面运动刚体的平面运动可以分解为随基可以分解为随基点的点的平动平动和绕基和绕基点的点的转动转动。+ 牵连运动牵连运动 相对运动相对运动绝对运动绝对运动点的速度点的速度yxABvAvAvBAvBvAvBAyxOvAvASreavvv BAABvvv ABvBA 两个分量式，两个分量式， 求解两个未知量求解两个未知量平面矢量式平面矢量式ABvBA

2、标量式，标量式， 求解一个未知量求解一个未知量ABvBvAvBAS点的速度点的速度vAABBAABAABBvvv)()()( ABAABBvv)()( 速度投影定理速度投影定理可以通过刚体的定义直接得到！可以通过刚体的定义直接得到！+ 牵连运动牵连运动 相对运动相对运动绝对运动绝对运动AvAvA?BPAAPvvv PAB90o90oPABP90o90oAB90o90oPAB90o90oBAvv 0 APvA 0, 0 BAaAaB点的加速度点的加速度BAaAanBAaAatBAreaaaa BAABaaa BAnBAABaaaa 2 AB ABAB AB 平面矢量式平面矢量式 两个分量式，两个

3、分量式， 求解两个未知量求解两个未知量确定速度瞬心位置的方法确定速度瞬心位置的方法AAAABBBBAvAvAvAvBvBvBvBv（a）（b）（c）（d）ABBvAv已知已知A、B两点的速度方向，两点的速度方向，试确定速度瞬心的位置。试确定速度瞬心的位置。瞬时平移瞬时平移Fdtrdm22zyxFdtzdmFdtydmFdtxdm222222 一质点运动微分方程的三种形式一质点运动微分方程的三种形式直角坐标形式直角坐标形式矢量形式矢量形式bntFmFvmFdtdvm02自然轴形式自然轴形式1.第一类基本问题第一类基本问题已知运动已知运动, 求作用力求作用力积分常数由初始条件初始条件决定2.第二类

4、基本问题第二类基本问题已知作用力已知作用力, ,求运动求运动 常力常力 F = 常数 重力 力是时间的函数力是时间的函数 F = f(t) 电磁力 力是位置坐标的函数力是位置坐标的函数 F = f(x) 弹性力，万有引力 力是速度的函数力是速度的函数 F = f(v) 介质阻力 微分问题微分问题 积分问题积分问题czzcyycxxmvpmvpmvp 质系的动量质系的动量oPLMoMvO质点系动量是反映质点系质点系动量是反映质点系随质心平动的运动量随质心平动的运动量0vo 0P oMvP 2LMP ooMvOoMvP MRPPPP质心运动守恒定律质心运动守恒定律若作用于质点系的外力主矢恒等于零，

5、则若作用于质点系的外力主矢恒等于零，则质心的质心的位置或者位置或者静止静止或者做或者做匀速直线运动匀速直线运动若作用于质点系的外力主矢在某个轴上的投影恒若作用于质点系的外力主矢在某个轴上的投影恒等于零，则等于零，则质心位置在该轴上的质心位置在该轴上的投影投影或者或者静止静止，或者做或者做匀速直线运动匀速直线运动。对于刚体或刚体系统，其质心容易确定，应用对于刚体或刚体系统，其质心容易确定，应用动量定理时，主要采用质心运动形式动量定理时，主要采用质心运动形式质心运质心运动定理。动定理。 在爆破山石时，土石碎块向各处飞落，在尚无碎石落地前，所有土石碎块为一质点系，其质心的运动与一个抛射质点的运动相同

6、。 根据质点的运动轨迹，可以在采取定向爆破时，预先估计大部分土石块堆落的地方。 质心运动定理说明：质点系的内力不影响质心的运动，质心运动定理说明：质点系的内力不影响质心的运动，只有外力才能改变质心的运动只有外力才能改变质心的运动。CvP动量定理 建立了作用力作用力与动量变化动量变化之间的关系，揭示了质点系机械运动规律的一个侧面（平动效应），而不是全貌。 例如，圆轮绕质心转动时，无论它怎样转动转动，圆轮的动量都是零，动量定理不能说明这种运动规律。动量矩定理: 则是从另一个侧面，揭示出质点系相对于某一定点或质心的运动规律（转动效应）。xyzq qOmvMO(mv)Mz(mv)r mvxym1mnm

