高优指导版高考数学一轮复习第六章数列等比数列及其前n项和课件文北师大版

1、6.36.3等比数列及其前等比数列及其前n n项和项和-2-考纲要求:1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.-3-1.等比数列(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫作等比数列,这个常数叫作等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q0).(3)等比中项:如果在a与b中插入一个数G,使得a,G,b成等比数列,我们称G为a,b的等比中项.即:G是a与b的等比中项a,G,b成等比数列G2=abG=2.等比数列

2、的通项公式(1)通项公式:若等比数列an的首项为a1,公比是q,则其通项公式为an=a1qn-1(a10,q0);(2)通项公式的推广:an=amqn-m.-4-3.等比数列的前n项和公式(1)当q=1时,Sn=na1;4.等比数列及前n项和的性质(1)若an为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,nN+),则akal=aman.(2)若an为等比数列,则ak,ak+m,ak+2m,仍是等比数列,公比为qm.-5-123451.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(1)满足an+1=qan(nN+,q为常数)的数列an为等比数列. ()(2)G为a,b的等比中项G2=ab. ()(3)等比数

3、列中不存在数值为0的项. ()(4)在等比数列an中,若aman=apaq,则m+n=p+q. ()(5)若数列an的通项公式是an=an,则其前n项和为 . () -6-12345 答案解析解析关闭 答案解析关闭2.(2015课标全国,文9)已知等比数列an满足a1= ,a3a5=4(a4-1),则a2=( )-7-123453.设an是公比为q的等比数列,则“q1”是“an为递增数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案解析解析关闭 答案解析关闭-8-123454.(2015课标全国,文13)在数列an中,a1=2,an+1=2an,

4、Sn为an的前n项和.若Sn=126,则n=. 答案解析解析关闭 答案解析关闭-9-123455.在等比数列an中,已知a5-a1=15,a4-a2=6,若公比q1,则a3=. 答案解析解析关闭 答案解析关闭-10-12345自测点评1.等差数列的首项和公差可以为零,且等差中项唯一;而等比数列的首项和公比均不为零,等比中项可以有两个值.2.在等比数列中,由an+1=qan,q0,并不能立即判断an为等比数列,还要验证a10;若aman=apaq,则m+n=p+q不一定成立,因为常数列也是等比数列,但若m+n=p+q,则有3.在运用等比数列的前n项和公式时,如果不能确定q与1的关系,必须分q=1

5、和q1两种情况讨论.-11-考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混考点考点1等比数列的基本运算等比数列的基本运算例1(1)(2015福建,文16)若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p0,q0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于 . 答案解析解析关闭 答案解析关闭-12-考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混(2)已知数列an是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列an的前n项和等于. 答案解析解析关闭 答案解析关闭-13-考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混思考:解决等比数列基本运算问题的常见思

6、想方法有哪些?解题心得:解决等比数列有关问题的常见思想方法(1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解.(2)分类讨论的思想:因为等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,所以当某一参数为公比进行求和时,就要对参数是否为1进行分类求和.(3)整体思想:应用等比数列前n项和公式时,常把qn或 当成整体进行求解.-14-考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混对点训练1(1)设数列an是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S5等于() 答案解析解析关闭 答案解析关闭-15-

7、考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混 答案解析解析关闭 答案解析关闭(2)(2015浙江,文10)已知an是等差数列,公差d不为零.若a2,a3,a7成等比数列,且2a1+a2=1,则a1= ,d= .-16-考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混考点考点2等比数列的判定与证明等比数列的判定与证明例2已知数列an的前n项和为Sn,且an+Sn=n.(1)设cn=an-1,求证:cn是等比数列;(2)求数列an的通项公式. 答案 答案关闭-17-考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混思考:判断或证明一个数列是等比数列有哪些方法?解题心得:1.证明数列an是等比数列常用的方法:(1)定义法

