常微分方程初等积分法解法研究(四)常微分方程及积分因子

1、全微分方程全微分方程 与与 积分因子积分因子主讲人：张雨萌张雨萌全微分方程全微分方程2引言引言1分项组合法4积分因子积分因子3致谢5分项组合法分项组合法4致谢致谢5引言 之前已经介绍了可分离变量方程、可化为分离变量方程、线性方程、伯努利方程四种初等解法，而这四种类型的方程都可以借助其积分因子化为全微分方程。因此，全微分方程是一种更为一般的解法，先看一下上述五种方程之间的关系：2022-5-145/1/20222022-5-151.定义2.判别3.求解4.例题全微分方程：2022-5-16定义： 对一阶微分方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0;如果存在二元函数u(x,y),使得：P(x,y

2、)dx+Q(x,y)dydu(x,y)= u/ x*dx+ u/ y*dy则称此方程为全微分方程，函数u(x,y)称为此方程的原函数，其通解为：u(x,y)=C 。2022-5-17判别：对方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0；设函数P(x,y)和Q(x,y)在区域D：axb,cyd内连续且有连续一阶偏导数 P(x,y)/ y与 Q(x,y)/ x,则上述方程是全微分方程的充分条件为恒等式： P(x,y)/ y= Q(x,y)/ x 在D内成立.这时该方程的通解为： P(x,y)dx+Q(x,y)- P(x,y)dx/ ydy=C 或： (x0,y0) D)2022-5-18求解：由关系

3、式 出发；首先，将y看成参数，两边对x积分得 这里g(y)是y的任意可微函数，下面来选择g(y)，使u同时满足式 。 因为 所以 （*）2022-5-19求解：现证明上*式右端与x无关，即右端对x的偏导数为零，有 在我们的假设之下，上述交换求导的顺序是合理的。于是*式右端只是y的函数， 2022-5-110求解：对其积分有将上式带入式 ，即得到 因此，全微分方程的通解是5/1/20222022-5-111求解：当然，我们也可以通过定积分来求原方程的解。取定ax0b，将方程 两边对x积分得 其中g(y)为y的任意阶可微函数。为使u 满足 ，有2022-5-112求解：由参变量积分的性质和条件 ，

4、上式可变为 或 从而有 取定cy0d,将上式两端积分得2022-5-113求解：因为只需要一个g(y)就够了，所以取c=0，于是所要求的函数就是 故原方程通解为 满足初始条件y(x0)=y0的解为2022-5-114例题：求方程 的通解 解解： ，是全微分方程, 原方程的通解为：2022-5-1151.定义2.判别积分因子3.求积分因子 4.例题积分因子：2022-5-116定义： 对方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0； 如果存在连续可微的函数 (x,y)0，使得： (x,y)P(x,y)dx+ (x,y)Q(x,y)dy=0 （*）为全微分方程，即存在函数u(x,y),使： (x,y

5、)P(x,y)dx+ (x,y)Q(x,y)dy=du(x,y) 则称 (x,y)为上述方程的积分因子；此时 u(x,y)=C是*式的通解，也是微分方程 的解2022-5-117判别： 由定义中的讨论可得：u(x,y)为方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0的积分因子的充分必要条件为： 即： 2022-5-118求积分因子： 其中 只是x的函数，若以上条件成立，则可求出原方程的一个积分因子： 同理，原方程只与y有关的积分因子的 充分必要条件是：2022-5-119例题：求解解： 此方程不为全微分方程，但 只与y有关。所以我们得到积分因子 给方程两边同乘 于是得到：这是一个全微分程，利用全微

6、分方程求解得通解0)2032(22dyyxxydxxPyxQx4yxyxxPPQyx3433yedyy3yy 0)2032(35324dyyyyxdxxycyyyx434257321积分因子yx121x221yx221yx 2xy2022-5-121例题： 求解 解：解：整理得 即 选择积分因子 ，同乘两边 得 ，即 因此通解为 ，即 因 x = 0 也是方程的解 , 故 C 为任意常数 0)1 ()1 (xdyxyydxxy0)()(xdyydxxyxdyydx0)()(22ydyxdxyxxyd221),(yxyxu0)()(2ydyxdxxyxyd0|)|(|)|()1(yIndxIndxyd|1CInyxInxyxyCeyx1分项组合法例题：求微分方程求微分方程解解:将方程左端重新组合将方程左端重新组合,有有原方程的通解为原方程的通解为 .0)1(222的的通通解解 dyyxdxyxx, 02222 dyyxdxyxxxdx, 0)()(