高数-D12_3幂级数ppt课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 第三节一、函数项级数的概念一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算三、幂级数的运算 幂级数 第十二章 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 函数项级数的概念函数项级数的概念设121)()()()(nnnxuxuxuxu为定义在区间 I 上的函数项级数 .对,0Ix 假设常数项级数10)(nnxu敛点敛点, 一切收敛点的全体称为其收敛域 ;假设常数项级数10)(nnxu为定义在区间 I 上的函数, 称收敛,发散 ,一切0 x称为其收 0 x称为其发散点, ),2, 1()(nxun发散点的全体称为其发散域 .目录 上页 下页

2、 返回 结束 , )(xS为级数的和函数 , 并写成)()(1xuxSnn假设用)(xSn)()(1xuxSnkkn令余项)()()(xSxSxrnn那么在收敛域上有, )()(limxSxSnn0)(limxrnn表示函数项级数前 n 项的和, 即在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它目录 上页 下页 返回 结束 例如例如, 等比级数等比级数它的收敛域是, )1,1(,11,(），及nnnxxxx201xxnn110它的发散域是或写作.1x,)1,1(时当x有和函数 目录 上页 下页 返回 结束 二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性 形如00)(nnnxxa202010)()(

3、xxaxxaa的函数项级数称为幂级数, 其中数列), 1 , 0(nan下面着重讨论00 x0nnnxannxaxaxaa2210例如, 幂级数1,110 xxxnn为幂级数的系数 .即是此种情形.的情形, 即nnxxa)(0称 目录 上页 下页 返回 结束 收敛 发散定理定理 1. ( Abel定理定理 ) 假设幂级数0nnnxa,0点收敛在xx 那么对满足不等式0 xx 的一切 x 幂级数都绝对收敛.反之, 假设当0 xx 0 xx 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 那么对满足不等式证证: 设设00nnnxa, 0lim0nnnxa收敛, 那么必有),2, 1(0nM

4、xann于是存在常数 M 0, 使Ox发 散发 散收 敛阿贝尔 目录 上页 下页 返回 结束 当 时, 0 xx 00nnxxM收敛,0nnnxa故原幂级数绝对收敛 .也收敛,反之, 假设当0 xx 时该幂级数发散 ,下面用反证法证之.假设有一点1x01xx0 x满足不等式0 xx 所以假设当0 xx 满足且使级数收敛 ,面的证明可知, 级数在点故假设不真. 的 x , 原幂级数也发散 . 时幂级数发散 , 那么对一切那么由前也应收敛, 与所设矛盾,nnnnnnxxxaxa00nnnxxxa00nxxM0证毕目录 上页 下页 返回 结束 幂级数在 (, +) 收敛 ;由Abel 定理可以看出,

5、 0nnnxa中心的区间. 用R 表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为那么R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ;R = + 时,0 R幂级数在 (R , R ) 收敛 ;(R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.R 称为收敛半径 ， 在R , R 能够收敛也能够发散 .Rx外发散; 在(R , R ) 称为收敛区间.Ox发 散发 散收 敛收敛 发散目录 上页 下页 返回 结束 xaaxaxannnnnnnn111limlim定理定理2. 假设假设0nnnxa的系数满足,lim1nnnaa;1R;R.0R证证:1) 假设 0,那么根据比值审敛法可知:当,1x原级数收敛;

6、当,1x原级数发散.x即1x时,1) 当 0 时,2) 当 0 时,3) 当 +时,即时,那么 1x目录 上页 下页 返回 结束 2) 假设, 0那么根据比值审敛法可知,;R绝对收敛 ,3) 假设,那么对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 ,.0R对恣意 x 原级数因此因此 0nnnxa的收敛半径为阐明阐明: :据此定理据此定理1limnnnaaR因此级数的收敛半径.1R目录 上页 下页 返回 结束 对端点 x =1, 1limnnnaaRnxxxxnn 132) 1(32的收敛半径及收敛域.解解:11nn11对端点 x = 1, ,1) 1(11nnn收敛; 级数为,11nn发散 .