7、im3m2质点系对于某轴（质点系对于某轴（z轴）的轴）的动量矩等于各质点对于同一动量矩等于各质点对于同一 z 轴轴的动量矩的代数和的动量矩的代数和质点系对定点质点系对定点O 的动量矩等于质的动量矩等于质点系中所有质点对于点定点系中所有质点对于点定 O 的动的动量矩的矢量和（主矩）量矩的矢量和（主矩） 将全部质量集中于质心，平动刚体作为一个质将全部质量集中于质心，平动刚体作为一个质点来计算其点来计算其viOrivcCrc平动刚体平动刚体: )(iiiovmrL iiivrm)(vMrc ccMvr rimim1mnmim3m2=常矢量常矢量=常量常量rimi 221MRJz zMR 均质圆盘或圆

8、柱均质圆盘或圆柱 质量质量M，半径，半径R2MRJz 均质均质环环 质量质量M，半径，半径R 式中式中 ZC轴为过质心轴为过质心C且与且与 Z 轴平行的轴，轴平行的轴，d为为Z与与ZC轴之间的距离。轴之间的距离。zLMz22)2(121lMMlJz 231Ml OJ 求：求： .已知：杆长为已知：杆长为 质量为质量为 ，圆盘半径为，圆盘半径为 ，质量为，质量为 . .21JJJz2222112121RmRm222mR l211mR l其中其中2212 ()l RRm由由 ，得得)(222121RRmJz 44121 ()2zJl RR222212121 ()()2l RRRR21,RRm已知已

9、知： 。zJ 求求 ： . .思考：思考：如图所示复摆如何确定对转轴的转动惯量？如图所示复摆如何确定对转轴的转动惯量？将曲柄悬挂在轴将曲柄悬挂在轴 O O 上，作微幅摆动上，作微幅摆动. .mglJTo2由由lm,ToJ其中其中 已知已知, , 可测得，从而求得可测得，从而求得 . .质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理1 1对质心的动量矩对质心的动量矩CCiiiiiLMmvrmvCiiirLrmviCirvvvCiiCiiirLrmvrmv( )0iiCiiCrmvmrvxyz x y zCCrOimiriririivmr?0()OCiiLrrmv)Ciiiirmvrmv

10、CvmCLCCCOLvmrL 质点系（刚体）对任意定质点系（刚体）对任意定O O 点的动量矩等于质点的动量矩等于质点系（刚体）随质心平移的动量对定点系（刚体）随质心平移的动量对定O O 点之矩加上质点之矩加上质点系（刚体）对质心的动量矩：点系（刚体）对质心的动量矩：CCCOLvmrL 投影式：投影式： ZCCZZLvmML xyz x y zCCrOimirir eddddOCCCiiLrmvLrFtt2 2 相对质心的动量矩定理相对质心的动量矩定理 eeCiiirFrFddddddCCCCCrLmvrmvtttCv0( )eiF eddCiiLrFt ed()dCCiLMFt质点系相对于质心

11、的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理 质点系相对于质心的动质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的用于质点系的外力对质心的主矩主矩. .xyz x y zCCrOimirir eiCeiiCFMFrLdtd质点系质点系相对于质心相对于质心的动量矩定理：的动量矩定理： 质点系质点系相对于质心相对于质心的动量的动量矩对时间的一阶导数等于作用于质矩对时间的一阶导数等于作用于质点系的外力对点系的外力对质心质心的主矩。的主矩。这一表达式只有将质心取为矩心才是正确的。这一表达式只有将质心取为矩心才是正确的。当外力对质心的主矩为当外力对质心的主矩为0

