第十一章曲线积分与曲面积分(正式)

1、第十一章第十一章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分教学内容教学内容第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分第二节第二节 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分第三节第三节 格林公式及其应用格林公式及其应用第四节第四节 对面积的曲面积分对面积的曲面积分第五节第五节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分第六节第六节 高斯公式高斯公式 * *通量与散度通量与散度第七节第七节 斯托克斯公式斯托克斯公式 * *环流量与旋度环流量与旋度教学目的与要求教学目的与要求1.掌握：掌握：计算两类曲线积分的方法；计算两类曲线积分的方法；计算两类曲面积分的方法；计算两类曲面积分的方法；格林公式并会运用平面曲线积分与路

2、径无关的条件。格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件。2. 理解：理解：两类曲线积分的概念。两类曲线积分的概念。3.了解：了解：两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分;教学重点教学重点1.两类曲线积分的计算方法；两类曲线积分的计算方法；2.格林公式及其应用；格林公式及其应用；3.两类曲面积分的计算方法；两类曲面积分的计算方法；4.高斯公式、斯托克斯公式；高斯公式

3、、斯托克斯公式；5.两类曲线积分与两类曲面积分的应用。两类曲线积分与两类曲面积分的应用。教学难点教学难点1.两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系；两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系；2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算；对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算；3.应用格林公式计算对坐标的曲线积分；应用格林公式计算对坐标的曲线积分；4.应用高斯公式计算对坐标的曲面积分；应用高斯公式计算对坐标的曲面积分；5.应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。积分学积分学积分域积分域曲线积分曲线积分曲线域曲线域曲面域曲面域曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对弧

4、长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲面积分第十一节第十一节 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分区间域区间域平面域平面域空间域空间域定积分定积分 二重积分二重积分 三重积分三重积分一一.对弧长的曲线积分的概念与性质对弧长的曲线积分的概念与性质二二.对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分的计算法第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 AB一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占假设曲线形细长构件在空间所占弧段为弧段为AB其线密度为其线密度

5、为),(zyx “大化小，常代变，近似和，取极限大化小，常代变，近似和，取极限” 可得可得 nkkkkks10),(lim M为计算此构件的质量为计算此构件的质量, ,ks1kMkM),(kkk 1.引例：曲线形构件的质量引例：曲线形构件的质量采用采用设设 是空间中一条有限长的光滑曲线，是空间中一条有限长的光滑曲线，f(x,y,z)是定义是定义在在 上的一个有界函数，若通过对上的一个有界函数，若通过对 的的任意分割任意分割和对和对都存在都存在, , 上上对弧长的对弧长的曲线积分曲线积分,记作记作 szyxfd),(局部的局部的任意取点任意取点，2.定义定义下列下列“乘积和式极限乘积和式极限”则

6、称此极限为函数则称此极限为函数f(x,y,z)在曲线在曲线或或第一类曲线积分第一类曲线积分。f(x,y,z)称为称为被积函数被积函数, 称为称为积分弧段积分弧段。曲线形构件的质量曲线形构件的质量 szyxMd),( nkkkkksf1),( 0limks1kMkM),(kkk 若若L是是xOy面上的曲线弧面上的曲线弧，则定义对弧长的曲线积则定义对弧长的曲线积kknkksf ),(lim10 Lsyxfd),(如果如果L是闭曲线，则记为是闭曲线，则记为.d),( Lsyxf分为分为思考：思考：(1)若在若在 L上上 f (x, y)1, Lsd(2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例定积分是否

7、可看作对弧长曲线积分的特例? 否否! ! 对弧长的曲线积分要求对弧长的曲线积分要求ds 0, ,但定积分中但定积分中dx可能为负可能为负。问问表示什么？表示什么？3.性质性质 dsyxfL ),()1( Lsyxfd),()2( L 由由L1, L2组成组成) Lsd)4(l 为曲线弧为曲线弧 的长度的长度),(yxg Ldsyxf),( dsyxgL ),( l 21),(),(LLdsyxfdsyxf(3)设在设在L上上f(x,y) g(x,y)，则，则 LLsyxgsyxfd),(d),(特别地，有特别地，有 LLsyxfsyxfd | ),(|d),(|将上以性质推广到三维空间有将上以