8、,证明 (n2,q为常数);(2)等比中项法,证明 .(3)通项公式法,若数列通项公式可写成an=cqn-1(c,q均是不为0的常数,nN+),则an是等比数列.2.若判断一个数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.-18-考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混对点训练2成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列bn中的b3,b4,b5.(1)求数列bn的通项公式;(2)数列bn的前n项和为Sn,求证:数列 是等比数列.(1)解:设成等差数列的三个正数分别为a-d,a,a+d,依题意得a-d+a+a+d=15,解得a=5.bn中的b3,

9、b4,b5依次为7-d,10,18+d.依题意,有(7-d)(18+d)=100,解得d=2(d=-13舍去).故bn的第3项为5,公比为2,由b3=b122,即5=b122,解得b1=-19-考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混-20-考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混考点3等比数列性质的应用等比数列性质的应用(多维探究多维探究)类型一等比数列项的性质的应用例3(1)在等比数列an中,a4=2,a5=5,则数列lg an的前8项和等于()A.6 B.5C.4D.3 答案解析解析关闭a4=2,a5=5,a4a5=a1a8=a2a7=a3a6=10,lg a1+lg a2+lg a8=

10、lg a1a2a8=lg(a1a8)4=lg(a4a5)4=4lg a4a5=4lg 10=4,选C. 答案解析关闭C -21-考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混(2)(2015长春调研)在正项等比数列an中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n=.思考:经常用等比数列的哪些性质化简解题过程? 答案解析解析关闭 答案解析关闭-22-考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混类型二等比数列前n项和的性质的应用例4设等比数列an的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6=()A.31 B.32C.63 D.64 答案解析解析关闭S2=3,S4=15

11、,由等比数列前n项和的性质,得S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,(S4-S2)2=S2(S6-S4),即(15-3)2=3(S6-15),解得S6=63,故选C. 答案解析关闭C -23-考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混思考:本题应用什么性质求解比较简单?解题心得:1.在解答等比数列的有关问题时,为简化解题过程常常利用等比数列项的如下性质:(1)通项公式的推广:an=amqn-m;(2)等比中项的推广与变形: =aman(m+n=2p,m,n,pN+)及akal=aman(k+l=m+n,m,n,k,lN+).2.对已知条件为等比数列前几项和,求其前多少项和的问题,应用公比不为-

12、1的等比数列前n项和的性质:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列比较简便.-24-考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混 答案解析解析关闭 答案解析关闭对点训练3(1)若等比数列an的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+ln a20= .-25-考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混(2)等比数列an的首项a1=-1,前n项和为Sn,若 ,则公比q=. 答案解析解析关闭 答案解析关闭-26-考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混考点4等差数列与等比数列的综合问题等差数列与等比数列的综合问题例5(2015四川,理16)设数列an(n=1,2

13、,3,)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列 的前n项和为Tn,求Tn. 答案 答案关闭-27-考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混思考:解决等差数列、等比数列的综合问题的基本思路是怎样的?解题心得:等差数列和等比数列的综合问题,涉及的知识面很宽,题目的变化也很多,但是万变不离其宗,只要抓住基本量a1,d(q)充分运用方程、函数、转化等数学思想方法,合理调用相关知识,就不难解决这类问题.-28-考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混对点训练4(2015北京,文16)已知等差数列an满足a1+a2=10,a4-a3

14、=2.(1)求an的通项公式;(2)设等比数列bn满足b2=a3,b3=a7.问:b6与数列an的第几项相等? 答案 答案关闭-29-考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混-30-考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混3.求解等比数列问题常用的数学思想(1)方程思想:如求等比数列中的基本量;(2)分类讨论思想:如求和时要分q=1和q1两种情况讨论,判断单调性时对a1与q分类讨论.-31-考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混1.在等比数列中,易忽视每一项与公比都不为0.2.求等比数列的前n项和时,易忽略q=1这一特殊情形.-32-审题答题指导如何理解条件和转化条件典例在等差数列an中,a3+a4+a5=84,a9=73.(1)求数列an的通项公式;(2)对任意mN+,将数列an中落入区间(9m,92m)内的个数记为bm,求数列bm的前m项和Sm.审题要点:(1)题干中已知条件有三个:“数列an是等差数列”和两个等式,(2)第(2)问中所含条件可理解为:数列an的各项在所给区间的项数为bm;