12、0 时：时：平面运动平面运动随随牵连牵连平移平移绕绕相对相对转动转动基点基点补充方程方程(运动学运动学)永为正值的标量永为正值的标量221 PJT )(2121222122121 kkxkxdxWF(几种常见力的功几种常见力的功) 重力的功重力的功PhzzPPdzWzzP )(2121 弹性力的功弹性力的功原长L0 , 初变形初变形 1未变形未变形 2弹簧刚性系数k 转动刚体上作用力的功转动刚体上作用力的功 dFmWzM)(21 力偶的功力偶的功 摩檫力的功摩檫力的功)(12 MWMCFmz )()()(12 FmWz作负功作负功 光滑固定面约束光滑固定面约束 活动铰支座、固定铰支座和向心轴承

13、活动铰支座、固定铰支座和向心轴承 联接刚体的光滑铰链（中间铰）联接刚体的光滑铰链（中间铰）理想约束理想约束rdO0 rdFFrdFrdFW)( FrdOFrd刚性二力杆刚性二力杆2F1F1rd12rd2AB2211rdFrdFW2211 coscosdrdr 21FF 0222111 coscosdrFdrF)cos(cos222111drFdrF1F2F1rd2rd21O不可伸长细绳不可伸长细绳为刚体上所受各力作功的代数和。为刚体上所受各力作功的代数和。为力系向质心简化所得的力与力偶作功之和。为力系向质心简化所得的力与力偶作功之和。 平面运动刚体上力系的功平面运动刚体上力系的功当当C：C1C

14、2时时, 2121dMrdFWCCCCR该结论同样适用于作一般运动的刚体，基点也可以是该结论同样适用于作一般运动的刚体，基点也可以是刚体上任一点。刚体上任一点。 计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。 21 : 重力，摩擦力，法向约束力都不作功，只有重力，摩擦力，法向约束力都不作功，只有力力F F 作功，将力作功，将力F F 向质心简化，得向质心简化，得解：解：2CWF sMFsCFSPFNFFMcFdtdvm vFvdtdvm 若作用力分类若作用力分类(内力和外力内力和外力)时时当当0 ABr 0约约W 主主PdtdT 主主WTT12理想

15、约束条件下理想约束条件下0 iW内内 刚体的内力功之和等于零刚体的内力功之和等于零 但变形体内力功之和不为零但变形体内力功之和不为零矢量式矢量式,矢量式矢量式求大小和方向求大小和方向保守系统，机械能守恒保守系统，机械能守恒描述随质心运动及相对质描述随质心运动及相对质心运动中动能的变化心运动中动能的变化只有外力无内力只有外力无内力有外力和作功内力有外力和作功内力理想约束不作功理想约束不作功只有外力无内力只有外力无内力作用点作用点：在施力物体上：在施力物体上IFma maFFI大小大小： FI = ma定义定义：由于物体具有惯性，抵抗其：由于物体具有惯性，抵抗其 运动状态改变，而给予外界运动状态改

16、变，而给予外界 的一种反作用力的一种反作用力。方向方向： FI与与a的方向相反的方向相反(达朗伯原理达朗伯原理)1. 质点质点FImvaFR质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理 作用在质点的主动力、约束力和作用在质点的主动力、约束力和虚加的惯性力虚加的惯性力在在形形式上式上组成平衡力系组成平衡力系. . 2.质点系质点系记记eiF为第为第i个质点上的外力个质点上的外力.惯性力系向任一点的简化惯性力系向任一点的简化IooIiMm ( F ) 主矢主矢主矩主矩 平动平动(向质心点简化向质心点简化)虚加点虚加点：刚体质心：刚体质心C上上ICCFma 大小大小： FI = Mac方向方向： FI与与ac的方向相反的方向相反主矢主矢主矩主矩平移刚体的惯性力系可简化为通过质心的合力平移刚体的惯性力系可简化为通过质心的合力 (向向心点简化心点简化)虚加点虚加点：刚体：刚体心心O上上大小大小： FIO = Mac方向方向： FIO与与ac方向相反方向相反主矢主矢主矩主矩虚加点虚加点：刚体：刚体心心O上上大小大小： MIO = JO 方向方向： 与与 的方向相反的方向相反刚体刚体有质量对称面且该面与转动轴垂有质量对称面且该面与转动轴垂直直, ,简化中心取此平面与转轴的交点简化中心取此平面与转轴的交点思考：思考：1