8、性质推广到三维空间有szyxgzyxfd ),(),()1( 21d),(d),(d),()2( szyxfszyxfszyxfls d)3( l 曲线弧曲线弧 的长度的长度) Lszyxfd),( ),(为为常常数数 szyxgLd),( ( 由由 1, 2组成组成) tttttfsdyxfLd)()()(, )(),(22二二.对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分的计算法基本思路：基本思路：计算定积分计算定积分转化转化定理：定理：存在，且存在，且)()( tty上的连续函数上的连续函数, ,设设f(x,y)是定义在光滑曲线弧是定义在光滑曲线弧则曲线积分则曲线积分),(:txL Lsyx

9、fd),(求曲线积分求曲线积分若曲线若曲线L的方程为的方程为),()(bxaxy 则有则有 Lsyxfd),(若方程为极坐标形式：若方程为极坐标形式：),()(: rrL则则syxfL d),( )sin)(,cos)(rrf推广推广：设空间曲线弧的参数方程为：设空间曲线弧的参数方程为)()(, )(),(: ttztytx则则 szyxfd),(ttttd)()()(222 xx d)(12 d)()(22rr baxxf) )(,( )(),(,)(tttf例例1. 计算计算,d Lsx其中其中L是抛物线是抛物线y=x2上点上点O(0,0)与点与点B(1,1)之间的一段弧。之间的一段弧。

10、解：解：)10(:2 xxyL Lsxd 10 xxxd)2(12 xxxd41102 10232)41(121x )155(121 1Lxy2xy o) 1 , 1 (B例例2 计算计算,dsxIL 其中其中L为双纽线为双纽线)0()()(222222 ayxayx解：解：在极坐标系下在极坐标系下它在第一象限部分为它在第一象限部分为)40(2cos:1 arL利用对称性，得利用对称性，得sxILd41 4022d)()(cos4 rrr 402dcos4 a222a ,2cos:22 arL yox内容小结内容小结1. 定义定义kkknkksf ),(lim10 szyxfd),(2. 性质

11、性质kknkksf ),(lim10 Lsyxfd),(szyxgzyxfd ),(),()1( 21d),(d),(d),()2( szyxfszyxfszyxfls d)3( l 曲线弧曲线弧 的长度的长度) Lszyxfd),( ),(为为常常数数 szyxgLd),( ( 由由 1, 2组成组成)3. 计算计算 对光滑曲线弧对光滑曲线弧, )( , )(, )(: ttytxL Lsyxfd),( 对光滑曲线弧对光滑曲线弧,)()(:bxaxyL Lsyxfd),( baxxf) )(,( ),()(: rrL Lsyxfd),( )sin)(,cos)(rrf 对光滑曲线弧对光滑曲线

12、弧tttd)()(22 xx d)(12 d)()(22rr )(),(ttfP190 习题习题11-111-1 3(3)(4)(6)(7)，5 课外思考题课外思考题思考与练习思考与练习1.已知椭圆已知椭圆134:22 yxL周长为周长为a，求，求syxxyLd)432(22 提示提示: :0d2 sxyL原式原式= =syxLd)34(1222 sLd12 a12o22yx3利用对称性利用对称性sxyLd2 sxyLd2 上上sxyLd2 下下 x2xyd12 22)(2 xxyd12 22分析：分析：2. L为球面为球面x2+y2+z2=R2在在第一卦限第一卦限与三个坐标面的与三个坐标面的

13、交线，求其形心。交线，求其形心。 解：解：如图所示，交线长度为如图所示，交线长度为RozyxRR1L3L2LslLd31 423R 23R 由对称性，形心坐标为由对称性，形心坐标为 321d1LLLsxlxyz 321ddd1LLLsxsxsxl 1d2Lsxl 20dcos2 RRl 34R 一一. .对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质二二. .对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法 三三. .两类曲线积分之间的联系两类曲线积分之间的联系 第二节第二节 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分 一一.对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质1)引例引例