7、. 1, 1(故收敛域为例例1.1.求幂级数求幂级数 limn 级数为交错级数目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求以下幂级数的收敛域求以下幂级数的收敛域 :.!)2(;!1) 1 (00nnnnxnxn解解: (1) limlim1nnnnaaR!1n) 1(limnn所以收敛域为. ),(2) limlim1nnnnaaR!n!) 1( n11limnn0所以级数仅在 x = 0 处收敛 .规定: 0 ! = 1! ) 1(1n目录 上页 下页 返回 结束 例例3.nnxnn202) !(! )2(求幂级数的收敛半径 .解解: 级数短少奇次幂项级数短少奇次幂项,不能直接运用定理不能直接

8、运用定理2,比值审敛法求收敛半径. lim)()(lim1nnnnxuxu2!) 1( ! ) 1(2nn2!2nn22)1()22( )12(limxnnnn24x142x当时级数收敛时级数发散 故收敛半径为 .21R21x即142x当21x即) 1(2nxnx2故直接由目录 上页 下页 返回 结束 例例4.12) 1(nnnnx求幂级数的收敛域.解解: 令令 ,1 xt级数变为nnntn121nnnnaaRlimlim1nn21) 1(211nnnnnnn2) 1(2lim12当 t = 2 时, 级数为,11nn此级数发散;当 t = 2 时, 级数为,) 1(1nnn此级数条件收敛;因

9、此级数的收敛域为,22t故原级数的收敛域为,212x即.31x目录 上页 下页 返回 结束 三、幂级数的运算三、幂级数的运算定理定理3. 设幂级数设幂级数nnnxa0nnnxb0及的收敛半径分别为,21RR令nnnxa0)(0为常数nnnxa1Rx ,min21RRR nnnnnnxbxa00,)(0nnnnxbaRx ,0nnnxcRx 那么有 :nnnnnnxbxa00其中knnkknbac0以上结论可用部分和的极限证明 .目录 上页 下页 返回 结束 阐明阐明: 两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径能够比原来两个幂级数的收敛半径小得多. 例如, 设 nnnxa0nnnxb0),2, 1,0

10、, 1(0naan,3,2,0, 1, 110nbbbn它们的收敛半径均为,R但是nnnxa0nxxx21其收敛半径只是 .1R1x1nnnxb0 x11目录 上页 下页 返回 结束 定理定理4 假设幂级假设幂级数数nnnxa0的收敛半径,0R)(xS数(证明见第六节)nnnxaxS0)(,11nnnxan),(RRxxxaxxSnxnnxdd)(000,110nnnxna),(RRx那么其和函在收敛域上延续, 且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分, 运算前后收敛半径一样: 注注: 逐项积分时逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变运算前后端点处的敛散性不变.目录 上页 下页 返回 结束 解解

11、: 由例由例2可知级数的收敛半径可知级数的收敛半径 R+.例例5.0!nnnx求幂级数0!)(nnnxxS)(x那么11! ) 1()(nnnxxS0!kkkx)(xS)(x故有0)(exSxxCxSe)(,e)(1)0(xxSS 得由故得.e!0 xnnnx的和函数 .因此得设目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 1nnxn求幂级数的和函数解解: 易求出幂级数的收敛半径为易求出幂级数的收敛半径为 1 , x1 时级数发,)1,1(时故当x1)(nnxnxS1)(nnxxxxx12)1 (xx. )(xS11nnxnx1nnxx散,目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 求级数求级数01nn

12、nx的和函数. )(xS解解: 易求出幂级数的收敛半径为易求出幂级数的收敛半径为 1 , 时级数且1x01)(nnnxxS xnnxxx00d1xxxx0d111)1ln(1xx) 10( x1x及收敛 , 0111nnnxxxnnxxx00d1,) 1, 1中则在 x = 1 时级数发散, 有时当,0 x目录 上页 下页 返回 结束 ) 1 ,0()0, 1x)(xS, )1ln(1xx因此由和函数的延续性得:)(xS而 x = 0 时级数收敛于1, , )1ln(1xx,10 x) 10( x1x及,1)1 (lnlim0 xxx目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 求幂级数收敛域的方法1) 对规范型幂级数先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 .2) 对非规范型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法,2. 幂级数的性质两个幂级数在公共收敛区间内可进展加、减与)0(0nnnnaxa也可经过换元化为规范型再求 .乘法运算. 目录 上页 下页 返回 结束 2) 在收敛区间内幂级数的和函数延续;3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.3. 求和函数的常用方法 利用幂级数的性质 目录 上页 下页 返回 结束 P277 1 (1), (3), (5), (7), (8) 2 (1), (3)作业第四节