泰勒公式(提高班)

1、泰勒公式（提高班）授课题目：§3.3泰勒公式教学目的与要求：1.掌握函数在指定点的泰勒公式；2.了解泰勒公式在求极限及证明命题中的应用.教学重点与难点：重点：几个常用函数的泰勒公式难点：泰勒公式的证明讲授内容： 对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达由于用多项式表示的函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种算术运算，便能求出它的函数值来，因此我们经常用多项式来近似表达函数。 在微分的应用中已经知道，当很小时，有如下的近似等式：，这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子显然在处这些次多项式及其一阶导数的值，分别等于被近似表达的函数及其导数的相应值 但是

2、这种近似表达式还存在着不足之处：首先是精确度不高，它所产生的误差仅是关于的高阶无穷小；其次是用它来作近似计算时，不能具体估算出误差大小因此，对于精确度要求较高且需要估计误差的时候，就必须用高次多项式来近似表达函数，同时给出误差公式 于是提出如下的问题：设函数在含有的开区间内具有直到()阶导数，试找出一个关于()的次多项式 (1)来近似表达，要求与之差是比高阶的无穷小，并给出误差的具体表达式 下面我们来讨论这个问题假设在处的函数值及它的直到阶导数在处的值依次与，相等，即满足，按这些等式来确定多项式(1)的系数.为此，对（1）式求各阶导数，然后分别代人以上等式，得， ，即得 ，. (2)将求得的系

3、数代入（1）式，有. 下面的定理表明，多项式(2)的确是所要找的次多项式定理1 （泰勒(Taylor)中值定理） 如果函数在含有的某个开区间()内具有直到()阶的导数，则当任一，有, （3）其中 ， （4）这里是与之间的某个值证明 只需证明 (在与之间) 由假设可知，在()内具有直到()阶导数，且对两个函数及在以及为端点的区间上应用柯西中值定理(显然，这两个函数满足柯西中值定理的条件)，得 (在与之间)，再对两个函数与在以及为端点的区间上应用柯西中值定理，得(在与之间)照此方法继续做下去，经过()次后得 (在与之间，因而也在与之间)注意到 （因），则由上式得 （在与之间），定理证毕 多项式(2

4、)称为函数按()的幂展开的次近似多项式，公式(3)称为按的幂展开的带有拉格朗日型余项的阶泰勒公式而的表达式(4)称为拉格朗日型余项 当时，泰勒公式变成拉格朗日中值公式： (在与之间)因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广 出泰勒中值定理可知，以多项式近似表达函数时，其误差为如果对于某个固定的，当时，则有估计式： （5） 及 由此可见，当时误差是比高阶的无穷小，即这样，我们提出的问题完满地得到解决. 在不需要余项的精确表达式时，阶泰勒公式也可写成 (7)的表达式（6）称为佩亚诺（Peano）型余项，公式（7）称为按的幂展开的带有佩亚诺型余项的阶泰勒公式. 在泰勒公式(3)中，如果取，则在0与

5、之间因此可令，从而泰勒公式变成较简单的形式，即所谓麦克劳林(Maclauri)公式 () （8）在泰勒公式（7）中，如果取，则有带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式 （9）由（8）或（9）可得近似公式：， 误差估计式（5）相应地变成 （10）例1 写出函数的带有拉格朗日型余项的阶麦克劳林公式解 因为 ，所以 把这些值代入公式(8)，并注意到便得+ () 由这个公式可知，若把用它的次近似多项式表达为，这时所产生的误差为 （）. 如果取，则得无理数e的近似式为 ，其误差 当时，可算出，其误差不超过例2 求的带有拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式解 因为 ，所以 等等它们顺序循环地取四个数0，1，0，一1，

6、于是按公式(8)得(令)，其中 （）.如果取m1，则得近似公式 这时误差为 （） 如果分别取2和3，则可得的3次和5次近似多项式 和 ，其误差的绝对值依次不超过和以上三个近似多项式及正弦函数的图形都画在图1中，以便于比较 图1类似地，还可以得到，其中 （）；，其中 （）；，其中 （） 由以上带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式，易知相应的带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式。除了洛必达法则之外，泰勒公式也是极限计算的重要方法。例3 利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，求极限解 由于分式的分母，只需将分子中和分别用带有佩亚诺型余项的三阶麦克劳林公式表示，即， 于是 ，对上式作运算时，把两个比高阶的无穷小的代数和记为，故注 本例解法就是用泰勒公式求极限的方法，这种方法的关键是确定展开的函数(如本例中的和)及展开的阶数(如本例中的3阶)。补充例题设且.证明：.证明 而在点处的一阶泰勒公式为即，又由于，故.小结与提问：小结：泰勒公式提供了“判定函数极值的第二充分条件”的分析依据；提供了“利用二阶导数符号来判定函数曲线凹向”的分析依据；提供了近似计算的理论基础。 提