14、：设一质点受如下变力作用设一质点受如下变力作用在在xOy平面内从点平面内从点A沿光滑曲线弧沿光滑曲线弧L移动到点移动到点B, ,求求ABLxy cosABFW “大化小大化小” “常代变常代变”“近似和近似和” “取极限取极限”变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功解决办法解决办法: :移动过程中变力所作的功移动过程中变力所作的功W。ABF ABF),(, ),(),(yxQyxPyxF 变力沿曲线所作的功。变力沿曲线所作的功。1kMkMABxy1)大化小大化小2)常代变常代变L把把L分成分成n个小弧段个小弧段,有向小弧段有向小弧段kkMM1 ),(kkyx 近似代替，近似代替， ),(kk 则

15、有则有kkkkkkyQxP ),(),( 所做的功为所做的功为,kW 沿沿kkkkkMMFW1),( ),(kkF nkkWW1 则则用有向线段用有向线段 kkMM1 上任取一点上任取一点在在kykxkkMM1 FkkMM1 3)近似和近似和4)取极限取极限 nkkkkkkkyQxPW1),(),( nkkkkkkky)Q(x)PW10,(lim 1kMkMABxyL),(kkFkykx(其中其中 为为n个小弧段的最大长度个小弧段的最大长度)2)定义定义设设L为为xOy平面内从平面内从A到到B的一条的一条有向光滑弧，有向光滑弧，若对若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点，的任意分割和在局部弧段

16、上任意取点，极限极限都存在都存在, ,在有向曲线弧在有向曲线弧L上上对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分， LyyxQxyxPd),(d),(kkkxP ),( kkkyQ ),( nk 10lim则称此极限为函数则称此极限为函数或或第二类曲线积分第二类曲线积分。 其中其中P(x,y)L称为称为积分弧段积分弧段或或积分曲线积分曲线。Q(x,y)称为称为被积函数被积函数, , 在在L上定义了一个向量函数上定义了一个向量函数),(, ),(),(yxQyxPyxF 记作记作),(yxF LxyxPd),(,),(lim10 nkkkkxP LyyxQd),(,),(lim10 nkkkkyQ 若若 为

17、空间曲线弧为空间曲线弧, ,记记称为对称为对x的曲线积分；的曲线积分；称为对称为对y的曲线积分的曲线积分. .若记若记对坐标的曲线积分也可写作对坐标的曲线积分也可写作),d,(ddyxs LLyyxQxyxPsFd),(d),(d),(, ),(, ),(),(zyxRzyxQzyxPzyxF zzyxRyzyxQxzyxPsFd),(d),(d),(d),(ddy,dzdxs 类似地类似地, , 3)性质性质(1)若若L可分成可分成k条有向光滑曲线弧条有向光滑曲线弧Li (i=1,2,k) LyyxQxyxPd),(d),( kiLiyyxQxyxP1d),(d),(2)用用L- -表示表示

18、L的反向弧，则的反向弧，则 LyyxQxyxPd),(d),( LyyxQxyxPd),(d),(则则 定积分是第二类曲线积分的特例。定积分是第二类曲线积分的特例。说明说明: : 对坐标的曲线积分必须注意对坐标的曲线积分必须注意积分弧段积分弧段的的方向方向!二二.对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法定理定理: :设设P(x,y),Q(x,y)在有向光滑弧在有向光滑弧L上有定义且上有定义且L的参数方程为的参数方程为 )()(tytx ,: t则曲线积分则曲线积分 LyyxQxyxPd),(d),( )(),(ttP)(t )(t td)(),(ttQ 连续连续, ,存在存在, ,且有

19、且有例例1. 计算计算,d Lxyx其中其中L为沿抛物线为沿抛物线y2=x从点从点解法解法1 取取 x 为参数为参数, 则则OBAOL :01:,: xxyAO10:,: xxyOB OBAOLxyxxyxxyxddd xxxd)(01xxd21023 xy xy xxxd10 A(1,- -1)到到B(1,1)的一段。的一段。)1 , 1(B)1, 1( Aoyx54 Ldxyx解法解法2：取取y为参数为参数, 则则11:,:2 yyxLdyy 1142dyyyy)(2112 54 例例1. 计算计算,d Lxyx其中其中L为沿抛物线为沿抛物线y2=x从点从点A(1,- -1)到到B(1,1

20、)的一段。的一段。xy xy )1 , 1(B)1, 1( Aoyxyxo例例2. 计算计算,d22dyxxyxL 其中其中L为为(1) 抛物线抛物线 ;10:,:2 xxyL(2) 抛物线抛物线 ;10:,:2 yyxL(3) 有向折线有向折线 .:ABOAL 解解: (1)原式原式22xx xx d4103 (2)原式原式yyy222 yy d5104 (3)原式原式 yxxyxOAdd22 102d)002(xxx1 )0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 10(xxxd)22 10(yyd)4 yxxyxABdd22 10d)102(yy1 1 三、两类曲线积分之间的联系三、两类

21、曲线积分之间的联系设有向光滑弧设有向光滑弧 L以弧长为参数以弧长为参数 的参数方程为的参数方程为)0()(, )(lssyysxx 已知已知L切向量的方向余弦为切向量的方向余弦为sysxddcos,ddcos 则两类曲线积分有如下联系则两类曲线积分有如下联系 LyyxQxyxPd),(d),(ssysysxQsxsysxPlddd)(),(dd)(),(0 ssysxQsysxPldcos)(),(cos)(),(0 LsyxQyxPdcos),(cos),( 类似地类似地, , 在在空间曲线空间曲线 上的两类曲线积分的联系是上的两类曲线积分的联系是zRyQxPddd sRQPd)coscos

22、cos( 令令tA sAtd, ),(RQPA ),(ddzdydxs )cos,cos,(cos t sA d sA d stAd记记 A 在在 t 上的投影为上的投影为例例3 积分积分yyxQxyxPLd),(d),( 化为对弧长的积分，化为对弧长的积分，解：解：oyxB,22xxy xxxxyd21d2 sdxyd12 xxxd212 sxddcos ,22xx syddcos x 1 yyxQxyxPLd),(d),(sxyxQxxyxPLd)1)(,(2),(2 其中其中L沿上半圆周沿上半圆周x2+y2 2- -2x=0从从O(0,0)到到B(2,0)。1. 定义定义 nkkkkkk

23、kyQxP10),(),(lim LyyxQxyxPd),(d),(2. 性质性质(1) L可分成可分成 k 条有向光滑曲线弧条有向光滑曲线弧Li (i=1,2, ,k) LdyyxQxdyxP),(),( iLkidyyxQdxyxP),(),(1(2) L 表示表示 L 的反向弧的反向弧 LdyyxQdxyxP),(),( LdyyxQdxyxP),(),(对坐标的曲线积分必须注意对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向!内容小结内容小结3. 计算计算,)()(: tytxL :t LdyyxQdxyxP),(),(dttttQtttP )( )(),()( )(),( 对有向

24、光滑弧对有向光滑弧 对有向光滑弧对有向光滑弧baxxyL :, )(: xdxxxQxxPba )( )(,)(, LdyyxQdxyxP),(),(dzzyxRdyzyxQdxzyxP),(),(),( :,)()()(ttztytx )(, )(),(tttP)(t )(t )(t 4. 两类曲线积分的联系两类曲线积分的联系 LdyQdxPsQPLdcoscos dzRdyQdxP sRQPdcoscoscos )(, )(),(tttQ )(, )(),(tttR td 对空间有向光滑弧对空间有向光滑弧 : F原点原点O的距离成正比的距离成正比,思考与练习思考与练习1. 设一个质点在设一

25、个质点在M(x,y)处受处受恒指向原点恒指向原点, 此质点由点此质点由点A(a,0)沿椭圆沿椭圆12222 byax沿逆时针移动到沿逆时针移动到B(0,b)，),(yxMxyo)0 ,(aA), 0(bB提示提示:yykxxkWdd AB:ABtaxcos tbysin 20: t, ),(yxOM F 的大小与的大小与M 到原到原F 的方向的方向力力F 的作用的作用,求力求力F 所作的功所作的功. ),(yxkF F),(xyk 思考思考: 若题中若题中F 的方向的方向 改为与改为与OM 垂直且与垂直且与y 轴夹锐角轴夹锐角,则则 )0 , 0 , 1 (A)0 , 1 , 0(B) 1 ,

26、 0 , 0(Coxyz2. 已知已知 为折线为折线 ABCOA(如图如图)，计算，计算 zyyxIddd提示提示: I0 01d)1(yy 10dx2 )211( 1 21 01d2 x1 yx1 zydydxAB ydzdyBC OAxd课外思考题课外思考题 P200 习题习题11-211-2 3(2)(4)(6)，4，5一、格林公式一、格林公式 第三节第三节 格林公式及其应用格林公式及其应用 二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件LD区域区域D分类分类单连通区域单连通区域 ( 无无“洞洞”区区域域 )多连通区域多连通区域 ( 有有“洞洞”区区域域 )

27、域域D边界边界L的的正向正向：域的内部靠左域的内部靠左定理定理1. 设区域设区域D是由分段光滑正向曲线是由分段光滑正向曲线L围成围成,则有则有 LDyQxPyxyPxQdddd)( (格林公式格林公式) )函数函数P(x,y),Q(x,y)在在 D 上具有连续一阶偏导数上具有连续一阶偏导数, LDyQxPyxQPyxdddd或或一、格林公式一、格林公式推论推论：正向闭曲线正向闭曲线L所围区域所围区域D的面积的面积 LxyyxAdd21格林公式格林公式例如例如, 椭圆椭圆 20,sincos: byaxL所围面积所围面积 LxyyxAdd21 2022d)sincos(21ababab LDyQ

28、xPyxyPxQdddd)(例例1 设设L是一条分段光滑的闭曲线，证明是一条分段光滑的闭曲线，证明0dd22 yxxyxL证证: 令令,22xQyxP 则则yPxQ 利用格林公式利用格林公式 , 得得yxxyxLdd22 xx22 Dyxdd00 0 例例2. 计算计算,dd2 Dyyxe其中其中D是以是以O(0,0), A(1,1), B(0,1)为顶点的三角形闭域。为顶点的三角形闭域。解解: 令令则则, 02yexQP yPxQ利用格林公式，有利用格林公式，有 Dyyxedd2 Dyyexd2yexOAyd2 yeyyd102 )1(211 exy oyx) 1 , 1 (A) 1 , 0

29、(BD2ye 二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理2. 设设D 是单连通域是单连通域,具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数,(1)沿沿D中任意光滑闭曲线中任意光滑闭曲线L, 有有.0dd LyQxP(2)对对D中任一分段光滑曲线中任一分段光滑曲线L, 曲线积分曲线积分yQxPyxudd),(d (4)在在D内每一点都有内每一点都有.xQyP LyQxPdd与路径无关与路径无关, 只与起止点有关。只与起止点有关。 函数函数P(x,y),Q(x,y)在在D内内则以下四个条件等价：则以下四个条件等价：(3)Pdx+Qdy在在D内是某一函数内是某一函数u

30、(x,y)的全微分的全微分即即 yx说明说明: 根据定理根据定理2 , 若在某区域内若在某区域内,xQyP 则则2)求曲线积分时求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求可用积分法求du = Pdx + Qdy在域在域D内的原函数：内的原函数：yyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或或 yyyyxQyxu0d),(),(00y0 x则原函数为则原函数为 yyyyxQ0d),( xxxyxP0d),(若积分路径不是闭曲线若积分路径不是闭曲线, 可可添加辅助线添加辅助线;取定点取定点(x0,y0)D及动点及

31、动点(x,y)D，1)计算曲线积分时计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径；可选择方便的积分路径；yA xoL例例3. 计算计算,d)(d)3(22yxyxyxL 其中其中L为上半为上半24xxy 从从O(0,0) 到到A(4,0)。解解: 为了使用格林公式为了使用格林公式, 添加辅助线段添加辅助线段,AOD它与它与L所围所围原式原式yxyxyxAOLd)(d)3(22 Dyxdd4 OAyxyxyxd)(d)3(22 402dxx圆周圆周区域为区域为D , 则则3648 内容小结内容小结1. 格林公式格林公式 LyQxPdd2. 等价条件等价条件在在D内与路径无关。内与路径无关。yPxQ 在

32、在D内有内有yQxPuddd yxyPxQDdd)( LyQxPdd对对D内任意闭曲线内任意闭曲线 L 有有0dd LyQxP在在D内有内有设设P, Q在在D内具有一阶连续偏导数，则有内具有一阶连续偏导数，则有P213 习题习题11-311-3 2(1)，3，4(3)，5(1)，6(2)课外思考题课外思考题思考与练习思考与练习1. 设设,4:,141:2222 yxlyxL且都取正向且都取正向, 问下列计算是否正确问下列计算是否正确 ? Lyxxyyx22d4d)1( lyxxyyx22d4d lxyyxd4d41Do2y1x2Ll D d541 5 Lyxxyyx22dd)2( lyxxyy

33、x22dd lxyyxdd41 D d241 2 提示提示:时022 yxyPxQ )1(yPxQ )2(2. 设设, )56,4(),(grad42234yyxxyxyxu 提示提示: ),(dyxuxxyxd)4(34 yyyxd)56(422 ),(yxuyox),(yx)0 ,(xxxxd04 yyyxyd)56(0422 C 551x 322yx Cy 5xxyxd)4(34 yyyxd)56(422 ),()0,0(yxC 求求u(x,y)。一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法第四节第四节 对面积

34、的曲面积分对面积的曲面积分 oxyz一一.对面积的曲面积分的概念与性质对面积的曲面积分的概念与性质引例引例: :设曲面形构件具有连续面密度设曲面形构件具有连续面密度),(zyx 类似求平面薄板质量的思想类似求平面薄板质量的思想, , 采用采用可得可得 nkiiiM10),(lim ),(kkk求质量求质量M. . “大变小大变小, ,常代变常代变, ,近似和近似和, ,取极限取极限” 的方法，的方法，其中，其中， 表示表示n小块曲面的直径的小块曲面的直径的最大值最大值( (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). ). SzyxMd),( 定义：定义：“

35、乘积乘积和式极限和式极限” kkkkSf ),(nk 10lim都存在都存在, ,的的曲面积分曲面积分 Szyxfd),(其中其中f(x,y,z)叫做叫做被积被积据此定义，曲面形构件的质量为据此定义，曲面形构件的质量为曲面面积为曲面面积为 SSd设设 为光滑曲面为光滑曲面, , f (x, y, z)是定义在是定义在 上的一上的一 个有界个有界函数函数, ,记作记作或或第一类曲面积分第一类曲面积分. .若对若对 做做任意分割任意分割和局部区域和局部区域任意取点任意取点, , 则称此极限为函数则称此极限为函数f (x,y,z)在曲面在曲面 上上对面积对面积函数函数， 叫做叫做积分曲面积分曲面。则

36、对面积的曲面积分存在。则对面积的曲面积分存在。 对积分域的可加性对积分域的可加性 Szyxfd),( 1d),( Szyxf 2d),( Szyxf Szyxgkzyxfkd),(),(21 线性性质线性性质 21d),(d),(SzyxgkSzyxfk若若f(x,y,z)在光滑曲面在光滑曲面 上连续上连续, , 对面积对面积的曲面积分与的曲面积分与对弧长对弧长的曲线积分性质类似的曲线积分性质类似. . 积分的存在性积分的存在性. . 若若 是分片光滑的是分片光滑的, ,例如分成两例如分成两片光滑曲面片光滑曲面 1, 2，则有则有设设k1,k2为常数，则为常数，则oxyz定理：定理：设有光滑曲

37、面设有光滑曲面yxDyxyxzz ),(),(: f (x, y, z)在在 上连续上连续, ,存在，且有存在，且有 Szyxfd),( yxDyxf),( Szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122 二二. .对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分的计算法 则则曲面积分曲面积分yxD),(kkk yxk)(说明说明:zyDzyzyxx ),(),(zxDzxzxyy ),(),(可有类似的公式。可有类似的公式。1)如果曲面方程为如果曲面方程为2)若曲面为参数方程若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下只要求出在参数意义下dS 的表达式的表达式 , 也可将对面积

38、的曲面积分转化为对参数的也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分二重积分. (见本节后面的例见本节后面的例4, 例例5) 或或yxD例例1. 计算曲面积分计算曲面积分,d zS其中其中 是球面是球面x2+y2+z2=a2被平面被平面z=h(0h0为为前侧前侧0为为右侧右侧0为为上侧上侧 0时时, 说明流说明流入入 的流体质量少于的流体质量少于 当当 0 内内, 力力构成力场构成力场,其中其中k 为常数为常数, ,22yx 证明在此力场中证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关场力所作的功与所取的路径无关.提示提示:)dd(3yyxxkWL 令令33, ykQxkP 易证易证53 yxky

39、P xQ )0( x),(3yxkF F 沿右半平面内任意有向路径沿右半平面内任意有向路径 L 所作的功为所作的功为P185 10. 求力求力沿有向闭曲线沿有向闭曲线 所作的所作的功功, 其中其中 为平面为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三被三个坐标面所截成三提示提示: BAzyxCo zxyzxyWddd ABzxyzxyddd3 ABzxd3 10d)1(3zz23 方法方法1从从 z 轴正向看去沿轴正向看去沿顺时针方向顺时针方向.利用对称性利用对称性角形的整个边界角形的整个边界,),(xzyF 设三角形区域为设三角形区域为 ，方向方向向上，向上，则则 zxyzxyWd

40、dd zyx Sd313131yzx1: zyx Sd)3(31)1,1,1(31 n方法方法2nBAzyxCo23 yxDyxdd33二、曲面积分的计算法二、曲面积分的计算法1.1.基本方法基本方法曲面积分曲面积分第一类第一类( (对面积对面积) )第二类第二类( (对坐标对坐标) )转化转化二重积分二重积分(1)统一积分变量统一积分变量 代入曲面方程代入曲面方程(2)积分元素投影积分元素投影第一类：始终非负第一类：始终非负第二类：有向投影第二类：有向投影(3)确定二重积分域确定二重积分域把曲面积分域投影到相关坐标面把曲面积分域投影到相关坐标面思考题思考题1) 二重积分是哪一类积分二重积分是

41、哪一类积分? ? 答：答：第一类曲面积分的特例第一类曲面积分的特例. .2)设曲面设曲面,),(,0:Dyxz 问下列等式是否成立问下列等式是否成立? ? DyxyxfSzyxfdd)0 ,(d),( 不对不对!对坐标的积分与对坐标的积分与 的的侧有关。侧有关。 Dyxyxfyxzyxfdd)0 ,(dd),( 2. 基本技巧基本技巧(1)利用对称性及重心公式简化计算利用对称性及重心公式简化计算(2)利用高斯公式利用高斯公式注意公式使用条件注意公式使用条件添加辅助面的技巧添加辅助面的技巧( (辅助面一般取平行坐标面的平面辅助面一般取平行坐标面的平面) )(3)两类曲面积分的转化两类曲面积分的转

42、化zyxo思考与练习思考与练习 ,ddddddyxzxzyzyx其中其中 为半球面为半球面222yxRz 的上侧。的上侧。提示提示: :以半球底面以半球底面0为辅助面为辅助面, ,且取下侧且取下侧, , 原式原式= =3323R 0 32R 0dxdydz3 0ddddddyxzxzyzyx记半球域为记半球域为 , ,计算计算利用利用高斯公式有高斯公式有例例3.3.证明证明: : 设( (常向量常向量) )则单位外法向向量单位外法向向量, , 试证试证Sdcoscoscoscoscoscos0vzyxd)cos()cos()cos(zyddcosxzddcosyxddcos设 为简单闭曲面，a为任意固定向量, n 为的 . 0d)cos(Sa,nSa ,nd)cos(Sand0)cos,cos,(cosn)cos,cos,(cos0a例例4. 计算曲面积分yxrzxzryzyrxIdddddd333其中,222zyxr.:2222取外侧Rzyx解解:yxzxzyzyxRIdddddd13zyxRddd3134思考思考: 本题 改为椭球面1222222czbyax时, 应如何计算 ?提示提示: 在椭球面内作辅助小球面取2222zyx内